专题2.1 数字规律问题（压轴题专项讲练）2024秋季学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题2.1 数字规律问题【典例1】观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14……（1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：1n(n+1)=______．（2）直接写出下面算式的结果：11×2+12×3+13×4+…+12019×2020=____________；以下两小题，需写出解答过程：（3）计算：12−1+13−12+⋯+199−198+1100−199（4）探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12006×2008．【思路点拨】（1）观察题干中所给的式子可得结果；（2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果；（3）先去绝对值，再利用拆项法变形，计算即可得到结果；（4）将原式变形为14×11×2+12×3+13×4+⋯+11003×1004，再利用拆项法变形，计算即可得到结果．【解题过程】解：（1）由题意可得：1n(n+1)=1n−1n+1；（2）由题意可得：11×2+12×3+13×4+…+12019×2020=1−12+12−13+13−14+…+12019−12020=1−12020=20192020；（3）12−1+13−12+⋯+199−198+1100−199=1−12+12−13+⋯+198−199+199−1100=1−1100=99100；（4）12×4+14×6+16×8+⋯+12006×2008=14×11×2+14×12×3+14×13×4+⋯+14×11003×1004=14×11×2+12×3+13×4+⋯+11003×1004=14×1−12+12−13+13−14+⋯+11003−11004=14×1−11004=14×10031004=10034016．1．（2022秋·四川绵阳·七年级校考期中）一组数1，3，7，15，31…按下列分组．第一组1、3、7，第二组1、3、7、15，第三组1、3、7、15、31，…按此规律排列，则第10组所有数之和为（   ）A．212−14 B．213−14 C．212−12 D．213−122．（2023·全国·七年级专题练习）观察下列算式：32=9，33=27，34=81，35=243，…，那么32023的末位数字为(   )A．1 B．3 C．7 D．93．（2023秋·全国·七年级专题练习）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数a=15+25+35+45+55+⋯+295，则这个数a的个位数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）把2021个数1，2，3，…，2021的每一个数的前面任意填上“＋”号或“－”号，然后将它们相加，则所得之结果为（    ）A．偶数 B．奇数 C．正数 D．不能确定5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知两个整式M1=x+1，M2=x−1，用整式M1与整式M2求和后得到整式M3=2x，整式M2与整式M3作差后得到整式M4=−x−1，整式M3与整式M4求和后得到新的整式M5，整式M4与整式M5作差后得到新的整式M6，…，依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式．下列说法：①当x=1时，M7=−2；②整式M2与整式M10结果相同；③M6=M11+M19；④M1+M2+⋅⋅⋅+M2027+M2028=0．正确的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022·七年级单元测试）有依次排列的两个整式：x，x−2，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，2，x−2，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，x−2，2，4−x，x−2，以此类推．通过实际操作，小南同学得到以下结论：①第二次操作后，当x<2时，所有整式的积为正数；②第三次操作后整式串共有9个整式；③第n次操作后整式串共有2n+1个整式（n为正整数）；④第2023次操作后，所有的整式的和为2x+4044．四个结论正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2022·全国·七年级假期作业）观察下面一列有规律的数：−13，29，−327，481，…根据规律可知，第5个数是 ，第n个数是 ．8．（2022秋·福建厦门·七年级统考期末）已知整数a1，a2，a3，a4 …满足下列条件：a1=0，a2=−a1+1，a3=−a2+2，a4=−a3+3，⋯，依此类推，则a2023= ．9．（2023春·广东广州·七年级统考期末）将数1个1，2个12，3个13，…，n个1n（n为正整数）顺次排成一列1，12，12，13，13，13，…1n，1n…记a1=1，a2=a1+12+12，a3=a2+13+13+13，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…+an，则S2021−S2019= ．10．（2022秋·河北张家口·七年级统考期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为x（x是正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由x与1差的绝对值得到，即为x−1，第四个数是由x−1与x差的绝对值得到，即为x−1−x，…依此类推．①若x=2，则这列数的前5个数的和为 ；②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则x= ．11．（2022秋·江苏·七年级专题练习）定义：若a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数．如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−−1=12．已知a1=−13，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，则a3=______；a4是a3的差倒数，…，依次类推，回答下列问题：（1）a2=______，a3=______，a4=______．（2）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2019的值．12．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得a=　　，第2022个格子中的数为 　　；（2）求前2022个格子中所填整数之和S的值；（3）若前m个格子中所填整数之和S=−2022，求m的值．（直接写出答案即可）13．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）定义公运算，观察下列运算：+3☆+15=+18；−14☆−7=+21；−2☆+14=−16；+15☆−8=−23；0☆−15=+15；+13☆0=+13．（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则，再写出下列算式的结果．+2☆+11=______；−8☆−7=______；−5☆+16=______；0☆−13=______；（2）计算：+11☆0☆−12= ______．（3）若2☆a−1=3a，求a的值．14．（2023·江苏·七年级假期作业）阅读探究：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，…（1）根据上述规律，小亮发现2+22+23+24+25=2m−2，求出m=___________．（2）小聪继续又发现：23+24=2+22+23+24−2+22=25−2323+24+25=2+22+23+24+25−2+22=2m−2323+24+25+26=2+22+23+24+25+26−2+22=2n−23，求出n=___________．（3）若A=250+251+252+⋅⋅⋅+2100=2a−2b，请运用小聪的方法求a和b的值15．（2022秋·全国·七年级期末）观察下面算式，解答问题：1+3=4=1+322=22；1+3+5=9=1+522=32；1+3+5+7+9=25=1+922=52……（1）1+3+5+7+9+…+29的结果为______________；（2）若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+2n−1+2n+1的值为_____________；（3）请用上述规律计算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求写出详细解答过程）．16．（2023春·重庆江津·七年级重庆市江津第二中学校校联考阶段练习）阅读材料：求1+2+22+23+⋯⋯+22019+22020的值．解：设S=1+2+22+23+⋯⋯+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S=2+22+23+24+⋯⋯+22020+22021②，用②－①得，2S−S=22021−1即S=22021−1．即1+2+22+23+⋯⋯+22019+22020=22021−1．请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+22+23的值为______；（2）求1+5+52+53+⋯⋯+510值；（3）请直接写出1−10+102−103+104−105+⋯⋯−102019+102020−102021的值．17．（2022秋·七年级课时练习）观察下列等式：第1个等式：a1=11×3=12×1−13；第2个等式：a2=13×5=12×13−15；第3个等式：a3=15×7=12×15−17；第4个等式：a4=17×9=12×17−19．…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ＝ ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝ （n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a2020 的值．18．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）如表所示的数中，第n+3个数比第n个数大2（其中n是正整数）．（1）第6个数可表示为 　　；第7个数可表示为 　　；（2）第22个数是12，第23个数为61，则a=　　，b=　　；（3）第2025个数可表示为 　　．19．（2022秋·辽宁大连·七年级校考阶段练习）观察下面三行数：2，−4，8，−16，32，−64，……；①−12，1，−2，4，−8，16，……；②−3，9，−15，33，−63，129……；③（1）请直接写出第①行数的第100项：________，第n项：________．（2）用式子表示第②行数的第2020项：________．（3）取每行的第10个数，计算这三个数的和．20．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知x1，x2，x3，…x2017都是不等于0的有理数，请探究以下问题：（1）y1=|x1|x1，则y1=　　．（2）y2=|x1|x1+x2|x2|+|x1x2|x1x2，则y2=　　．（3）y3=|x1|x1+x2|x2|+|x3|x3+|x1x2x3|x1x2x3，则y3=　　．（4）由以上探究可以知道：y2017=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3+…+x2017x2017，共有　　种不同的值，在y2017这些不同的值中，最大值与最小值的差值等于　　，y2017的这些不同的值的绝对值的和等于　　−2a6b−9c…第1个数第2个数第3个数第4个数第5个数…abca+2b+2…