适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直一教师用书新人教A版必修第二册

8.6.3　平面与平面垂直(一)1.二面角的平面角定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作　　　　　于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 2.为什么二面角的平面角大小与在二面角棱上的取点无关?3.平面与平面垂直一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　,就说这两个平面互相垂直. 4.判定定理如果一个平面过另一个平面的　　　　,那么这两个平面垂直. 5.定义能否作为判定两个平面垂直的依据?【基础巩固组】一、单选题1.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角(　　)A.相等 B.互补C.相等或互补 D.关系无法确定2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (　　)A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β3.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则 (　　)A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC4.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是 (　　)A.60° B.120°C.60°或120° D.不确定二、多选题5.设α是给定的平面,A,B是不在α内的任意两点,则 (　　)A.在α内存在直线与直线AB平行B.在α内存在直线与直线AB相交C.在α内存在直线与直线AB垂直D.存在过直线AB的平面与α垂直6.在棱长都相等的四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面结论中成立的是 (　　)A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC三、填空题7.阅读下面题目及其证明过程,在横线处填写上正确结论.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:平面PAC⊥平面BDE.证明:因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,所以　　　　　. 又因为BD⊂平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.8.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=2,则二面角P-AB-C的大小为　　　　.四、解答题9.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.证明:平面BDC1⊥平面BDC.10.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.【素养提升组】一、选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于(　　)A. B. C. D.2.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有 (　　)A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD二、填空题3.如图,在四棱锥S -ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则图中一定与平面PBD垂直的平面是　　　　　. 4.将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折叠,使半平面ABD与半平面CBD为60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为　　　　. 三、解答题5.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,AA1=4,点E,F,M,N分别为棱CC1,BC,BB1,AA1的中点.(1)求三棱锥E-AFM的体积;(2)求证:平面B1D1E⊥平面C1MN.6.如图,在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.8.6.3　平面与平面垂直(一)必备知识·落实1.垂直2.根据等角定理,取不同点时,角都是相等的.3.直二面角4.垂线5.能.定义既是判定也是性质.知能素养·进阶【基础巩固组】1.D　如图所示,二面角A-BC-D为直二面角,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.2.C　因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β.因为m⊂α,由面面垂直的判定定理,所以α⊥β.3.D　因为BC⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.4.C　因为PE⊥α,PF⊥β,所以P,E,F三点确定的平面垂直于α和β.过点E作l的垂线,垂足为O,连接OF,易知l⊥OF且P,E,O,F四点共面,则∠FOE为二面角的平面角,如图所示.此时,∠FOE+∠EPF=180°,所以二面角α-l-β的平面角为120°.当点P的位置如图所示时,此时∠FOE=∠EPF,所以二面角α-l-β的平面角为60°.5.CD　对于A,若直线AB与α相交,则不存在过直线AB的平面与α平行,故A错误;对于B,当直线AB与α平行时,平面α内不存在直线与直线AB相交,故B错误;对于C,无论直线AB与α平行,还是直线AB与α相交,在α内都存在直线与直线AB垂直,故C正确;对于D,无论直线AB与α平行,还是直线AB与α相交,都存在过直线AB的平面与α垂直,故D正确.6.ABD　可画出对应图形,如图所示,则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故A成立;由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,所以DF⊥平面PAE,故B成立;又DF⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.7.【解析】因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.答案:BD⊥平面PAC8.【解析】取AB中点M,连接PM,MC,则PM⊥AB,CM⊥AB,所以∠PMC就是二面角P-AB-C的平面角.在△PAB中,PM==1,同理MC=1,则△PMC是等边三角形,所以∠PMC=60°.答案:60°9.【证明】由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.10.【解析】因为E为SC的中点,且SB=BC,所以BE⊥SC.又DE⊥SC,BE∩DE=E,所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,SC∩SA=S,所以BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE,所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=AB=1,在△ABC中,因为AB⊥BC,所以SB=BC=,AC=,所以SC=2.在Rt△SAC中,∠DCS=30°,所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C为60°.【素养提升组】1.C　如图所示,连接AC交BD于O,连接A1O,∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设A1A=a,则AO=a,所以tan∠A1OA==.2.B　因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC,又AD⊥圆柱的底面,所以AD⊥BC,因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.3.【解析】因为在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,所以BD⊥AC.因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.因为SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.因为BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面SAC.答案:平面SAC4.【解析】设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1-BD -C的平面角.故∠A1EC=60°.因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.所以A1E=CE=A1C=a.答案:a5.【解析】(1)因为AB⊥侧面BCC1B1,所以AB⊥平面EFM,又因为M,E分别为BB1,CC1的中点,所以四边形MBCE为正方形,所以△MEF的面积为S△MEF=ME·MB=×2×2=2.所以三棱锥A-EFM的体积为V三棱锥A-EFM=S△MEF·AB=×2×2=,所以三棱锥E-AFM的体积为.(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BCC1B1是矩形,因为E,M分别为棱CC1,BB1的中点,且BB1=4,B1C1=2,所以四边形MEC1B1是正方形,所以C1M⊥B1E,又N,M分别为棱AA1,BB1的中点,所以NM⊥平面BCC1B1,又B1E⊂平面BCC1B1,所以NM⊥B1E,又因为NM∩C1M=M,NM,C1M⊂平面C1MN,所以B1E⊥平面C1MN,又B1E⊂平面B1D1E,所以平面B1D1E⊥平面C1MN.6.【证明】(1)如图所示,连接DG,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,所以AC=2DF.因为G是AC的中点,所以DF∥GC,且DF=GC,所以四边形CFDG是平行四边形,所以DM=MC.因为BH=HC,所以MH∥BD.又BD⊄平面FGH,MH⊂平面FGH,所以BD∥平面FGH.(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.因为AB⊥BC,所以GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,所以四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.