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湘教版八年级上册4.2 不等式的基本性质优秀当堂达标检测题
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这是一份湘教版八年级上册4.2 不等式的基本性质优秀当堂达标检测题，文件包含课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册42不等式的基本性质同步分层训练培优卷教师版docx、课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册42不等式的基本性质同步分层训练培优卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
1．（2023八下·青羊期末）若a>b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3>b+3B．﹣2a<﹣2bC．a3>b3D．a2>b2
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a+3＞b+3，故A一定成立；
B：因为a＞b，所以-2a＜-2b，故B一定成立；
C：因为a＞b，所以a3＞b3，故C一定成立；
D：若a=1，b=-2，则a＞b，但是a2=1，b2=4，1＜4，即a2＜b2，故D不一定成立。
故答案为：D。
【分析】根据不等式的性质，分别判断即可得出答案。
2．（2023八下·福田期末）若xA．x−6>y−6B．5x>5yC．x+2>y+2D．−x3>−y3
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x∴x-6B、∵x∴5x<5y，B错误；
C、∵x∴x+2D、∵x∴-x3>-y3，D正确，
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.
3．a是一个整数，比较a与3a的大小是（ ）
A．a>3aB．a<3aC．a=3aD．无法确定
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】本题不确定a的情况，分情况讨论：
若a<0，则A成立，B、C不成立；若a>0，则B成立，A、C不成立；若a=0，则C成立，A、B不成立；因不知a的具体大小，故无法确定其大小。
故答案为：D.
【分析】本题不确定a的情况，分①a<0，②a>0，③a=0三种情况分别得出a与3a的大小，从而得出答案。
4．（2023七下·越秀期末）下列命题中为真命题的是（ ）
A．16的平方根是4
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．同旁内角互补
D．若a【答案】B
【知识点】平方根；平行线的性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解： A、16的平方根是±4，故属于假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，属于真命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故属于假命题，不符合题意；
D、若a故答案为：B.
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据平行的性质可判断B、C；根据不等式的性质可判断D.
5．（2023七下·如东月考）若关于x的不等式mx−n>0的解集为x<2，则关于x的不等式(m+n)x>m−n的解集是（ ）
A．x>−3B．x>−13C．x<−3D．x<−13
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式mx-n>0的解集为x<2，
∴m<0且nm=2，
∴n=2m<0，
∴m+n<0，
∴不等式(m+n)x>m-n的解集为x故答案为：D.
【分析】由题意可得m<0且nm=2，则n=2m<0，m+n<0，金热得到不等式(m+n)x>m-n的解集为x6．（2023七下·汉川期末）若a>b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a2>b2B．−2a<−2bC．a−2b10
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 由a>b，当a=0，b=-1时，则a2＜b2，故此项错误；
B、由a>b，则 −2a<−2b ，故此项正确；
C、由a>b， 则a−2D、由a>b，则 a5>b5，故此项错误；
故答案为：B.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．（2023七下·石家庄期中）若关于x的不等式(a−1)x<1的解集是x>1a−1，则a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a<0C．a>1D．a<1
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a-1x<1的解集是x>1a-1，
∴a-1<0，
∴a<1，
故答案为：D
【分析】由a-1x<1的解集是x>1a-1可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以a-1<0，解出即可.
8．（2022九上·宁波月考）设x1，x2，x3都是小于－1的数，且a1>a2>a3>0，若满足a1(x1+1)(x1−2)=1，a2(x2+1)(x2−2)=2，a3(x3+1)(x3−2)=3，则必有（ ）
A．x1>x2>x3B．x1=x2=x3
C．x1【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
二、填空题
9．（2023八下·连平月考）已知关于x的不等式(a−3)x>(a−3)的解是x<1．则a的取值范围是 ．
【答案】a<3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由不等式的基本性质可得，当不等式(a−3)x>(a−3)的解是x<1时，
a-3<0，
a<3，
故答案为：a<3.
【分析】观察解不等式，将未知数项的系数化为1的时候，不等号的方向改变了，所以根据不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的才不等式成立可得a-3＜0，再求解即可得出答案.
10．（2023七下·建邺期末）若a<1，则−2a+3的取值范围为 .
【答案】−2a＋3>1
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a<1
∴-a>-1
∴-2a>-2
∴-2a+3>-2+3
∴-2a+3>1
故本题答案为：-2a+3>1
【分析】根据不等式的性质，变式得关于目标式-2a+3的不等式即可。
11．（2023八下·泗县月考）用“<”或“>”填空：若x>y，则−2x+1 −2y+1．
【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x>y，
∴−2x<−2y，
∴−2x+1<−2y+1，
故答案为：<．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此解答即可.
12．（2022七上·海曙期中）若整数x满足3+365≤x≤65+2，则x的值是 .
【答案】8或9或10
【知识点】估算无理数的大小；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵43=64，53=125，而64<65<125，
∴4<365<5，
∴7<3+365<8，
又：∵82=64，92=81，而64<65<81，
∴8<65<9，
∴10<65+2<11，
又∵整数x满足3+365≤x≤65+2，
∴x=8或x=9或x=10，
故答案为：8或9或10.
【分析】根据估算无理数大小的方法方法分别估算出365与65的大小，再根据不等式的性质得出365+3与65+2的取值范围，结合题干即可求出整数x的值.
13．（2022七下·浉河期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ．
【答案】1或2
【知识点】定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜x＜1，
∴①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∴0＜x+1＜1，1＜1-x＜2，
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴原式=0+1=1；
②当x=0时，1+x=1，1-x=1，
∴原式=1+1=2；
③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，
∴1＜x+1＜2，0＜1-x＜1，
∴原式=1+0=1，
综上所述，当-1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2.
故答案为：1或2.
【分析】分三种情况：①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1；②当x=0时；③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，再由不等式性质，分别求出x+1和1-x的取值或范围，再由[x]表示不超过x的最大整数，从而求出[1+x]+[1﹣x]的值.
三、解答题
14．（2022七上·鄞州期中）规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]=3，[3+1]=2，[−2.56]=−3，[−3]=−2．按这个规定，求[−13−1]．
【答案】解：∵3<13<4，
∴−4<−13<−3，
∴−5<−13−1<−4，
∴[−13−1]=−5
【知识点】估算无理数的大小；定义新运算；不等式的性质
【解析】【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<13<4，根据不等式的性质求出-13-1的范围，然后结合定义的新运算进行解答.
15．（2022九上·福建竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组 (a1，b1)，(a2，b2)，…，(a8，b8)， 若 |a1−b1|+|a1−b1|+⋯+|a1−b1|=62 .求 (a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(a8−b8)2 的最小值.
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 x1≤x2≤⋯≤xn ， y1≤y2≤⋯≤yn 为两组实数， z1≤z2≤⋯≤zn 是 y1≤y2≤⋯≤yn 的任一排列，则 x1yn+x2yn−1+⋯xny≤x1z1+x2z2+⋯xnzn≤x1y1+x2y2+⋯xnyn .
【答案】解：由对称性，不妨设 ai则 62=|a1−b1|+|a2−b2|+⋅⋅⋅+|a8−b8|=(b1−a1)+(b2−a2)+⋅⋅⋅+(b8−a8)
=(a1+a2+⋅⋅⋅+a8+b1+b2+⋅⋅⋅+b8)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)
=(1+2+⋅⋅⋅+16)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)=136−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8) ，
∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8=37 ，
∵a1≥1 ， a2≥2 ，…， a8≥8 ，
∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8≥1+2+⋅⋅⋅+8=36 ，
若 a7≥8 ，则 a1+a2+⋅⋅⋅+a7+a8≥1+2+⋅⋅⋅+6+8+9=38>37 ，不符合要求，
∴a7≤7 ，
于是 a1=1 ， a2=2 ， a3=3 ， a4=4 ， a5=5 ， a6=6 ， a7=7 ， a8=9 ， b1 ， b2 ，…， b8 是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且 b8>9 ，
∵S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2
=(a12+a22+⋅⋅⋅+a82)+(b12+b22+⋅⋅⋅+b82)−2(a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8)
=(12+22+⋅⋅⋅+162)−2(a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8) .
根据排序不等式，当 b1 ， b2 ，…， b8 从小到大排列时， a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8 的值最大， S 的值最小.
∵当 b1 ， b2 ，…， b8 从小到大排列时， S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2
=(1−8)2+(2−10)2+(3−11)2+(4−12)2+(5−13)2+(6−14)2+(7−15)2+(9−16)2=482 ，
∴(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2 的最小值为482.
或：∵12+22+⋅⋅⋅+162=16×(16+1)×(2×16+1)6=1496 ，
当 b1 ， b2 ，…， b8 从小到大排列时，
a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8=1×8+2×10+3×11+4×12+5×13+6×14+7×15+9×16=507 ，
S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=1496−2×507=482 .
∴(a2−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2 的最小值为482.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】设ai四、综合题
16．（2020八上·下城期末）已知 (a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1) ，其中a，b，c是常数，且 c≠1 .
（1）当 b=−2, c=3 时，求a的范围.
（2）当 a<−2 时，比较b和c的大小.
（3）若当 a>−1 时， b⩽c−1 成立，则 bc−1 的值是多少？
【答案】（1）解：将 b=−2, c=3 代入不等式得
0≥(a+1)(3+1) ，解得 a≤−1
（2）解：当 a<−2 时， a+1<0
不等式 (a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1) 两边同除以 (a+1) 得
b+2≤c+1
∴b≤c−1
∴b（3）解：当 a>−1 时， a+1>0
不等式 (a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1) 两边同除以 (a+1) 得
b+2≥c+1
∴b≥c−1
又∵b≤c−1
∴b=c−1
∴bc−1=1
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）将 b=−2, c=3 代入不等式，即可解出a的范围；
（2）当 a<−2 时，可知 a+1<0 ，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；
（3）当 a>−1 时，可知 a+1>0 ，根据不等式的性质可得 b+2⩾c+1 ，即 b⩾c−1 ，结合 b⩽c−1 可知 b=c−1 ，即可求出 bc−1 的值.
17．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．
1．（2023八下·青羊期末）若a>b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3>b+3B．﹣2a<﹣2bC．a3>b3D．a2>b2
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a+3＞b+3，故A一定成立；
B：因为a＞b，所以-2a＜-2b，故B一定成立；
C：因为a＞b，所以a3＞b3，故C一定成立；
D：若a=1，b=-2，则a＞b，但是a2=1，b2=4，1＜4，即a2＜b2，故D不一定成立。
故答案为：D。
【分析】根据不等式的性质，分别判断即可得出答案。
2．（2023八下·福田期末）若x
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x
C、∵x
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.
3．a是一个整数，比较a与3a的大小是（ ）
A．a>3aB．a<3aC．a=3aD．无法确定
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】本题不确定a的情况，分情况讨论：
若a<0，则A成立，B、C不成立；若a>0，则B成立，A、C不成立；若a=0，则C成立，A、B不成立；因不知a的具体大小，故无法确定其大小。
故答案为：D.
【分析】本题不确定a的情况，分①a<0，②a>0，③a=0三种情况分别得出a与3a的大小，从而得出答案。
4．（2023七下·越秀期末）下列命题中为真命题的是（ ）
A．16的平方根是4
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．同旁内角互补
D．若a
【知识点】平方根；平行线的性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解： A、16的平方根是±4，故属于假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，属于真命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故属于假命题，不符合题意；
D、若a
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据平行的性质可判断B、C；根据不等式的性质可判断D.
5．（2023七下·如东月考）若关于x的不等式mx−n>0的解集为x<2，则关于x的不等式(m+n)x>m−n的解集是（ ）
A．x>−3B．x>−13C．x<−3D．x<−13
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式mx-n>0的解集为x<2，
∴m<0且nm=2，
∴n=2m<0，
∴m+n<0，
∴不等式(m+n)x>m-n的解集为x
【分析】由题意可得m<0且nm=2，则n=2m<0，m+n<0，金热得到不等式(m+n)x>m-n的解集为x
A．a2>b2B．−2a<−2bC．a−2
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 由a>b，当a=0，b=-1时，则a2＜b2，故此项错误；
B、由a>b，则 −2a<−2b ，故此项正确；
C、由a>b， 则a−2
故答案为：B.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．（2023七下·石家庄期中）若关于x的不等式(a−1)x<1的解集是x>1a−1，则a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a<0C．a>1D．a<1
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a-1x<1的解集是x>1a-1，
∴a-1<0，
∴a<1，
故答案为：D
【分析】由a-1x<1的解集是x>1a-1可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以a-1<0，解出即可.
8．（2022九上·宁波月考）设x1，x2，x3都是小于－1的数，且a1>a2>a3>0，若满足a1(x1+1)(x1−2)=1，a2(x2+1)(x2−2)=2，a3(x3+1)(x3−2)=3，则必有（ ）
A．x1>x2>x3B．x1=x2=x3
C．x1
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
二、填空题
9．（2023八下·连平月考）已知关于x的不等式(a−3)x>(a−3)的解是x<1．则a的取值范围是 ．
【答案】a<3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由不等式的基本性质可得，当不等式(a−3)x>(a−3)的解是x<1时，
a-3<0，
a<3，
故答案为：a<3.
【分析】观察解不等式，将未知数项的系数化为1的时候，不等号的方向改变了，所以根据不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的才不等式成立可得a-3＜0，再求解即可得出答案.
10．（2023七下·建邺期末）若a<1，则−2a+3的取值范围为 .
【答案】−2a＋3>1
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a<1
∴-a>-1
∴-2a>-2
∴-2a+3>-2+3
∴-2a+3>1
故本题答案为：-2a+3>1
【分析】根据不等式的性质，变式得关于目标式-2a+3的不等式即可。
11．（2023八下·泗县月考）用“<”或“>”填空：若x>y，则−2x+1 −2y+1．
【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x>y，
∴−2x<−2y，
∴−2x+1<−2y+1，
故答案为：<．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此解答即可.
12．（2022七上·海曙期中）若整数x满足3+365≤x≤65+2，则x的值是 .
【答案】8或9或10
【知识点】估算无理数的大小；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵43=64，53=125，而64<65<125，
∴4<365<5，
∴7<3+365<8，
又：∵82=64，92=81，而64<65<81，
∴8<65<9，
∴10<65+2<11，
又∵整数x满足3+365≤x≤65+2，
∴x=8或x=9或x=10，
故答案为：8或9或10.
【分析】根据估算无理数大小的方法方法分别估算出365与65的大小，再根据不等式的性质得出365+3与65+2的取值范围，结合题干即可求出整数x的值.
13．（2022七下·浉河期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ．
【答案】1或2
【知识点】定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜x＜1，
∴①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∴0＜x+1＜1，1＜1-x＜2，
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴原式=0+1=1；
②当x=0时，1+x=1，1-x=1，
∴原式=1+1=2；
③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，
∴1＜x+1＜2，0＜1-x＜1，
∴原式=1+0=1，
综上所述，当-1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2.
故答案为：1或2.
【分析】分三种情况：①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1；②当x=0时；③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，再由不等式性质，分别求出x+1和1-x的取值或范围，再由[x]表示不超过x的最大整数，从而求出[1+x]+[1﹣x]的值.
三、解答题
14．（2022七上·鄞州期中）规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]=3，[3+1]=2，[−2.56]=−3，[−3]=−2．按这个规定，求[−13−1]．
【答案】解：∵3<13<4，
∴−4<−13<−3，
∴−5<−13−1<−4，
∴[−13−1]=−5
【知识点】估算无理数的大小；定义新运算；不等式的性质
【解析】【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<13<4，根据不等式的性质求出-13-1的范围，然后结合定义的新运算进行解答.
15．（2022九上·福建竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组 (a1，b1)，(a2，b2)，…，(a8，b8)， 若 |a1−b1|+|a1−b1|+⋯+|a1−b1|=62 .求 (a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(a8−b8)2 的最小值.
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 x1≤x2≤⋯≤xn ， y1≤y2≤⋯≤yn 为两组实数， z1≤z2≤⋯≤zn 是 y1≤y2≤⋯≤yn 的任一排列，则 x1yn+x2yn−1+⋯xny≤x1z1+x2z2+⋯xnzn≤x1y1+x2y2+⋯xnyn .
【答案】解：由对称性，不妨设 ai
=(a1+a2+⋅⋅⋅+a8+b1+b2+⋅⋅⋅+b8)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)
=(1+2+⋅⋅⋅+16)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)=136−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8) ，
∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8=37 ，
∵a1≥1 ， a2≥2 ，…， a8≥8 ，
∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8≥1+2+⋅⋅⋅+8=36 ，
若 a7≥8 ，则 a1+a2+⋅⋅⋅+a7+a8≥1+2+⋅⋅⋅+6+8+9=38>37 ，不符合要求，
∴a7≤7 ，
于是 a1=1 ， a2=2 ， a3=3 ， a4=4 ， a5=5 ， a6=6 ， a7=7 ， a8=9 ， b1 ， b2 ，…， b8 是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且 b8>9 ，
∵S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2
=(a12+a22+⋅⋅⋅+a82)+(b12+b22+⋅⋅⋅+b82)−2(a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8)
=(12+22+⋅⋅⋅+162)−2(a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8) .
根据排序不等式，当 b1 ， b2 ，…， b8 从小到大排列时， a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8 的值最大， S 的值最小.
∵当 b1 ， b2 ，…， b8 从小到大排列时， S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2
=(1−8)2+(2−10)2+(3−11)2+(4−12)2+(5−13)2+(6−14)2+(7−15)2+(9−16)2=482 ，
∴(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2 的最小值为482.
或：∵12+22+⋅⋅⋅+162=16×(16+1)×(2×16+1)6=1496 ，
当 b1 ， b2 ，…， b8 从小到大排列时，
a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8=1×8+2×10+3×11+4×12+5×13+6×14+7×15+9×16=507 ，
S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=1496−2×507=482 .
∴(a2−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2 的最小值为482.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】设ai
16．（2020八上·下城期末）已知 (a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1) ，其中a，b，c是常数，且 c≠1 .
（1）当 b=−2, c=3 时，求a的范围.
（2）当 a<−2 时，比较b和c的大小.
（3）若当 a>−1 时， b⩽c−1 成立，则 bc−1 的值是多少？
【答案】（1）解：将 b=−2, c=3 代入不等式得
0≥(a+1)(3+1) ，解得 a≤−1
（2）解：当 a<−2 时， a+1<0
不等式 (a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1) 两边同除以 (a+1) 得
b+2≤c+1
∴b≤c−1
∴b
不等式 (a+1)(b+2)⩾(a+1)(c+1) 两边同除以 (a+1) 得
b+2≥c+1
∴b≥c−1
又∵b≤c−1
∴b=c−1
∴bc−1=1
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）将 b=−2, c=3 代入不等式，即可解出a的范围；
（2）当 a<−2 时，可知 a+1<0 ，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；
（3）当 a>−1 时，可知 a+1>0 ，根据不等式的性质可得 b+2⩾c+1 ，即 b⩾c−1 ，结合 b⩽c−1 可知 b=c−1 ，即可求出 bc−1 的值.
17．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．
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