2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．集合，全集，则的所有子集个数（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【分析】根据给定的条件，用列举法表示集合A，再求出即可作答.

【详解】依题意，，而，则，，因此，

所以的所有子集个数是.

故选：C

2．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义式可得各三角函数值，再利用诱导公式进行化简求值.

【详解】由已知角的终边经过点，

得，，

又由诱导公式得，

故选：A.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】A，，，则，即，故A错误；

B，，则，故B正确；

C，，则，又，所以，故C错误；

D，由，则为增函数，由，所以，故D错误.

故选：B

4．函数在上的值域为（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.

【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为

故选：C

5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数的解析式可判断其在区间的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.

【详解】当时，令，得或，

且时，；时，，故排除选项B.

因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，故排除选项C；

因为时，函数无意义，故排除选项D；

故选：A.

6．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，如果关于x的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（    ）

A．2 B．-2 C．1 D．-1

【答案】A

【分析】画出偶函数在R上的图象，数形结合得到的解得情况，从而确定关于的方程要有两个不同的解，且，由韦达定理得到的值，进而求出的值.

【详解】当时，，

且当时，，

又为R上的偶函数，则函数图象如下所示：

当时，有2个解，

当时，有4个解，

当时，有6个解，

当时，有3个解，

当时，无解，

要想关于x的方程恰有7个根，

则关于的方程要有两个不同的解，设出，

则，由韦达定理得：，，

解得：，

故.

故选：A

7．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.

【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，

函数在单调递增，并且有，

则，

于是得，即，则，

又函数在单调递增，且，则有，

所以.

故选：C

【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较，

如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.

8．已知函数的定义域为,图象恒过点,对任意,都有则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】判断出是增函数，又

，求得，从而求得的范围。

【详解】因为对任意,都有，即

即函数在R上是增函数.

若，即

即，，

故选：D

【点睛】此题考查函数单调性，关键点是通过已知构造出新的的单调函数，属于一般性题目。

二、多选题

9．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．的定义域是

C．在上单调递增 D．的最小正周期是

【答案】AD

【分析】利用偶函数的定义可判断A，利用正切函数的性质可判断B，利用函数的图象可判断CD.

【详解】因为函数，作出函数的大致图象，

对于B，令，得，可知的定义域为，故B错误；

对于A，定义域关于原点对称，且，故是偶函数，故A正确；

对于C，由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；

对于D，由的图象的可知函数最小正周期是，故D正确；

故选：AD.

10．下列结论中正确的是（    ）

A．若函数，且，则

B．为偶函数，则的图象关于对称

C．设表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集是

D．若函数的值域为，则的取值范围是

【答案】AB

【分析】根据对应关系结合对数的性质可判断A，根据偶函数的概念及函数的对称性可判断B，根据二次不等式的解法及新定义可判断C，根据对数函数的性质可得进而判断D.

【详解】对A，因为，则，又，所以，则，故A正确；

对B，由为偶函数，可得，所以，则的图象关于对称，故B正确；

对C，由，可得，则，故C错误；

对D，因为的值域为，则，可得或，故D错误.

故选：AB.

11．已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据可判断A，，然后可判断B，作差分解因式可判断C，求出的范围可判断D.

【详解】因为，所以，

因为，所以，即，故A错误；

，故B正确；

因为，且，所以，

所以，即，故C正确；

因为，所以，

所以，故D正确，

故选：BCD

12．已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（    ）

A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称

C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数

【答案】BC

【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为为偶函数，所以．

由，可得，可得，

所以，函数的图象关于直线对称，A错；

对于B选项，因为，则，

又因为，可得，

所以，函数的图象关于点对称，B对；

对于C选项，因为函数为偶函数，且，

则，从而，则，

所以，函数是以为周期的周期函数，C对；

对于D选项，因为，且，，

又因为，所以，，

又因为，则，所以，，

故，因此，函数是周期为的周期函数，D错.

故选：BC.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；

（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；

（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.

三、填空题

13．幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．

【答案】1，（答案不唯一）

【分析】根据幂函数在上的单调性得到，再根据是奇函数可以得到幂函数和幂函数都是奇函数，从而可得的很多组值.

【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，

因为幂函数在上单调递减，所以，

又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.

故答案为：1，（答案不唯一）.

14．已知：

①命题“”的否定为“”；

②已知，则；

③已知角是第二象限角，且，则角是第一象限角；

④“”是“函数的最小正周期为”的充要条件.

其中以上结论正确的是_____.（填序号）

【答案】②③

【分析】根据特称命题的否定得到①错误，确定，变换，计算②正确，考虑为奇数和偶数两种情况知③正确，取反例知④错误，得到答案.

【详解】对①：命题“”的否定为“”，错误；

对②：，即，，正确；

对③：角是第二象限角，则，，，

当，，此时，不满足；

当，，此时，满足；

此时是第一象限角，正确；

对④：当时，函数的最小正周期为，错误.

故答案为：②③

15．若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】运用整体思想，结合余弦函数的性质可得答案.

【详解】当时，，

因为，函数在区间上单调递减，

所以，所以，即，

当时，，

因为，在区间上存在零点，

所以，解得，

综上：，

故答案为：

16．若正实数，满足，则的最大值为______.

【答案】

【详解】 ，即

又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为 ，即 ，那么，所以 的最大值是 .

【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再 ，构造1来求最值.

四、解答题

17．从①;②;③三个条件中，任选一个补充在下面问题中，并求解.

已知集合_____，集合.

(1)当时，求；

(2)设命题，命题，是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数函数，指数函数的性质或二次不等式解得，再求并集即可；

（2）结合（1）得，根据题意得，进而分和两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）选①时：，解得：，即，

又因为，故，综上：.

选②时：，解得：，所以.

选③时：，

解得：，所以.

当时，

综上，.

（2）命题，命题，是的必要不充分条件，

所以，

由第一问可知：选①时，

当时，，解得：，满足题意；

当时，要满足，解得：，

综上：实数的取值范围为

选②③时，答案与①一致，均为实数的取值范围为.

18．已知．

(1)写出的最小正周期及的值；

(2)求的单调递增区间及对称中心．

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数性质求出周期，再将代入计算作答

（2）根据已知条件，结合正弦函数的单调性，以及对称中心的性质，求解作答．

【详解】（1）依题意，+1，所以的 最小正周期，

（2）由(1)知+1，

由得：，

所以函数的单调递增区间是；

由得所以函数的对称轴中心为.

19．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=，

（1）求a、b的值；

（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：（1）由a＞0可知二次函数的图象是开口向上的抛物线，求出对称轴方程，根据函数在区间[0，3]上有最大值4和最小值1列式求解a，b的值；

（2）利用（1）中求出的函数解析式，把不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解转化为在x∈[﹣1，1]上有解，分离变量k后，构造辅助函数，由k小于等于函数

在x∈[﹣1，1]上的最大值求k的取值范围，然后利用换元法化为二次函数，利用二次函数求最值．

解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0），

∵a＞0，对称轴为x=1，所以g（x）在区间[0，3]上是先减后增，

又g（x）在区间[0，3]上有最大值4和最小值1．

故，解得；

（2）由（1）可得，

所以f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，可化为在x∈[﹣1，1]上有解．

即．

令，∵x∈[﹣1，1]，故，

记，对称轴为：，

∵，h（t）单调递增，

故当t=2时，h（t）最大值为．

所以k的取值范围是．

【解析】函数恒成立问题；二次函数的性质．

20．已知函数.

(1)求在上的值域；

(2)当时，已知，若，使得，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将化为关于的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求在上的值域；

（2）若，使得，则问题转化为：

分别求出最值解不等式即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）当，

令，

则，

由于函数在上单调递增，

故当时，取得最小值；

当时，取得最大值，

所以的值域为；

（2）若，使得，

则问题转化为：

因为的值域为，

；

在上单调递增，

当时，；

所以

即，

所以的取值范围为：.

21．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．

(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

(2)若采用方案乙，为定值，当为何值时，总用水量最少？并讨论取不同数值时，对最少总用水量多少的影响．

【答案】(1)两种方案的用水量分别为19和，方案乙的用水量较少

(2)时，最少用水量为；随着的增加，最少用水量在增加

【分析】（1）根据题意直接计算可得；

（2）设出两次用水量，分别表示出后求和，利用基本不等式可得最少用水量；再由二次函数性质可知值对最少用水量的影响.

【详解】（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为，则由题意得，解得，

由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足，

解得，所以，

即两种方案的用水量分别为19和，

因为时，，所以，所以方案乙的用水量较少；

（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，

则，

可得，

所以，

当为定值时，，

当且仅当时取等号，又

所以，此时最少用水量为.

设，

当时，在上为增函数，

所以随着的增加，最少用水量在增加.

22．已知定义在上的函数满足：①；②，，均有.

(1)求函数的解析式；

(2)记.若，，且关于的方程在内有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据所给表达式，利用赋值法进行求解；

（2）由（1）求出，然后根据的定义结合图像求出的解析式，令，将方程转化为有三个不同的实数解，结合给定条件分析即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）

因为，，且，

令可知：，

令可知：，

所以函数，

（2）由（1），

所以，

而，

由时，如图所示：

由图可知，如图所示：

由图可知在上单调递减，上单调递增，

，当时，，当时，.

令，

则，

令，

要使原方程在上有3个实数解，

则，即，，，

①当，时，，

②当，时，，，此时不符合题意，舍去，

综上：，即.