专题01 数轴动点压轴精选（1）距离类-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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知识精讲
1.学习运用分类思想：即把某一个问题，按某一个标准，分成不同情况讨论。
数轴分类一般根据点的位置：左，中，右。（或小于，等于，大于）
2.初步体会点、线、式解决动点问题（数轴动点万能公式）。
点：即某个点表示的数。（不知道时可以设字母表示）；
线：两点之间的距离。可以用表示的数的差的绝对值表示(或大-小)。
公式表示:
设点A表示的数为 x1,点B表示的数为x2,则A、B两点之间的距离：
AB=x1−x2（不确定大小时）=x大−x小.知大小时
例:点A表示的数是6,点B表示的数是-3,则点A与点B之间的距离:
法一:大-小AB=6-(-3)=9
法二:差的绝对值(主要用于动点,无法确定两个点表示的数的大小关系时.)
AB=6−(−3)或A B=(−3)−6=9
式：根据题目要求，列出相关的代数式或等式。
3.动点表示方法：
巧记：左减右加--速度× 时间（t）
（1）向右移动:起始点+速度× 时间（t）
（2）向左移动: 起始点-速度× 时间（t）
例：点A表示的数是-1，点B表示的数是2.
若点A以每秒3个单位长度向右运动，则t秒后点A表示的数为-1-3t;
若点B以每秒2个单位长度向右运动，则t秒后点B表示的数为2+2t;
4.本专题研究的考试题型：
（1）会用代数式表示动点。
（2）会求两点间的距离。
（3）动点相遇.---即两个点表示的数相同。
典例分析
一、解答题
1．阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数−18，8大于−18，用8−−18．用式子表示为：AC=8−−18=26．根据阅读完成下列问题：

(1)填空：AB=______，BC=______．
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)10，16
(2)不会改变，见解析
(3)t或−t+12或t−12
【详解】（1）解： AB=−8−−18=10，BC=8−−8=16，
（2）解：不变，
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是−18−t，−8+4t，8+9t，
所以：BC=8+9t−−8+4t=16+5t， AB=−8+4t−−18−t=10+5t，
所以：BC−AB=16+5t−10+5t=6，
所以BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是−18+t，−18+2t−6，
当点Q追上点P时，−18+t−[−18+2t−6]=0，
解得：t=12，
①当0所以：PQ=t，
②当6所以：PQ=−18+t−−18+2t−6=−t+12，
③当12所以：PQ=−18+2t−6−−18+t=t−12，
综上所述，P、Q两点间的距离为t或−t+12或t−12．
2．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数：−22，−2，8，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．
(1)填空：A、B两点之间的距离是________；A、P两点之间的距离是________；点P对应的数是________．（可用含t的代数式表示）
(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，请用含t的代数式表示P、Q两点之间的距离．
【答案】(1)20，t，−22+t
(2)P，Q两点距离表示为60−2t(20≤t≤30)
【详解】（1）解：∵数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数：−22，−2，8，
∴AB=−2−(−22)=20，
∵动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒，
∴A、P两点之间的距离是t，点P对应的数是−22+t，
故答案为：20，t，−22+t；
（2）∵点P表示的数为−22+t，
点P到达点B共用20秒，
∴点Q所表示的数为−22+3(t−20)=−82+3t，
∴P，Q两点距离表示为：−22+t−(−82+3t)=60−2t(20≤t≤30)．
3．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数−20，−8，8，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为x秒．
(1)当x=6时，点P到点A的距离PA= ______ ；此时点P所表示的数为______ ；
(2)当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后也停止运动，则点Q出发5秒时与P点之间的距离QP= ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点Q到达C点之前，请求出点Q移动几秒时恰好与点P之间的距离为2个单位？
【答案】(1)6，−14
(2)3
(3)103秒或143秒
【详解】（1）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，
∴当移动时间为6秒时，PA=6；
又∵点A表示有理数−20，
∴当移动时间为6秒时，点P表示的数为−20+1×6=−14．
故答案为：6，−14；
（2）当点Q出发5秒时，点P表示的数为−8+1×5=−3，点Q表示的数为−20+4×5=0，
∴此时QP=|−3−0|=3．
故答案为：3；
（3）当点Q的移动时间为x秒时，点P表示的数为−8+x，点Q表示的数为−20+4x，
根据题意得：|−20+4x−(−8+x)|=2，
即12−3x=2或3x−12=2，
解得：x=103或x=143．
答：在2的条件下，当点Q到达C点之前，点Q移动103秒或143秒时恰好与点P之间的距离为2个单位．
4．如图：在数轴上，点A对应的数是−3，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为t0<1<16秒．
(1)当t=1时，线段MN的长为________（直接填空）；当t=3时，线段MN的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；
(3)当线段MN的长为7时，直接写出t的值．
【答案】(1)4，3
(2)92
(3)8或9
【详解】（1）解：当t=1时，点M表示的数为1，点N表示的数为−3，
∴MN=1−−3=4；
当t=3时，点N表示的数为−3+3×1=0，点N表示的数为3，
∴MN=3−0=3；
故答案为：4，3；
（2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点M表示的数为−3+3t−2=3t−9，点N表示的数为t，
∴3t−9=t，
解得t=92；
（3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得t−−3t=7，
解得t=74，不符合题意；
当点N在点A停留时，由题意得，t−−3=7，
解得t=4，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，t−3t−9=7，
解得t=1，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，3t−9−t=7，
解得t=8；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，16−t=7，
解得t=9；
综上所述，t=8或t=9．
5．如图，在数轴上点A表示的有理数为−4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．
(1)t=2时点P表示的有理数为 ___________；
(2)求点P是AB的中点时t的值；
(3)请直接写出点P到点A的距离（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出点P表示的有理数（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)0
(2)2.5 或7.5
(3)2t或(20−2t)
(4)16−2t
【详解】（1）解：点P表示的有理数为−4+2×2=0；
故答案为：0；
（2）解：AB=6−(−4)=10，
∴AP=BP=10÷2=5，
当由A到B方向运动时，t=5÷2=2.5，
当由B到A方向运动时，t=(10+5)÷2=7.5．
综上，点P是AB的中点时t=2.5或7.5；
（3）解：当点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离AP的长度为2t；当点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离为(20−2t)；
（4）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是−4+2t；
在点P由点B到点A的返回过程中，点P表示的有理数是−4+(20−2t)=16−2t．
6．如图．点A、C、B在数轴上表示的数分别是−3，1、5．动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿A→B→A运动．回到点A时停止运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿C→B向终点B运动，设点P的运动时间为t（s）．
(1)当点P到达点B时，点Q表示的数为___________；
(2)当t=1时，求点P、Q之间的距离；
(3)当点P沿A→B运动时，用含t的式子表示点P、Q之间的距离；
(4)当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2，直接写出点Q、B之间的距离．
【答案】(1)3
(2)1
(3)3t−4
(4)1.5
【详解】（1）解：点P的运动时间为：5−−3÷4=2秒，
故点Q的运动长度为1×2=2，表示的数为3．
（2）解：当t=1时，点P表示的数是−3+4×1=1，
点Q表示的数是1+1=2，所以点P、Q之间的距离是1．
（3）解：当点P沿A→B运动时，若点P、Q重合前，则点Q表示的数大于点P表示的数，所以1+t−−3+4t=4−3t，所以点P、Q之间的距离为4−3t；
当点P、Q重合时，点P、Q之间的距离是0；当点P超过点Q时，则点P表示的数大于点Q表示的数，所以−3+4t−1+t=3t−4，所以点P、Q之间的距离为3t−4．
（4）解：当点P沿B→A运动时，若点P、B之间的距离是2时，运动时间为：10÷4=2.5秒，则点Q的运动长度为：2.5×1=2.5秒，QB=4−2.5=1.5．
7．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
(1)已知点A、B、C在数轴位置如图所示，则到点A的距离为4的点表示的数是___________．
(2)数轴上，点B关于点A的对称点表示的数是___________．
(3)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是___________．若此数轴上M，N两点之间的距离为2022（M在N的左侧）．且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是___________，点N表示的数是___________．
(4)A，B两点之间的距离为___________．
(5)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点M到P，Q两点的距离相等，点P表示的数是___________，点Q表示的数是___________（用含a，b的式子表示这两个数）．
【答案】(1)6或-2；
(2)6；
(3)1，-20232，20212；
(4)4
(5)b-a2，b+a2
【详解】（1）解：观察数轴可知：点A、B、C表示的数分别是2，-2，-3，
与点A的距离为4的点表示的数是2+4=6或2-4=-2．
故答案为：6或-2；
（2）解：数轴上，点B关于点A的对称点表示的数是：2-（-2）+2=6．
故答案为：6；
（3）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合，
∴对称点表示的数为：2-32=-12，
∴与点B重合的点表示的数是：-12+-12--2=1；
∴M表示的数是：-12-20222=-20232，
N表示的数是：-12+20222=20212．
故答案为：1，-20232，20212；
（4）解：A，B两点之间的距离为2-（-2）=4．
故答案为：4；
（5）解：根据题意得，
P表示的数为：b-a2，
Q表示的数为：b+a2．
故答案为：b-a2，b+a2．
8．已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足a+4+b−82=0．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）．
(1)直接写出a、b的值，a=______，b=______；
(2)点P碰到挡板时，t的值为______；
(3)当t=4时，点P表示的有理数为______；当t=7时，点P表示的有理数为______；
(4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)−4，8；
(2)6；
(3)4，5；
(4)4或 223．
【详解】（1）解：∵a+4+b−82=0
∴a+4=0，b−8=0，
∴a=−4，b=8，
故答案为：−4，8；
（2）解：∵点A表示的数为−4，点B表示的数为8，
∴ AB=8−(−4)=12，
∴点P碰到挡板时，t的值为12÷2=6，
故答案为：6；
（3）解：当t=4时，点P表示的有理数为−4+4×2=4，
当t=7时，点P表示的有理数为8−3×(7−6)=5；
故答案为：4，5；
（4）解：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等，理由如下：
当0≤t≤6时，点P表示的数为−4+2t，
∴ −4+2t=0+82，
解得t=4，
当t＞6时，点P表示的数是 8−3(t−6)=26−3t，
则有26−3t=0+82，
解得t=223，
综上所述，t的值为4或 223．
9．已知数轴上两点A、B对应的数分别为−1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】(1)1
(2)−2或4
(3)点P所经过的总路程是24个单位长度
【详解】（1）∵1−(−1)=2，2的绝对值是2，
1−3=−2，−2的绝对值是2，
∴点P对应的数是1．
（2）当P在AB之间，PA+PB=4（不可能有）
当P在A的左侧，PA+PB=−1−x+3−x=6，得x=−2
当P在B的右侧，PA+PB=x−(−1)+x−3=6，得x=4
故点P对应的数为−2或4；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：
2a=4+a，
解得a=4．
则6a=24．
答：点P所经过的总路程是24个单位长度．
10．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B点对应的数为90．
(1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ；
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度？
【答案】(1))40
(2)27.5
(3)9.5秒或15.5秒
【详解】（1）解：M点对应的数是−10+90÷2=40
（2）解：∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为90，
∴AB=90+10=100，
设t秒后P、Q相遇，
∴5t+3t=100，解得t=12.5；
∴此时C点表示的数为90−5×12.5=27.5．
（3）相遇前：100−24÷5+3=9.5（秒），
相遇后：100+24÷5+3=15.5（秒）．
则经过9.5秒或15.5秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度．
11．数轴是一个非常重要的数学工具， 它使数和数轴上的点建立起对应关系， 揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题∶
(1)如果点 A 表示数 －3 ， 点 B 表示的数是2，A、 B 两点间的距离是 ．
(2)如果点 A 表示数 3 ， 将 A 点在数轴上移动4个单位长度后， 到达点 B ，则点 B表示的数是 ．
(3)如果点 A 表示的数为 m， 将 A 点在数轴上移动 n 个单位长度， 那么点 B 表示的数是 ．
(4)如果点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数是 b， 则A、 B 两点间的距离是 ．
【答案】(1)5
(2)－1或7
(3)m+n或m－n
(4)a−b
【详解】（1）A，B两点之间的距离是2−(−3)=5．
故答案为：5；
（2）点B表示的数是3－4=－1或3+4=7．
故答案为：－1或7；
（3）点B表示的数是m－n或m+n．
故答案为：m－n或m+n；
（4）A，B两点之间的距离是a−b．
故答案为：a−b．
12．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为70．
（1）数轴上有一点M，M点距离A点10个单位长度，请计算M点与B点的距离；
（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数；
（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时P点对应的数．
【答案】（1）M点与B点的距离为：90或70；（2）C点对应的数是38；（3）经过9秒或23秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，此时，点P对应的数为17和 59．
【详解】（1）∵A点对应的数为−10，B点对应的数为70，M点距离A点10个单位长度，
∴M所对应的数为-20或0，
∴M点与B点的距离为：90或70；
（2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为70，
∴AB=70+10=80，
设t秒后P、Q相遇，
∴3t+2t=80，解得：t=16，
∴此时点P走过的路程=3×16=48，
∴此时C点表示的数为：−10+48=38，
答：C点对应的数是38；
（3）相遇前：(80−35)÷(2+3)=9(秒)，
点P对应的数为：-10+3×9=17，
相遇后：(35+80)÷(2+3)=23(秒)．
点P对应的数为：-10+3×23=59，
答：经过9秒或23秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，此时，点P对应的数为17和59．