数学人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式随堂练习题

2．3.3　点到直线的距离公式2．3.4　两条平行直线间的距离

1．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

2．已知直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：x－y＋3＝0，则l1与l2之间的距离是(　　)

A．　　　    B．    C．2　　　    D．2

3．[2023·山东潍坊高二检测]点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1，则x0＝(　　)

A．0或2    B．1或2

C．0    D．2

4．直线y＝2x－2与直线l关于x轴对称，则直线l的方程为(　　)

A．y＝－2x＋2    B．y＝－2x－2

C．y＝2x＋2    D．y＝x－1

5．已知l1：x＋2y＋3＝0，l2：3x＋6y＋1＝0，则它们的距离为(　　)

A．    B．

C． D．

6．[2023·江苏盐城中学高二检测](多选)已知直线l过原点，且A(1，4)，B(3，2)两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为(　　)

A．x＋y＝0    B．x＋y－5＝0

C．3x－2y＝0    D．3x＋2y＝0

7．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________________．

8．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋2＝0互相平行，则它们之间的距离是________．

1．[2023·天津耀华中学高二检测]已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为(　　)

A．2x－y＋1＝0    B．2x＋y＋1＝0

C．2x－y＋2＝0    D．2x＋y＋2＝0

2．[2023·浙江杭州高二检测]一条光线沿直线2x－y＋1＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为(　　)

A．4x＋y－9＝0    B．x－2y＋6＝0

C．x－y＋3＝0    D．x＋4y－9＝0

3．[2023·广东深圳高二检测]直线2x＋y－1＝0与直线x－2y－3＝0交于点P，则点P到直线kx－(k＋1)y＋1＋2k＝0(k∈R)的最大距离为(　　)

A．B．2

C．3    D．4

4．直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是(　　)

A．x＋2y－3＝0    B．x－y－3＝0

C．x＋2y＋3＝0    D．x－y＋3＝0

5．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　)

A．y＝x＋1    B．y＝2

C．4x－3y＝0    D．2x－y＋1＝0

6．[2023·湖北武汉十七中高二检测](多选)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是(　　)

A．30°    B．75°

C．135°    D．165°

7．与直线m：x＋2y－1＝0关于点(2，1)对称的直线l方程是________________________．

8．[2023·福建福州高二检测]已知直线l1：3x－2y－1＝0和直线l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别为d1，d2，若d1∶d2＝1∶2，则直线l的方程为____________________．

9．[2023·山东临沂高二检测]在平行四边形ABCD中，A(－1，1)，B(1，2)，C(3，－2)，点E是线段BC的中点．

(1)求直线CD的方程；

(2)求四边形ABED的面积．

10．已知直线l1过点A(－3，0)和B(3，4)，直线l：x－y－1＝0.

(1)若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程；

(2)已知直线m是过点B的直线，点C(5，0)到直线m的距离为2，求直线m的方程．

1．[2023·广东深圳高二检测]唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B(－2，0)，若将军从山脚下的点A(，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)

A．　　　B．5    C．　　　D．

2．[2023·福建龙岩高二检测]已知直线l：y＝x，点P为直线l上任意一点，则＋的最小值为________．

3．已知三条直线；l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，l3：x＋y－1＝0，且原点到直线l1的距离是.

(1)求a的值；

(2)若a>0，能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

2．3.3　点到直线的距离公式

2．3.4　两条平行直线间的距离

必备知识基础练

1．答案：B

解析：点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为d＝＝.故选B.

2．答案：A

解析：由平行线间的距离公式得d＝＝.

故选A.

3．答案：A

解析：因为点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1，

所以|x0－1|＝1，

解得x0＝0或x0＝2.故选A.

4．答案：A

解析：已知直线y＝2x－2，

不妨取直线y＝2x－2两点(1，0)，(2，2)，

所以这两点关于x轴对称的点为(1，0)，(2，－2)，

则直线l过这两点，

所以过这两点的直线方程为y＝－2x＋2.故选A.

5．答案：A

解析：由l1：x＋2y＋3＝0，得l1：3x＋6y＋9＝0，

所以l1与l2的距离为d＝＝＝.故选A.

6．答案：AC

解析：直线l过原点，且A(1，4)，B(3，2)两点到直线l的距离相等，

斜率必存在，设所求直线的方程为kx－y＝0，

由已知及点到直线的距离公式可得

＝，

解得k＝－1或k＝，

即所求直线方程为x＋y＝0或3x－2y＝0.故选AC.

7．答案：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0

解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0，

则＝2，即|C－7|＝10，

解得C＝－3或C＝17，

故所求的直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.

8．答案：

解析：因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋2＝0互相平行，所以得－＝－，解得m＝4.则直线6x＋my＋2＝0⇒3x＋2y＋1＝0.

则平行线之间的距离为＝.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：设直线l的方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，

由两条平行线间的距离公式可得：

＝，

解得c＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.故选A.

2．答案：B

解析：联立，解得，所以反射光线过点(，)，

取直线2x－y＋1＝0上一点A(0，1)关于x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，

则有解得，

所以反射光线过点(，)和(4，5)，则反射光线的斜率k＝＝，

根据点斜式得y－5＝(x－4)，即x－2y＋6＝0.故选B.

3．答案：B

解析：由题可列：

，解得，

所以点P的坐标为(1，－1)，

因为直线kx－(k＋1)y＋1＋2k＝0(k∈R)，

即k(x－y＋2)＋(1－y)＝0恒过定点Q(－1，1)，

所以点P到直线kx－(k＋1)y＋1＋2k＝0(k∈R)的最大距离为|PQ|＝＝2.故选B.

4．答案：A

解析：由题意可得l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．

由于AB的斜率为＝2，故直线l1的斜率为－，

故它的方程是y－1＝－(x－1)，化简为x＋2y－3＝0.故选A.

5．答案：BC

解析：对于A，M(5，0)，直线为y＝x＋1，所以点M到直线的距离为d＝3>4，即点M到直线的最小距离大于4，所以直线上不存在点P使|PM|＝4成立．故A错误；

对于B，M(5，0)，直线为y＝2，所以点M到直线的距离为2<4，

所以点M到直线的最小距离小于4，

所以直线上存在点P使|PM|＝4成立．故B正确；

对于C，M(5，0)，直线为4x－3y＝0，所以点到直线的距离为d＝4，

所以点M到直线的最小距离等于4，

所以直线上存在点P使|PM|＝4成立，故C正确；

对于D，M(5，0)，直线为2x－y＋1＝0，所以点到直线的距离为d＝>4，即点M到直线的最小距离大于4，

所以直线上不存在点P使|PM|＝4成立．故D错误．故选BC.

6．答案：BD

解析：设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，

两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，

因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，

所以sin α＝＝，

所以α＝45°.

因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，

所以直线m的倾斜角可以是75°或165°.

如图所示：

故选BD.

7．答案：x＋2y－7＝0

解析：因为直线l与直线m：x＋2y－1＝0关于点(2，1)对称，所以l∥m，且点(2，1)到两直线的距离相等，

设直线l为x＋2y＋c＝0，则＝，解得c＝－7或c＝－1(舍去)，

所以所求直线方程为x＋2y－7＝0.

8．答案：3x－2y＋11＝0或3x－2y－5＝0

解析：设直线l的方程为3x－2y＋c＝0(c≠－1，c≠－13)，由平行线间的距离公式可得2|c＋1|＝|c＋13|，

∴c＝11或c＝－5，

∴直线l的方程为3x－2y＋11＝0或3x－2y－5＝0.

9．解析：(1)由AB∥CD，kAB＝＝，∴直线CD的方程为y－(－2)＝(x－3)，即x－2y－7＝0.

(2)四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则E(，)，即E(2，0)，

直线AD的方程为y－1＝(x＋1)，即2x＋y＋1＝0，则E到直线AD的距离为＝，|BC|＝＝2.

故四边形ABED的面积为＝.

10．解析：(1)直线l1的方程为＝，即2x－3y＋6＝0，

取直线l1上的一点A(－3，0)，设A(－3，0)关于直线l：x－y－1＝0的对称点为(a，b)，

则，解得a＝1，b＝－4.

由解得x＝9，y＝8，

所以直线l2过点(1，－4)和点(9，8)，

所以直线l2的方程为＝，即3x－2y－11＝0.

(2)直线m的斜率不存在时，可得x＝3，

点C(5，0)与直线x＝3的距离为2，符合题意．

当直线m的斜率存在时，设直线斜率为k，

故可得直线m的方程为y－4＝k(x－3)，

即kx－y－3k＋4＝0，

因为点C(5，0)到直线m的距离为2，

即＝2，

解得k＝－，

故可得直线m的方程为－x－y－3×＋4＝0，即3x＋4y－25＝0，

综上所述，直线m的方程为x＝3或3x＋4y－25＝0.

核心素养升级练

1．答案：A

解析：如图所示，

设点B(－2，0)关于直线x＋2y＝3的对称点为C(x1，y1)，在直线x＋2y＝3上取点P，连接PC，则|PB|＝|PC|.由题意可得，解得，即点C(0，4)，所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为.故选A.

2．答案：

解析：＋表示直线l上的点P到点A(0，1)和B(0，2)的距离和，

即＋＝|AP|＋|BP|，

设点A(0，1)关于直线l：y＝x的对称点为A′，则A′(1，0)，

所以＋＝|AP|＋|BP|＝|A′P|＋|BP|≥|A′B|，

当A′，B，P三点共线时取等号，

所以＋的最小值为|A′B|＝＝.

3．解析：(1)因为原点到直线l1的距离是，即d＝＝，

所以|a|＝3⇒a＝±3.

(2)若a>0，由(1)得a＝3，所以l1：2x－y＋3＝0.

设存在点P(m，n)(m>0，n>0)满足题意，则：

点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍有

＝2×，

即|4m－2n－1|＝4|2m－n＋3|＝|8m－4n＋12|，　①

点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶，

＝⇒|2m－n＋3|＝|m＋n－1|，　②

m>0，n>0，　③

联立①②③解得m＝，n＝

故存在满足上述三个条件的点P(，).