适用于新教材2023版高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直二教师用书新人教A版必修第二册

8.6.2　直线与平面垂直(二)1.直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线　　　　. 2.如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,那么另一条直线与这个平面是什么位置关系?3.空间距离(1)直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上　　　　　到这个平面的距离. (2)平面与平面之间的距离如果两个平面互相平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都　　　　. 4.是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离?【基础巩固组】一、单选题1.(教材改编题)若直线l与平面α不垂直,m⊂α,那么l与m的位置关系是 (　　)A.垂直　　　　　　B.平行C.异面或相交 D.以上都有可能2.如图所示,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(　　)A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AC=AA1,D,E,F分别是所在棱的中点;现有3个图形如图所示.则满足CF⊥DE的图形个数为(　　)A.0 B.1 C.2 D.34.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是 (　　)A. B. C. D.二、多选题5.已知a,b,c为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题,其中不正确的有(　　)A.a⊥α,b∥β,且α∥β⇒a⊥bB.a⊥b,a⊥α⇒b∥αC.a⊥α,b⊥α,a∥c⇒b∥cD.a⊥α,β⊥α⇒a∥β三、填空题6.在同一水平面上有相距a米的两旗杆,它们的高度分别是b米和c米(b>c),则它们顶端的距离为　　　　　. 7.如图所示,PA⊥平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,使得MN⊥AC的一个条件为　　　　.四、解答题8.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l.9.如图所示,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.【素养提升组】一、选择题1.如图,已知点A∈平面α,点O∈平面α,直线a⊂α,点P∉α且PO⊥α,则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.三棱锥的三条侧棱两两相等,则顶点在底面的射影为底面三角形的 (　　)A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心二、填空题3.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为　　　　.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件　　　　　时,有AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况). 三、解答题5.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.证明:A1C⊥平面BB1D1D.6.斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图.(1)求证:EF⊥PB;(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.8.6.2　直线与平面垂直(二)必备知识·落实1.平行2.垂直3.(1)任意一点　(2)相等4.不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题.知能素养·进阶【基础巩固组】1.D　由线面位置关系判断.2.B　因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.3.C　题图(1)中,因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AC=AA1,所以A1B1⊥B1C1,A1B1⊥BB1,因为B1C1∩BB1=B1,B1C1⊂平面BC1,BB1⊂平面BC1,所以A1B1⊥平面BC1,因为D,E,F分别是所在棱的中点,所以DE⊥平面BC1,因为CF⊂平面BC1,所以CF⊥DE,题图(2)中,取A1C1的中点G,连接GE,AG,故四边形AGED为平行四边形,故ED∥AG,而AC=AA1,故AG⊥CF,故CF⊥DE;题图(3)中,CF⊥DE不成立.4.D　过A作AD⊥BC于D,连接PD,因为AB=AC=5,BC=6,所以BD=DC=3,又因为PA⊥平面ABC,PA∩AD=A,所以BC⊥PD,所以点P到BC的距离是PD,在△ADC中,AC=5,DC=3,所以AD=4,在Rt△PAD中,PD====4.5.BD　A正确;B中b⊂α有可能成立,故B不正确;C正确;D中a⊂β有可能成立,故D不正确.6.【解析】如图,根据题意可知AD=b,BC=c,AB=a,由线面垂直的性质定理可得AD∥BC,过C向AD作垂线,设垂足为点E,则在Rt△CDE中,CE=a,DE=b-c,得CD=.答案:米7.【解析】取AC中点Q,连接MQ,NQ,则MQ∥AP,NQ∥BC,由已知条件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,则NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,所以AC⊥MN.答案:AC⊥BC(答案不唯一)8.【证明】因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理,得a∥l.9.【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE,所以SC⊥AE.又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC,所以AE⊥SB.【素养提升组】1.C　由点A∈平面α,点O∈平面α,直线a⊂平面α,点P∉α且PO⊥α,直线a⊥直线OA,PO∩OA=O,可知直线a⊥平面POA,PA⊂平面POA,所以直线a⊥直线PA;直线a⊥直线PA,PA∩PO=P,可知直线a⊥平面POA,OA⊂平面POA,所以直线a⊥直线OA,所以“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件.2.C　如图,设点P在平面ABC内的射影为O,连接OA,OB,OC.因为三棱锥的三条侧棱两两相等,所以PA=PB=PC.因为PO⊥底面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,所以OA=OB=OC,故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心.3.【解析】因为PC⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PC⊥CM.所以PM=.要使PM最小,只要CM最小,此时应有CM⊥AB.因为AB=8,∠ABC=60°,∠ACB=90°.所以BC=AB=4,AC=4.所以CM==2.所以PM==2.即PM的最小值为2.答案:24.【解析】如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可,由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)答案:∠A1C1B1=90°(答案不唯一)5.【证明】因为A1O⊥平面ABCD,所以A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形,所以BD⊥AC,因为AC∩A1O=O,所以BD⊥平面A1OC,所以BD⊥A1C,又OA1是AC的中垂线,所以A1A=A1C=,且AC=2,所以AC2=A+A1C2,所以△AA1C是直角三角形,所以AA1⊥A1C,又BB1∥AA1,所以A1C⊥BB1,因为BB1∩BD=B,所以A1C⊥平面BB1D1D.6.【证明】(1)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又因为△ABC为直角三角形,所以BC⊥AC,又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.又因为AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF.又AF⊥PC,且PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC,所以AF⊥BP.又AE⊥PB,且AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB.(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,而l⊥平面AEF,所以PB∥l.