人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时训练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时训练，共4页。试卷主要包含了3.4　两条平行直线间的距离，若两条平行直线l1，已知直线l1等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．直线3x＋4y－2＝0和直线6x＋8y＋1＝0的距离是( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(3,5)C． eq \f(3,10)D． eq \f(1,5)
【答案】A 【解析】6x＋8y＋1＝0可化为3x＋4y＋ eq \f(1,2)＝0，由两条平行直线间的距离公式，得 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－2－\f(1,2))),\r(32＋42))＝ eq \f(1,2).
2．已知点(3，m)到直线x＋ eq \r(3)y－4＝0的距离等于1，则m等于( )
A． eq \r(3)B．－ eq \r(3)
C．－ eq \f(\r(3),3)D． eq \r(3)或－ eq \f(\r(3),3)
【答案】D 【解析】由 eq \f(|3＋\r(3)m－4|,2)＝1，解得m＝ eq \r(3)或－ eq \f(\r(3),3).
3．若直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为( )
A．3x－4y＋5＝0
B．4x－3y＋2＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0
D．x＝1或3x－4y＋5＝0
【答案】D 【解析】当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以 eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝ eq \f(3,4).所以所求直线l的方程为y－2＝ eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于 eq \r(5)，则k的取值范围是( )
A．[－11，－1]B．[－11，0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1]D．[－1，＋∞)
【答案】C 【解析】y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，得 eq \f(|k＋2＋4|,\r(22＋12))＝ eq \f(|k＋6|,\r(5))≤ eq \r(5)，且k＋2≠－4，即k≠－6，得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1且k≠－6.
5．已知正方形的两边所在直线方程分别为x－y－1＝0，x－y＋1＝0，则正方形的面积为
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B 【解析】由条件知两直线平行，则正方形的边长为这两条平行直线间的距离，即边长d＝ eq \f(2,\r(2))＝ eq \r(2)，所以正方形的面积为2.故选B.
6．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为( )
A．x＝1或x＋y－1＝0B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＝1或x－y－1＝0
【答案】D 【解析】当l⊥x轴时，符合要求，此时l的方程为x＝1；当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.因为点A，B到l的距离相等，所以 eq \f(|－2k＋1－k|,\r(k2＋1))＝ eq \f(|4k－5－k|,\r(k2＋1))，所以|1－3k|＝|3k－5|，解得k＝1.所以l的方程为x－y－1＝0.综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0.
7．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2 eq \r(5)，则m＋n的可能值为( )
A．3 B．－17 C．－3 D．17
【答案】AB 【解析】由题意得n≠0，－ eq \f(2,n)＝ eq \f(1,2)，所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0.由两条平行直线间的距离公式，得 eq \f(|m＋3|,\r(12＋(－2)2))＝2 eq \r(5)，解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
8．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(1,5)))或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(1,5))) 【解析】设P(－3y，y)，则 eq \r(y2＋9y2)＝ eq \f(|－3y＋3y－2|,\r(10))，y＝± eq \f(1,5).当y＝ eq \f(1,5)时，x＝－ eq \f(3,5)，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(1,5)))；当y＝－ eq \f(1,5)时，x＝ eq \f(3,5)，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(1,5))).
9．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于 eq \f(7\r(5),10)，且直线l1不经过第四象限，则a＝________．
【答案】3 【解析】由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0，a)，依题意得l1与l2的距离为 eq \f(|－2a－1|,\r(42＋(－2)2))＝ eq \f(7\r(5),10)，整理得 eq \f(|2a＋1|,2\r(5))＝ eq \f(7\r(5),10)，解得a＝3或a＝－4.因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a＝3.
10．已知△ABC三边所在直线方程lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30).
(1)判断△ABC的形状；
(2)当BC边上的高为1时，求m的值．
解：(1)直线AB的斜率为kAB＝ eq \f(3,2)，直线AC的斜率为kAC＝－ eq \f(2,3)，
所以kAB·kAC＝－1.
所以直线AB与AC互相垂直，故△ABC为直角三角形．
(2)解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＋6＝0，,2x＋3y－22＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝6，))即A(2，6).
由点到直线的距离公式得d＝ eq \f(|3×2＋4×6－m|,\r(32＋42))＝ eq \f(|30－m|,5)，
当d＝1时， eq \f(|30－m|,5)＝1，即|30－m|＝5，
解得m＝25或m＝35.
B级——能力提升练
11．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A．3 eq \r(2)B．2 C． eq \r(2)D．4
【答案】A 【解析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则 eq \f(|c＋7|,\r(2))＝ eq \f(|c＋5|,\r(2))，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上，所以点M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即 eq \f(|－6|,\r(2))＝3 eq \r(2).故选A.
12．(多选)两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则对顶角的角平分线所在直线的方程可能为( )
A．7x－4y＋9＝0 B．x－2y－1＝0
C．8x＋14y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【答案】AC 【解析】设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P到l1，l2的距离相等，即 eq \f(|3x＋4y＋1|,\r(32＋42))＝ eq \f(|5x＋12y－1|,\r(52＋122))，整理得所求直线的方程为7x－4y＋9＝0或8x＋14y＋1＝0.故选AC.
13．在△ABC中，A(1，0)，B(0，－2)，点C在函数y＝x2的图象上，则△ABC面积的最小值为________．
【答案】 eq \f(1,2) 【解析】|AB|＝ eq \r(12＋22)＝ eq \r(5)，直线AB的方程为x＋ eq \f(y,－2)＝1，即2x－y－2＝0.设C(a，a2)，则点C到直线AB的距离d＝ eq \f(|2a－a2－2|,\r(5))，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)|AB|·d＝ eq \f(1,2)|a2－2a＋2|＝ eq \f(1,2)[(a－1)2＋1]≥ eq \f(1,2).所以当a＝1时，△ABC的面积最小，最小值为 eq \f(1,2).
14．已知直线l1： eq \r(3)x＋y－1＝0，l2：ax＋y＝1，且l1⊥l2，则l1的倾斜角为________，原点到l2的距离为________．
【答案】120° eq \f(\r(3),2) 【解析】因为l1： eq \r(3)x＋y－1＝0，所以k1＝－ eq \r(3).又因为倾斜角的范围是[0，π)，所以α＝120°.因为l1⊥l2，所以k2＝ eq \f(\r(3),3)＝－a.所以l2： eq \r(3)x－3y＋3＝0.所以原点到l2的距离为d＝ eq \f(3,\r(12))＝ eq \f(\r(3),2).
15．两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
(1)求d的变化范围；
(2)当d取最大值时，求两条直线的方程．
解：(1)方法一，①当两条直线的斜率都不存在时，两直线分别为x＝6和x＝－3，此时d＝9.
②当两条直线的斜率都存在时，设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝6k＋b1，,－1＝－3k＋b2，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝2－6k，,b2＝3k－1，))
而d＝ eq \f(|b2－b1|,\r(1＋k2))＝ eq \f(|9k－3|,\r(1＋k2))，
两边平方整理得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.
由于k∈R，所以Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，
整理得4d2(d2－90)≤0，
所以0方法二，结合图形可知，当两条平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3 eq \r(10)最大，当两条直线都过A，B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合，
所以0(2)当d＝3 eq \r(10)时，因为kAB＝ eq \f(－1－2,－3－6)＝ eq \f(1,3)，kAB·k＝－1，所以k＝－3.
故两条直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.