七年级上册期中培优检测（尖子生专用B）-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考试范围：有理数，代数式
试卷难度约0.4，适合尖子生考前查漏补缺使用。
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
开始时+ + + + + +
第一次- - - - + +
第二次- + + + - +
第三次- - - - - -
∴n的最小值为3．
故选：B．
2．（本题3分）在下列各数：−+2，−32 ，-2，(−12)3，(−1)2020中，负数的个数是（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】−+2=−2，是负数，
−32=−9，是负数，
-2=2，是正数，不是负数，
(−12)3=−18，是负数，
(−1)2020=1，是正数，不是负数，
综上，负数是：−+2，−32，(−12)3，共3个，
故选：B．
3．（本题3分）已知a, b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a＋b|−|a−1|＋|b＋2|的结果是（ ）
A．1B．2b+3C．2a−3D．−1
【答案】B
【详解】解：由数轴可知b＜−1，1＜a＜2，且|a|＞|b|，
∴a＋b＞0，a-1＞0，b+2＞0
则|a＋b|−|a−1|＋|b＋2|
＝a＋b−（a−1）＋（b＋2）
＝a＋b−a＋1＋b＋2
＝2b＋3．
故选：B．
4．（本题3分）下列说法中正确的有（ ）
①若两数的差是正数，则这两个数都是正数；
②任何数的绝对值一定是正数；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大．
⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】①若两数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，如1-（-2），故错误；
②0的绝对值是0，故错误；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数，故正确；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大，在原点右边成立，在原点左边不成立，如-1和-6，故错误；
⑤0没有倒数，故错误．
上述，正确的有1个，
故选A．
5．（本题3分）已知|m|=3，|n|=5，且|m+n|=m+n，则m−n的值是（ ）
A．-8B．-2C．-2或-8D．2或-8
【答案】C
【详解】解：∵|m|＝3，|m|＝5，
∴m＝±3，n＝±5，
∵|m+n|＝m+n，
∴m+n>0，
∴m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5，
∴m﹣n＝﹣2或﹣8．
故选：C．
6．（本题3分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】D
【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵21÷4=5⋯⋯1，
∴221的末尾数字与21=2的尾数相同为2，
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵11÷4=2⋯⋯3
∴311的末尾数字与33=27的尾数相同为7，
∴221+311的末位数字是：2+7=9．
故选：D．
7．（本题3分）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（ ）
A．3x+2+x2B．x（x+3）+6
C．x2+5D．x+3x+2−2x
【答案】C
【详解】解：阴影部分的面积S＝x2+3（2+x）＝x（x+3）+3×2＝（x+3）（x+2）﹣2x，
故A、B、D都可以表示阴影部分面积，只有C不能，
故选：C．
8．（本题3分）如图是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”……照此规律，图A6比图A2多出“树枝”( )
A．32个B．56个C．60个D．64个
【答案】C
【详解】∵图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”，…，
∴图形从第2个开始后一个与前一个的差依次是：2, 22,…, 2n−1.
∴第5个树枝为15+24=31,第6个树枝为：31+25=63，
∴第(6)个图比第(2)个图多63−3=60个
故答案为C
二、填空题（共24分）
9．（本题3分）a是最小的自然数，b是最大的负整数．c、d互为倒数，则a+b−cd= ．
【答案】−2
【详解】解：∵a是最小的自然数，b是最大的负整数．c、d互为倒数，
∴a=0,b=−1,cd=1，
∴a+b−cd=0+(−1)−1=−2，
故答案为：−2．
10．（本题3分）某商场对顾客实行这样的优惠规定：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，不超过500元，则按标价给予九折优惠；若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分给予八折优惠．某人两次购物分别付款198元和423元，如果他合起来一次购买同样的商品，那么他可节约 元．
【答案】19或36.6
【详解】解：付款198的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为198元；付款198的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则标价为198÷0.9=220元；
由500×0.9=450，所以付款423的商品没有超过500元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则商品的标价为423÷0.9=470元，
所以某人两次购物分别付款198元和423元的商品的总标价为198+470=668（元）或220+470=690（元），
当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠之外，超过500元部分给予八折优惠进行付款．
总标价为668元应实际付款数=500×0.9+（668-500）×0.8=584.4（元），
则他可节约（198+423）-584.4=36.6（元）；
总标价为690元应实际付款数=500×0.9+（690-500）×0.8=602（元），
则他可节约（198+423）-602=19（元）．
故答案为：19或36.6．
11．（本题3分）多项式：3xmy2−m+2x+1是一个四次三项式，那么m= ．
【答案】2
【详解】解：∵多项式3xmy2−m+2x+1是一个四次三项式，
∴|m|+2=4，m+2≠0，
解得：m=2或m=-2（不合题意，故舍去）．
故填：2．
12．（本题3分）设x表示不超过x的整数中最大的整数，如：1.99=1，−1.02=−2，根据此规律计算：3.4−0.6= ．
【答案】3
【详解】由题意可知：3.4=3，0.6=0，
故3.4−0.6=3−0=3．
故答案为：3．
13．（本题3分）已知单项式 amb2 与－23 a4bn−1的和是单项式，那么 m＝ ， n＝ ．
【答案】 m=4 n=3
【详解】由题意得，3amb²与−23 a4 bn−1是同类项，
∴m=4，n−1=2，
解得：m=4，n=3，故答案为4, 3.
14．（本题3分）若关于a，b的多项式a2+2ab−b2−a2+mab+2b2中不含ab项，则m＝ ．
【答案】2
【详解】原式=a2+2ab−b2−a2−mab−2b2=2−mab−3b2，
由结果不含ab项，得到2−m=0，
解得：m=2．
故答案为：2．
15．（本题3分）已知a＋b＝2021，ab＝3，则（3a－2b）－（－5b＋ab）的值为 ．
【答案】6060
【详解】解：∵a＋b＝2021，
∴3a+3b=3×2021=6063，
∵3a−2b−−5b+ab=3a−2b+5b−ab=3a+3b−ab，ab＝3，
∴3a+3b−ab=6063−3=6060，
∴3a−2b−−5b+ab的值为：6060．
故答案为：6060．
16．（本题3分）这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，在如图的虚线上第一行0，第二行6，第三行21，那么第8行的数是 ．
【答案】231
【详解】第1行的数是0，
第2行的数是6=0+6=6×1+9×0，
第3行的数是21=0+6+15=0+6+6+9×1=6×2+9×0+1，
第4行的数是45=0+6+15+24=6×2+9×1+6+9×2=6×3+9×0+1+2，
归纳类推得：第n行的数是6n−1+90+1+2+⋯+n−2，其中n≥2且为整数，
则第8行的数是6×8−1+9×0+1+2+⋯+8−2，
=6×7+9×1+2+3+4+5+6，
=42+9×21，
=231，
故答案为：231．
三、解答题（共72分）
17．（本题6分）已知多项式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与多项式的次数相同，求m，n的值．
【答案】m＝1，n＝4．
【详解】∵多项式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与多项式的次数相同，
∴2+2m+1＝5，n+4m﹣3＝5，
解得m＝1，n＝4．
18．（本题6分）计算：
(1)（﹣1）3−14×[2﹣（﹣3）2]；
(2)（12+23−14）×|﹣24|．
【答案】(1)34
(2)22
【详解】（1）原式= −1−14×(2−9)=−1+74=34
（2）原式= (12+23−14)×24=12×24+23×24−14×24=12+16−6=22
19．（本题6分）奋斗文具店购进了一批钢笔，进价为每支6元，进了160支，为了合理定价，在销售前四天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元记为正，不足10元记为负．文具店记录了这五天钢笔的售价和售出情况，如下表：
(1)这五天中，售价最高的是第_______天，这天售价______元钱．
(2)这五天中赚钱最多的是第几天？赚多少钱？
(3)奋斗文具店店庆，这种钢笔的售价在10元的基础上打九折，当天把剩下的钢笔全部卖出，这天这种钢笔赚了多少钱？
【答案】(1)一 12
(2)这五天中赚钱最多的是第四天，赚130元
(3)这天这种钢笔赚153元
【详解】（1）解：由表格可知，这五天中，售价最高的是第一天，这天的售价为10＋2＝12元，
故答案为：一，12
（2）解：第一天赚钱为（10+2－6）×9＝54；
第二天赚钱为（10+1－6）×12＝60；
第三天赚钱为（10+0－6）×20＝80；
第四天赚钱为（10+1－6）×26＝130；
第五天赚钱为（10－2－6）×42＝84；
∴这五天中赚钱最多的是第四天，赚130元；
（3）解：160−9−12−20−26−42=51（支），
51×(10×90%−6)=51×3=153元，
答：这天这种钢笔赚153元．
20．（本题8分）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求：12+122+123+124+⋯+12n的值的几何图形．
【答案】(1)1−12n ，证明见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ，
12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：1−12n ，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n=1−12n；
②设s=12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n ，
2s=1+12+14+18+116+132+164+1128+⋯12n−1 ，
∴2s−s=1−12n，
即s=1−12n，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n=1−12n；
（2）如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，
则12+122+123+124+⋯+12n的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：1−12n
21．（本题6分）先化简，再求值．
(1)13x3−2x2y+23x3+3x2y+5xy2+7−5xy2，其中x＝－2，y=12；
(2)5ab−92a3b−94ab+12a3b−114ab−a3b−5．其中a＝1，b＝－2
【答案】(1)x3+x2y+7；1
(2)−5a3b−5；5
【详解】（1）解：原式=13x3+23x3+3x2y−2x2y+5xy2−5xy2+7
=x3+x2y+7
当x＝－2，y=12
原式=−23+−22⋅12+7=1
（2）原式=5ab−94ab−114ab+12a3b−92a3b−a3b−5
=−5a3b−5
当a＝1，b＝－2
原式=−5⋅13⋅−2−5=5
22．（本题6分）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是______．
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
方法1：______；方法2：______．
(3)观察图2，请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是______．
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y=6，xy=112则(x−y)2=______．
【答案】(1)a−b；
(2)(a−b)2，a+b2−4ab
(3)(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(4)14．
【详解】（1）由拼图可得，图2中阴影部分的正方形的边长为a−b，
故答案为：a−b；
（2）方法一：阴影部分是边长为a−b的正方形，因此面积为(a−b)2，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长a，宽为b的长方形面积，即a+b2−4ab
故答案为：(a−b)2，a+b2−4ab
（3）由（2）得，(a−b)2=(a+b)2−4ab，
故答案为：(a−b)2=(a+b)2−4ab；
（4）∵x+y=6,xy=112，(x−y)2=(x+y)2−4xy，
(x−y)2
=(x+y)2−4xy
=36−22
=14，
故答案为：14．
23．（本题8分）阅读材料：我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如4a−2a+a=4−2+1a=3a，类似地，我们把x+y看成一个整体，则4x+y−2x+y+x+y=4−2+1x+y=3x+y．请仿照上面的解题方法，完成下列问题：
(1)把x−y2看成一个整体，合并3x−y2−6x−y2+2x−y2= ；
(2)已知a2−2b=4，求3a2−6b−21的值；
【拓广探索】
(3)已知a−5b=3，5b−3c=−5，3c−d=10，求a−3c+5b−d−5b−3c的值．
【答案】(1)−x−y2
(2)−9
(3)8
【详解】（1）解：3x−y2﹣6x−y2+2x−y2
=3−6+2x−y2
=−x−y2；
故答案为：−x−y2；
（2）解：∵a−2b=4，
∴3a2−6b−21
=3a2−2b−21
=3×4−21
=12−21
=−9；
（3）解：∵a−5b=3，5b−3c=−5，3c−d=10，
∴原式=a−3c+5b−d−5b+3c
=a−5b+5b−3c+3c−d
=3−5+10
=8．
24．（本题8分）已知关于x的多项式A，B，其中A=mx2+2x−1，B=x2−nx+2（m，n为有理数）．
(1)化简2B−A；
(2)若2B−A的结果不含x项和x2项，求m、n的值．
【答案】(1)2x2−mx2−2nx−2x+5
(2)m=2，n=−1
【详解】（1）解：2B−A
=2x2−nx+2−mx2+2x−1
=2x2−2nx+4−mx2−2x+1
=2x2−mx2−2nx−2x+5；
（2）解：由（1）得2B−A=2−mx2−2n+2x+5，
∵2B−A的结果不含x项和x2项，
∴2−m=0，2n+2=0，
解得m=2，n=−1．
25．（本题8分）双11网络促销活动即将到来，甲、乙两家网店分别出售A型、B型两种取暖器，零售价及运费如下表所示：
某公司计划在网上采购A型、B型两种取暖器共100台，其中A型取暖器购买x台．
(1)若两种取暖器全部在甲网店购买，需付总费用为 元（用含x的最简式子表示）；若两种取暖器全部在乙网店购买，需付总费用为 元（用含x的最简式子表示）；
(2)当x=60时，请通过计算解决下列问题：
①在（1）中的条件下，该公司在哪家网店购买取暖器更划算？
②若两种取暖器可以同时在两家网店自由选择购买，还有比①中更优惠的方案吗？如果有，请写出这个方案，并求出此时购买取暖器的总费用：如果没有，请说明理由．
【答案】(1)21000−100x，20200−82x
(2)①在甲网站购买比较合算；②有更优惠的方案，即在甲网站购买60台A型取暖器，在乙网站购买40台B型取暖器，此时费用为14680元
【详解】（1）解：A型取暖器购买x台，则B型取暖器购买100−x台，
若两种取暖器全部在甲网店购买，
则需付总费用为100x+10x+200100−x+10100−x=21000−100x元，
若两种取暖器全部在乙网店购买，
则需付总费用为120x+190100−x+12100−x=20200−82x元，
故答案为：21000−100x，20200−82x；
（2）解：①当x=60时，21000−100x=15000（元），20200−82x=15280（元），
∵15000<15280，
∴在甲网站购买比较合算；
②有，在甲网站购买A型取暖器x台，在乙网站购买B取暖器100−x台，
需要的费用为100x+10x+190100−x+12100−x=20200−92x元，
当x=60时，20200−92x=14680（元），
答：有更优惠的方案，即在甲网站购买60台A型取暖器，在乙网站购买40台B型取暖器，此时费用为14680元．
26．（本题10分）在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+(c−7)2=0
(1)a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合；
(3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝ ，AC＝ ，BC＝ ．（用含t的代数式表示）
(4)请问：3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)-2，1，7
(2)4
(3)3t+3，5t+9，2t+6
(4)不变，定值12
【详解】（1）∵|a+2|+(c−7)2=0，
∴a+2=0，c-7=0，
解得a=-2，c=7；
∵b是最小的正整数，
∴b=1；
故答案为：-2，1，7．
（2）设B的对称点D对应的数为x，则线段AC和BD的中点重合，
∴1+x2=−2+72 ，
解得：x=4，
∴与点B重合的数是：4．
故答案为4．
（3）AB=t+2t+3=3t+3，AC=t+4t+9=5t+9，BC=2t+6；
故答案为：3t+3，5t+9，2t+6．
（4）不变．
∵3BC−2AB=3(2t+6)−2(3t+3)=12，
∴3BC−2AB的值为定值，为12，故不变．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
每支价格相对标准价格（元）
+2
+1
0
+1
−2
售出支数（支）
9
12
20
26
42
型号
网店
A型
B型
运费
A型
B型
甲
100元/台
200元/台
10元/台
10元/台
乙
120元/台
190元/台
免运费
12元/台