适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直一教师用书新人教A版必修第二册

8.6.2　直线与平面垂直(一)1.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的　　　　　直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α. 2.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”?3.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的　　　　　垂直,那么该直线与此平面垂直. 4.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的　　　　所成的角. (2)范围:　　　　　. 【基础巩固组】一、单选题1.(教材改编题)若两直线l1与l2异面,则过l1且与l2垂直的平面 (　　)A.有且只有一个B.可能存在,也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在2.如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为 (　　)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定3.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是 (　　)A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.30° B.45° C.60° D.90°二、多选题5.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正五边形的两边.那么能保证该直线与平面垂直的是 (　　)A.① B.② C.③ D.④6.如图所示,在四个正方体中,EF是正方体的一条体对角线,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出EF⊥平面MNP的图形为 (　　)三、填空题7.将一本书打开后竖立在桌面上(如图),则书脊所在直线AB与桌面的位置关系为　　　　. 8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,则AC1与面ABB1A1所成的角为　　　　. 四、解答题9.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,AC与BD交于点O.求证:BD⊥平面PAC.10.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.求证:SD⊥平面SAB.【素养提升组】一、选择题1.如图,在三棱锥A-BCD中,若各条棱都相等,则AB所在直线与平面BCD所成角的余弦值为 (　　)A. B. C. D.12.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是 (　　)A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直二、填空题3.四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AB=4,则直线PB与平面PAC所成角为　　　　. 4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,则EF与直线AC1所成角的大小为　　　　;EF与对角面BDD1B1所成角的正弦值是　　　　. 三、解答题5.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2.点D,D1分别是棱AC,A1C1的中点.(1)求证:D,B,B1,D1四点共面;(2)求直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值的大小.6.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,CE⊥AB1,垂足为E,D为AB的中点.求证:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面CED.8.6.2　直线与平面垂直(一)必备知识·落实1.任意一条2.定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.3.两条相交直线4.射影　0°≤θ≤90°知能素养·进阶【基础巩固组】1.B　当l1⊥l2时,过l1且与l2垂直的平面有一个,当l1与l2不垂直时,过l1且与l2垂直的平面不存在.2.B　由PB⊥α,AC⊂α得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,AC⊥BC.3.C　取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,又BD,AC异面.所以AC,BD不相交.4.C　连接AC.因为PA⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.因为AC=,PA=,所以tan∠PCA===.所以∠PCA=60°.5.ACD　根据直线与平面垂直的判定定理,平面内这两条直线必须是相交的;选项A,C,D中给定的两条直线一定相交,能保证直线与平面垂直;而B中梯形的两边可能是上、下底边,它们互相平行,不满足定理条件.6.AD　对于AD,根据正方体的性质可得:EF⊥MN,EF⊥MP,可得EF⊥平面MNP.而BC无法得出EF⊥平面MNP.7.【解析】设桌面所在平面为平面α,由AB⊥BC,AB⊥BE,且BC⊂平面α,BE⊂平面α,且BC∩BE=B,可得AB⊥平面α.答案:垂直8.【解析】取A1B1中点D,连接C1D,AD,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,所以C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,因为A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面ABB1A1,所以AC1与平面ABB1A1所成的角为∠DAC1,因为C1D==,AD==3,所以tan∠DAC1==,所以∠DAC1=.所以AC1与平面ABB1A1所成的角为.答案:9.【证明】因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC,又因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.10.【证明】因为AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1,所以底面ABCD为直角梯形,AD==.因为侧面SAB为等边三角形,所以SA=SB=AB=2.又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SD⊥SA.连接BD,则BD==,所以BD2=SD2+SB2,所以SD⊥SB.又SA∩SB=S,所以SD⊥平面SAB.【素养提升组】1.A　因为空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD,所以四面体ABCD为正四面体,所以点A在平面BCD上的投影为正△BCD的中心O,连接AO,BO,则∠ABO为AB所在直线与平面BCD所成角,令AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,则BO=×a=a,在Rt△ABO中,cos∠ABO===.2.C　因为BD是菱形ABCD的一条对角线,菱形对角线互相垂直,所以AC⊥BD.因为MC⊥平面ABCD,所以MC⊥BD,因为MC和AC相交于点C,所以BD⊥平面ACM,因为MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.又因为MA与BD是异面直线,所以MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.【解析】连接BD交AC于点O,连接PO.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD又底面ABCD是正方形,所以BD⊥AC,因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.则PO为PB在平面PAC上的射影.所以∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角.因为PA=AB=4,所以OA=OB=2,PO==2.所以tan∠BPO==,得∠BPO=30°.所以直线PB与平面PAC所成的角为30°.答案:30°4.【解析】由正方体的性质知,B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥EF,连接AB1,A1B,因为四边形ABB1A1为正方形,所以AB1⊥A1B,因为E,F分别是AA1,AB的中点,所以EF∥A1B,所以AB1⊥EF,又B1C1∩AB1=B1,B1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF⊥平面AB1C1,所以EF⊥AC1,即EF与直线AC1所成角的大小为.取B1D1的中点O,连接OA1,OB,则A1O⊥B1D1,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1O,因为B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1⊂平面BDD1B1,所以A1O⊥平面BDD1B1,因为EF∥A1B,所以EF与平面BDD1B1所成的角也为A1B与平面BDD1B1所成的角,即∠A1BO,在Rt△A1BO中,sin∠A1BO==,所以EF与平面BDD1B1所成角的正弦值为.答案:　5.【解析】(1)因为点D,D1分别是棱AC,A1C1的中点,所以DD1∥CC1,因为CC1∥BB1,所以DD1∥BB1,所以D,B,B1,D1四点共面.(2)作C1F⊥B1D1,垂足为F,因为BB1⊥平面A1B1C1,C1F⊂平面A1B1C1,所以直线BB1⊥直线C1F,因为C1F⊥直线B1D1且BB1与B1D1相交于B1,所以直线C1F⊥平面DBB1D1,所以∠C1BF即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角.在Rt△C1BF中,BC1=2,C1F=,sin∠C1BF=.6.【证明】(1)由题意知,AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CD⊥AB.因为CD⊥AA1,AB∩A1A=A,AB⊂平面A1B1BA,A1A⊂平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.由题意知CE⊥AB1.因为CD∩CE=C,CD⊂平面CED,CE⊂平面CED,所以AB1⊥平面CED.