人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线习题

第三章　3.3　3.3.2

A级——基础过关练

1．我们把过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦做叫通径．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB的长是(　　)

A．2 B．4

C．8 D．1

【答案】C

【解析】由题意得|AB|＝2p＝8．

2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)

A．6 B．8

C．9 D．10

【答案】B

【解析】由题意得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，因为过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以|AB|＝x1＋x2＋2．又因为x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8．

3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)

A．18 B．24

C．36 D．48

【答案】C

【解析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝，代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又因为|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36．

4．(2021年安庆模拟)设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是(　　)

A． B．－

C．3 D．－3

【答案】B

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝ty＋，由得y2－2ty－1＝0，所以y1y2＝－1．又因为x1＝，x2＝，所以x1x2＝＝．所以·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－1＝－．

5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝(　　)

A．1 B．

C．2 D．3

【答案】C

【解析】双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，故抛物线y2＝2px的准线为x＝－，所以＝，所以p＝2．

6．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是(　　)

A．或 B．或

C．或 D．

【答案】B

【解析】抛物线的焦点为．由题意知弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y＝k，与方程y2＝6x联立得4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0．设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝．所以x1＋x2＋3＝＋3＝12．所以k2＝1，所以k＝±1．故弦所在直线的倾斜角是或．

7．(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

【答案】BCD

【解析】因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以＝3，即p＝6．又因为抛物线上的点到准线的距离的最小值为，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．

8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．

【答案】2

【解析】因为y2＝4x，所以p＝2，F(1,0)．又因为|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1．故AB⊥x轴，点F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2．

9．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为12，则p＝________．

【答案】2

【解析】依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p．直角梯形ABCD有一个内角为45°．故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2．

10．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为A，求抛物线与双曲线的方程．

解：由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将交点A代入得p＝2，

故抛物线方程为y2＝4x．

因为双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以双曲线的焦点坐标为F1(－1,0)和F2(1,0)，且c＝1．

又因为点A也在双曲线上，

因此由定义可得2a＝|AF1|－|AF2|＝－＝－＝1，

所以a＝，b＝＝，

故双曲线的方程为4x2－＝1．

B级——能力提升练

11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，O为坐标原点，OB的中点为M，过点M作MN⊥FA，垂足为N，则(　　)

A．p＝2 B．点A的坐标为(4,4)

C．点M的坐标为(0,4) D．点N的坐标为

【答案】ABD

【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，A正确；抛物线方程为y2＝4x，将x＝4代入，解得y＝±4，∴A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)，B正确，C错误；∵F(1,0)，∴kFA＝，∵MN⊥FA，∴kMN＝－，∴FA的方程为y＝(x－1)①，MN的方程为y－2＝－x②，联立①②，解得x＝，y＝，∴N，D正确．

12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得点O到直线AB的距离d＝·sin30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝．

13．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．

【答案】(1,2)或(1，－2)

【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4，得y0＝±2，所以点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．

14．抛物线x2＝y的焦点F的坐标为________；若直线l经过点F，且与抛物线x2＝y相交于A，B两点，则线段AB长的最小值为__________．

【答案】　1

【解析】抛物线的焦点F的坐标为，其准线方程为y＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋．当k＝0时，y1＝y4＝，此时|AB|＝y1＋y2＋p＝＋＋＝1；当k≠0时，由y＝kx＋，得x＝，与x2＝y联立，化简得(k2－1)y2＋y－＝0，所以y1＋y2＝＞，此时|AB|＝y1＋y2＋p＞1，所以|AB|min＝1．

15．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长．

解：如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，

且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y＝2px1，y＝2px2．

又因为OA＝OB，

所以x＋y＝x＋y，

即x－x＋2px1－2px2＝0，

整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．

因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，

所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，

即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1与y＝2px1联立，解得y1＝2p．

所以|AB|＝2y1＝4p，即三角形的边长为4p．