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专题1.4 有理数（压轴题综合测试卷）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）
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这是一份专题1.4 有理数（压轴题综合测试卷）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题14有理数压轴题综合测试卷人教版原卷版docx、专题14有理数压轴题综合测试卷人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022秋·全国·七年级期中）若aA．a+b+c+d一定是正数B．d+c−a−b可能是负数
C．d−c−b−a一定是正数D．c−d−b−a一定是正数
【思路点拨】
本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数；对于B，d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.
【解题过程】
解：A.根据已知条件aB. 根据已知条件a0，-a>-b>0，所以d+c-a-b>0，故错误；
C. 根据已知条件a0，-a-b>0，所以d−c−b−a一定是正数，故正确；
D，根据已知条件a故选C
2．（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ）
A．159B．-156C．158D．1
【思路点拨】
根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．
【解题过程】
解：设向右为正，向左为负，则
P1 表示的数为+1，
P2 表示的数为+3
P3 表示的数为0
P4 表示的数为-4
P5 表示的数为+1……
由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为39×-4=−156．则第157次向右移动157个单位长度，P157=1；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以P158=1+158=159．
故P158在数轴上表示的数为159．
故选A．
3．（2022秋·广西防城港·七年级统考阶段练习）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2<0； ②a−b+b−c=|a−c|； ③a+bb+cc+a>0；④|a<1−bc．其中正确的结论有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
【思路点拨】
根据数轴上各数的位置得出a<−1<0【解题过程】
解：根据题意得：a<−1<0则①a2−a−2=a−2a+1>0；
故①错误；
②∵a−b+b−c=−a+b−b+c=−a+c，
a−c=−a+c，
∴a−b+b−c=a−c；
故②正确；
③∵a+b<0，b+c>0，c+a<0，
∴a+bb+cc+a>0；
故③正确；
④∵a>1，1−bc<1，
∴a>1−bc；
故④错误；
故正确的结论有②③，一共2个．
故选：C．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【思路点拨】
根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c和3−16−c=c，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【解题过程】
解：∵ a−2=18，
∴ a−2=18或a−2=−18，
∴ a=20或a=−16，
当a=20时，3a−c=c等价于320−c=c，即60−3c=c，
∴ 60−3c=c或60−3c=−c，
∴ c=15或c=30；
当a=−16时，3a−c=c等价于3−16−c=c，即−48−3c=c，
∴ −48−3c=c或−48−3c=−c，
∴ c=−12或c=−24，
故c=15或c=30或c=−12或c=−24，
∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．
故答案为：D
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【思路点拨】
通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可．
【解题过程】
解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵21÷4=5⋯⋯1，
∴221的末尾数字与21=2的尾数相同为2，
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵11÷4=2⋯⋯3
∴311的末尾数字与33=27的尾数相同为7，
∴221+311的末位数字是：2+7=9．
故选：D．
6．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a、b、c满足a>b>c(ac<0)，且cA．a−c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b−c2
【思路点拨】
根据ac<0可知a，c异号，再根据a>b>c，以及c【解题过程】
解：∵ac<0，
∴a，c异号，
∵a>b>c，
∴a>0，c<0，
又∵c∴−a<−b又∵|x﹣a+b2|+|x﹣b+c2|+|x+a+c2|表示到a+b2，b+c2，−a+c2三点的距离的和，
当x在b+c2时距离最小，
即|x﹣a+b2|+|x﹣b+c2|+|x+a+c2|最小，最小值是a+b2与−a+c2之间的距离，即2a+b+c2．
故选：C．
7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80B．90C．100D．120
【思路点拨】
分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．
【解题过程】
解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；
和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；
和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；
和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；
∵每次所得的和最小是5，
∴最小的两个数字为2或3；
∵每次所得的和最大是8，
∴最大的两个数字为4或5；
当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；
∴2×3×4×4=96，2×3×3×5=90，
故选：B．
8．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【思路点拨】
共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12
个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．
【解题过程】
解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，
所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，
则a所在的横着的一行最后一个圈为3，
−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，
目前数字就剩下−4,−3,0,6，
1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，
−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，
这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，
所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，
则a所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a为−3
故选：B
9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）有一列数−1,−2,−3,−4，将这列数中的每个数求其相反数得到1,2,3,4，再分别求与1的和的倒数，得到12,13,14,15，设为a1,a2,a3,a4，称这为一次操作，第二次操作是将a1,a2,a3,a4再进行上述操作，得到a5,a6,a7,a8；第三次将a5,a6,a7,a8重复上述操作，得到a9,a10,a11,a12……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个
①a5=2，a6=32，a7=43，a8=54 ②a2015=3
③a1+a2+a3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a49+a50=−11310．
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】
根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．
【解题过程】
解：由题意得：a1=12，a2=13，a3=14，a4=15，
a5=1−12+1=2，a6=1−13+1=32，a7=1−14+1=43，a8=1−15+1=54，故①正确；
∵2015÷4=503⋯⋯3，
∴a2015是由a3经过503次操作所得，
∵a3=14，a7=1−14+1=43，a11=1−43+1=−3，a15=13+1=14，
∴a3、a7、a11、……，三个为一组成一个循环，
∵503÷3=167⋯⋯2，
∴a2015=a11=−3，故②错误；
依次计算：a9=1−2+1=−1，a10=1−32+1=−2，a11=1−43+1=−3，a12=1−54+1=−4，
a13=11+1=12，a14=12+1=13，a15=13+1=14，a16=14+1=15，
…，
则每3次操作，相应的数会重复出现，
∵a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12
=12+13+14+15+2+32+43+54−1−2−3−4
=−7930，
∵50÷12=，
∴a1+a2+a3+a4+…+a48+a49+a50
=−7930×4+12+13
=−9710．故③错误；
综上分析可知，正确的有2个，
故选：B．
10．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或−3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为−1或3；
③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为−7；
④若a=b且|a−b|=23，则式子a+b−abb2+1的值为110；
⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb−a(ab时，{a，b}的值为b−a．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】
①由题意可得，abc<0，则a，b，c中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc<0可得a，b，c中有一个值为负数，求解即可；③根据x≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a=b或a=−b，分别求解即可；⑤根据题意可得a，b异号，分两种情况求解即可．
【解题过程】
解：①由|abc|abc=−1可得abc<0，a，b，c中有一个或三个值为负数，
当a<0，b>0，c>0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1+1+1=1
当a<0，b<0，c<0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1−1−1=−3
故①正确；
②由abc<0和a+b+c=0得a，b，c中有一个值为负数，
∴a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a
∴−a|a|+−b|b|+−c|c|=1−1−1=−1，
故②错误；
③当−3≤x≤4时，x−4≤0，x+3≥0，
则x+3−x−4=x+3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7
当x<−3时，x−4≤0，x+3<0
则x+3−x−4=−x−3+x−4=−7
故③正确；
④由a=b可得a=b或a=−b
当a=b时，a−b=0与|a−b|=23矛盾，舍去；
当a=−b时，a−b=−2b，a+b=0且2b=23
解得a=13,b=−13或a=−13,b=13
则ab=−19，b2=19
a+b−abb2+1=1919+1=110
故④正确；
⑤由题意可得a，b异号，
当a<0，b>0时，a=−a，b=b，
由a>b可得−a>b，即a+b<0符合题意，此时a<0则{a，b}=b−a
当a>0，b<0时，a=a，b=−b
由a>b可得a>−b，即a+b>0，与a+b<0矛盾，舍去，
综上{a，b}=b−a
故⑤正确；
正确的个数为4
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a，b，c满足a【思路点拨】
根据a+b+c=0，a0，a+b<0，则a>b，再由a<10，a，b，c都是整数，得到a≤9则b≤8，根据a+b=−b+a=−b−a，b≥−b，a≥a即可得到c=−a−b=a+b≤a+b≤17，由此求解即可．
【解题过程】
解：∵a+b+c=0，a∴a<0，c>0，a+b<0，
∴a>b，
∵a<10，a，b，c都是整数，
∴a≤9
∴b≤8，
∵a+b=−b+a=−b−a，b≥−b，a≥a
∴c=−a−b=a+b≤a+b≤17，
∴a+b+c的值最大为9+8+17=34，
故答案为：34．
12．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是 ．
【思路点拨】
根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8分类讨论即可解答．
【解题过程】
解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，
∴四个括号内是各不相同的整数，
不妨设（2021﹣a）＜（2021﹣b）＜（2021﹣c）＜（2021﹣d），
又∵（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，
∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝8084﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8084﹣[（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）]，
①当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，
a+b+c+d＝8084﹣（﹣2）＝8086；
②当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣2﹣1+1+4＝2时，
a+b+c+d＝8084﹣2＝8082．
故答案为：8086或8082．
13．（2022秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 ．
【思路点拨】
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【解题过程】
解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；
由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．
故答案为：8和9．
14．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 ．
【思路点拨】
根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
【解题过程】
解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作AB，定义AB=a−b，若a+4+b−12=0，设点P在数轴上对应的数是x，当PA，PB相差2时，则x的值为 ．
【思路点拨】
先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，a=−4，b=1，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到x+4−x−1=2或 x−1−x+4=2，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可．
【解题过程】
解：∵a+4+b−12=0，
∴a+4=0，b−1=0，
即 a=−4，b=1，
∵PA， PB相差2，
∴ x+4−x−1=2或x−1−x+4=2，
当x+4−x−1=2时，
x≤−4时，−x−4+x−1=2，无解；
－４＜x≤１时，x＋4+x−1=2，解得x＝−0.5，
x＞1时，x+4−x+1=2，无解；
当x−1−x+4=2时，
x≤−4时，−x+1+x+4=2，无解，
－４＜x≤１时，−x＋1−x−4=2，解得x=−2.5，
x＞1时，x−1−x−4=2，无解；
综上所述，x的值为：−0.5或 −2.5，
故答案为：−0.5或 −2.5．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）①−32×−132+34−16+58×−24
②−23+−3×−42+2−−32÷−2
③−47.65×2611+−37.15×−2611+10.5×−7511+5÷12+13
④−56+23÷−712×72+−13+−12018
【思路点拨】
①先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；
②先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；
③先利用乘法分配律对原式进行整理，再根据有理数混合运算法则计算；
④先计算乘方和绝对值，再计算括号内的，最后计算括号外的．
【解题过程】
解：①−32×−132+34−16+58×−24
=−9×19+34×−24−16×−24+58×−24
=−1−18+4−15
=−30
②−23+−3×−42+2−−32÷−2
=−8+−3×16+2−9÷−2
=−8−54+92
=−5712
③−47.65×2611+−37.15×−2611+10.5×−7511+5÷12+13
=−47.65×2611+37.15×2611+10.5×−7511+5÷56
=−47.65+37.15×2611+10.5×−7511+5×65
=−10.5×2611+10.5×−7511+6
=10.5×−2611+10.5×−7511+6
=10.5×−2611−7511+6
=10.5×−10+6
=−105+6
=−99
④−56+23÷−712×72+−13+−12018
=−16×−127×72+13+1
=1+13+1
=73．
17．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
（1）3⊕−2=___________；
（2）求−5⊕−4⊕12的值；
（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明
【思路点拨】
（1）将a=3，b=−2代入a⊕b=a×b+2×a计算可得；
（2）根据法则，先计算−4⊕12=−10，再计算−5⊕−10⊕(−10)可得；
（3）计算3⊕−2和−2⊕3即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：∵a⊕b=a×b+2×a，
∴3⊕−2=3×−2+2×3=0；
（2）解：∵a⊕b=a×b+2×a，
∴−5⊕−4⊕12
=−5⊕−4×12+2×−4
=−5⊕−10
=−5×−10+2×−5
=40；
（3）解：新运算“⊕”不满足交换律．
例如：由（1）知3⊕−2=0
又∵−2⊕3=−2×3+2×−2=−10
∴3⊕−2≠−2⊕3，
∴新运算“⊕”不满足交换律．
18．（2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−−2=3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，−2，3的“分差”为−53．
（1）−2，−4，1的“分差”为______；
（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．
【思路点拨】
（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；
（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：−2−−4=2，−2−12=−32，−4−13=−53，
∵−53<−32<2，
∴−2，−4，1的“分差”为−53，
故答案为：−53；
（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−53；
②这三个数的位置为：−2，1，−4时，
则−2−1=−3，−2−−42=1，1−−43=53，
∵−3<1<53，
∴−2，1，−4的“分差”为−3；
③这三个数的位置为：1，−2，−4时，
则1−−2=3，1−−42=52，−2−−43=23，
∵23<52<3，
∴1，−2，−4的“分差”为23；
④这三个数的位置为：1，−4，−2时，
则1−−4=5，1−−22=32，−4−−23=−23，
∵−23<32<5，
∴1，−4，−2的“分差”为−23；
⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，
则−4−1=−5，−4−−22=−1，1−−23=1，
∵−5<−1<1，
∴−4，1，−2的“分差”为−5；’
⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，
则−4−−2=−2，−4−12=−52，−2−13=−1，
∵−52<−2<−1，
∴−4，−2，1的“分差”为−52；
∵23>−23>−53>−52>−3>−5，
∴这些不同“分差”中的最大值为23．
19．（2022秋·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
【思路点拨】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；
（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；
（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．
【解题过程】
解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），
故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）
答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；
（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）
＝1260+11×0.75
＝1260+8.25
＝1268.25（元），
答：小王这一周的工资总额是1268.25元；
（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；
第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；
第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；
第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；
第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；
第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；
第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；
共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．
答：小王这一周的工资总额是1267.1元．
20．（2023秋·山西运城·七年级统考期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，−2÷−2÷−2÷−2等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，−2÷−2÷−2÷−2记作−2④，读作“−2的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷an个a≠0记作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：4③=______，−124=______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式
−3④=______；5⑥=______；12⑤=______．
（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于______．
（4）比较：−9⑤______−3⑦（填“>”“<”或“=”）
【灵活应用】
（5）算一算：−32÷−13⑤×−14④．
【思路点拨】
（1）根据题目给出的定义，进行计算即可；
（2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可；
（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；
（4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可；
（5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）4③=4÷4÷4=14，
−124=−12÷−12÷−12÷−12=4，
故答案为：14，4；
（2）−3④=−3÷−3÷−3÷−3=−132；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=154
12⑤=12÷12÷12÷12÷12=23；
故答案为：−132，154，23；
（3）a的圈n次方为：a÷a÷a÷...÷an个a=1an−2；
（4）−9⑤=−193=−1729，
−3⑦=−135=−1243，
∵729>243，
∴−1729>−1243，
∴−9⑤ > −3⑦，
故答案为：>；
（5）−32÷−13⑤×−14④
=−32÷−33×42
=−9÷−27×16
=163．
21．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=aa+bb的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求x=aa+bb−cc的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b+ca+a+cb+a+bc的值．
【思路点拨】
（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；
③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
综合上面三个的结果得到答案；
（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；
②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.
【解题过程】
（1）①∵a、b都是正数，
∴a=a， b=b，
∴x=aa+bb=1+1=2，
故答案为：2；
②设a是负数，b是正数，
∴a=-a，b=b，
∴x=aa+bb=-1+1=0，
故答案为：0；
③∵a、b都是负数，
∴a=-a， b=-b，
∴x=aa+bb=-1-1=-2，
故答案为：-2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；
（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：
当a、b、c都是正数时，x=aa+bb−cc=1+1-1=1，
当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，x=aa+bb−cc=1+1+1=3，
当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，x=aa+bb−cc=-1-1-1=-3,
当a、b、c都是负数时，x=aa+bb−cc=-1-1+1=-1，
综上，x=aa+bb−cc的值为1或3或-3,或-1；
②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，
∴b+ca+a+cb+a+bc=−aa−bb−cc，
∴当a、b、c为两正一负时，b+ca+a+cb+a+bc=-1-1+1=-1，
当a、b、c为一正两负b+ca+a+cb+a+bc=-1+1+1=1，
综上，b+ca+a+cb+a+bc的值为-1或1.
22．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB=a−b．已知数轴上A，B两点对应的数分别为－1，3，P为数轴上一动点．
（1）若点P到A，B两点之间的距离相等，则点P对应的数为______．
（2）若点P到A，B两点的距离之和为6，则点P对应的数为______．
（3）现在点A以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；
（2）设点P对应的数为x，根据题意可得|x+1|+|x−3|=6；分类讨论，当−13时，③当x<−1时，计算即可得出答案；
（3）设经过t秒，分情况讨论①当点A点B相向而行时，经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3−0.5t，即可得出|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，②当点A点B同向向右运动时，经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3+0.5t，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，③当点A点B同向向左运动时，求出t的值，即可算出点B对应的数．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得，
AB=|−1−3|=4，
因为点P到A，B两点之间的距离相等，所以点P到点−1和点3的距离为2，
则点P对应的数为：1；
故答案为：1；
（2）解：设点P对应的数为x，
则|x+1|+|x−3|=6；
①当−1②当x>3时，解得：x=4；
③当x<−1时，解得：x=−2，
点P对应的数为4或−2；
故答案为：4或−2；
（3）解：设经过t秒，
①当点A点B相向而行时，
经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3−0.5t，
则|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，
解得t=145或t=25，
点B对应的数为3−12×143=23或3−12×25=145；
②当点A点B同向向右运动时，
经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3+0.5t，
则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，
解得：t=143或t=23，
点B表示的数为3+12×143=163或3+12×23=103；
③当点A点B同向向左运动时，
因为AB=4，点A的运动速度大于点B的运动速度，
不能满足题意．
综上：点B表示的数为23或145或163或103．
23．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】
我们知道：式子x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=a−b．请根据数轴解决以下问题：
（1）式子x+2在数轴上的意义是 ；
（2）x+1+x−3当取最小值时，x可以取整数 ；
（3）x+1−x−3最大值为 ；
（4）x+1+x−2+x−6的最小值为 ；
【解决问题】
（5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km，左侧1km，右侧1km，右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题意即可得出结论；
（2）x+1+x−3的最小值表示有理数x的点到−1的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在−1和3之间的线段上，即可求出结果；
（3）根据x+1−x−3的几何意义是表示x的点到−1的距离减去x到3的距离，可得x≥3时取得最大值，
即可求出结果；
（4）x+2+x+6+x−1的几何意义是表示x的点到−2的点和到−6的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；
（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即x+5+x+1+x−1+x−3，求出最小值即可．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，式子x+2在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离；
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离．
（2）解：根据题意可得，
x+1+x−3的几何意义是数轴上表示有理数x到−1的距离与x到3的距离之和，
∴当−1≤x≤3时，x+3+x−1取最小值，
即当x可以取整数−1，0，1，2，3；
故答案为：−1，0，1，2，3．
（3）解：∵x+1−x−3的几何意义是表示x的点到−1的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，
∴x≥3时取得最大值，
∴x+1−x−3的最大值是：x+1−x−3=4．
（4）解：根据题意可得，x+2+x+6+x−1的几何意义是数轴上表示x的点到表示−2的点和到表示−6的点和表示1的点的距离之和，
当表示x的点在表示−6的点到表示1的点的线段上，x+2+x+6+x−1有最小值，即−6≤x≤1，
当x=−2时，x+2+x+6+x−1的值最小，最小值为7；
故答案为：7．
（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，
根据题意可得，便民服务点到四点的距离为x+5+x+1+x−1+x−3，
当表示x的点在表示−5的点到表示3的点的线段上，x+5+x+1+x−1+x−3有最小值，即−5≤x≤3，
当x=±1时，
x+5+x+1+x−1+x−3取得最小值，此时x+5+x+1+x−1+x−3=10，
答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是10km．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
星 期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量/个
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣9
+16
﹣8
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022秋·全国·七年级期中）若a
C．d−c−b−a一定是正数D．c−d−b−a一定是正数
【思路点拨】
本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数；对于B，d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.
【解题过程】
解：A.根据已知条件a
C. 根据已知条件a
D，根据已知条件a
2．（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ）
A．159B．-156C．158D．1
【思路点拨】
根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．
【解题过程】
解：设向右为正，向左为负，则
P1 表示的数为+1，
P2 表示的数为+3
P3 表示的数为0
P4 表示的数为-4
P5 表示的数为+1……
由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为39×-4=−156．则第157次向右移动157个单位长度，P157=1；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以P158=1+158=159．
故P158在数轴上表示的数为159．
故选A．
3．（2022秋·广西防城港·七年级统考阶段练习）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2<0； ②a−b+b−c=|a−c|； ③a+bb+cc+a>0；④|a<1−bc．其中正确的结论有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
【思路点拨】
根据数轴上各数的位置得出a<−1<0
解：根据题意得：a<−1<0
故①错误；
②∵a−b+b−c=−a+b−b+c=−a+c，
a−c=−a+c，
∴a−b+b−c=a−c；
故②正确；
③∵a+b<0，b+c>0，c+a<0，
∴a+bb+cc+a>0；
故③正确；
④∵a>1，1−bc<1，
∴a>1−bc；
故④错误；
故正确的结论有②③，一共2个．
故选：C．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【思路点拨】
根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c和3−16−c=c，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【解题过程】
解：∵ a−2=18，
∴ a−2=18或a−2=−18，
∴ a=20或a=−16，
当a=20时，3a−c=c等价于320−c=c，即60−3c=c，
∴ 60−3c=c或60−3c=−c，
∴ c=15或c=30；
当a=−16时，3a−c=c等价于3−16−c=c，即−48−3c=c，
∴ −48−3c=c或−48−3c=−c，
∴ c=−12或c=−24，
故c=15或c=30或c=−12或c=−24，
∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．
故答案为：D
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【思路点拨】
通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可．
【解题过程】
解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵21÷4=5⋯⋯1，
∴221的末尾数字与21=2的尾数相同为2，
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵11÷4=2⋯⋯3
∴311的末尾数字与33=27的尾数相同为7，
∴221+311的末位数字是：2+7=9．
故选：D．
6．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a、b、c满足a>b>c(ac<0)，且c
【思路点拨】
根据ac<0可知a，c异号，再根据a>b>c，以及c
解：∵ac<0，
∴a，c异号，
∵a>b>c，
∴a>0，c<0，
又∵c
当x在b+c2时距离最小，
即|x﹣a+b2|+|x﹣b+c2|+|x+a+c2|最小，最小值是a+b2与−a+c2之间的距离，即2a+b+c2．
故选：C．
7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80B．90C．100D．120
【思路点拨】
分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．
【解题过程】
解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；
和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；
和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；
和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；
∵每次所得的和最小是5，
∴最小的两个数字为2或3；
∵每次所得的和最大是8，
∴最大的两个数字为4或5；
当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；
∴2×3×4×4=96，2×3×3×5=90，
故选：B．
8．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【思路点拨】
共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12
个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．
【解题过程】
解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，
所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，
则a所在的横着的一行最后一个圈为3，
−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，
目前数字就剩下−4,−3,0,6，
1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，
−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，
这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，
所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，
则a所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a为−3
故选：B
9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）有一列数−1,−2,−3,−4，将这列数中的每个数求其相反数得到1,2,3,4，再分别求与1的和的倒数，得到12,13,14,15，设为a1,a2,a3,a4，称这为一次操作，第二次操作是将a1,a2,a3,a4再进行上述操作，得到a5,a6,a7,a8；第三次将a5,a6,a7,a8重复上述操作，得到a9,a10,a11,a12……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个
①a5=2，a6=32，a7=43，a8=54 ②a2015=3
③a1+a2+a3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a49+a50=−11310．
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】
根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．
【解题过程】
解：由题意得：a1=12，a2=13，a3=14，a4=15，
a5=1−12+1=2，a6=1−13+1=32，a7=1−14+1=43，a8=1−15+1=54，故①正确；
∵2015÷4=503⋯⋯3，
∴a2015是由a3经过503次操作所得，
∵a3=14，a7=1−14+1=43，a11=1−43+1=−3，a15=13+1=14，
∴a3、a7、a11、……，三个为一组成一个循环，
∵503÷3=167⋯⋯2，
∴a2015=a11=−3，故②错误；
依次计算：a9=1−2+1=−1，a10=1−32+1=−2，a11=1−43+1=−3，a12=1−54+1=−4，
a13=11+1=12，a14=12+1=13，a15=13+1=14，a16=14+1=15，
…，
则每3次操作，相应的数会重复出现，
∵a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12
=12+13+14+15+2+32+43+54−1−2−3−4
=−7930，
∵50÷12=，
∴a1+a2+a3+a4+…+a48+a49+a50
=−7930×4+12+13
=−9710．故③错误；
综上分析可知，正确的有2个，
故选：B．
10．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或−3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为−1或3；
③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为−7；
④若a=b且|a−b|=23，则式子a+b−abb2+1的值为110；
⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb−a(a
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】
①由题意可得，abc<0，则a，b，c中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc<0可得a，b，c中有一个值为负数，求解即可；③根据x≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a=b或a=−b，分别求解即可；⑤根据题意可得a，b异号，分两种情况求解即可．
【解题过程】
解：①由|abc|abc=−1可得abc<0，a，b，c中有一个或三个值为负数，
当a<0，b>0，c>0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1+1+1=1
当a<0，b<0，c<0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1−1−1=−3
故①正确；
②由abc<0和a+b+c=0得a，b，c中有一个值为负数，
∴a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a
∴−a|a|+−b|b|+−c|c|=1−1−1=−1，
故②错误；
③当−3≤x≤4时，x−4≤0，x+3≥0，
则x+3−x−4=x+3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7
当x<−3时，x−4≤0，x+3<0
则x+3−x−4=−x−3+x−4=−7
故③正确；
④由a=b可得a=b或a=−b
当a=b时，a−b=0与|a−b|=23矛盾，舍去；
当a=−b时，a−b=−2b，a+b=0且2b=23
解得a=13,b=−13或a=−13,b=13
则ab=−19，b2=19
a+b−abb2+1=1919+1=110
故④正确；
⑤由题意可得a，b异号，
当a<0，b>0时，a=−a，b=b，
由a>b可得−a>b，即a+b<0符合题意，此时a<0
当a>0，b<0时，a=a，b=−b
由a>b可得a>−b，即a+b>0，与a+b<0矛盾，舍去，
综上{a，b}=b−a
故⑤正确；
正确的个数为4
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a，b，c满足a
根据a+b+c=0，a
【解题过程】
解：∵a+b+c=0，a
∴a>b，
∵a<10，a，b，c都是整数，
∴a≤9
∴b≤8，
∵a+b=−b+a=−b−a，b≥−b，a≥a
∴c=−a−b=a+b≤a+b≤17，
∴a+b+c的值最大为9+8+17=34，
故答案为：34．
12．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是 ．
【思路点拨】
根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8分类讨论即可解答．
【解题过程】
解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，
∴四个括号内是各不相同的整数，
不妨设（2021﹣a）＜（2021﹣b）＜（2021﹣c）＜（2021﹣d），
又∵（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，
∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝8084﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8084﹣[（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）]，
①当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，
a+b+c+d＝8084﹣（﹣2）＝8086；
②当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣2﹣1+1+4＝2时，
a+b+c+d＝8084﹣2＝8082．
故答案为：8086或8082．
13．（2022秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 ．
【思路点拨】
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【解题过程】
解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；
由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．
故答案为：8和9．
14．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 ．
【思路点拨】
根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
【解题过程】
解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作AB，定义AB=a−b，若a+4+b−12=0，设点P在数轴上对应的数是x，当PA，PB相差2时，则x的值为 ．
【思路点拨】
先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，a=−4，b=1，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到x+4−x−1=2或 x−1−x+4=2，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可．
【解题过程】
解：∵a+4+b−12=0，
∴a+4=0，b−1=0，
即 a=−4，b=1，
∵PA， PB相差2，
∴ x+4−x−1=2或x−1−x+4=2，
当x+4−x−1=2时，
x≤−4时，−x−4+x−1=2，无解；
－４＜x≤１时，x＋4+x−1=2，解得x＝−0.5，
x＞1时，x+4−x+1=2，无解；
当x−1−x+4=2时，
x≤−4时，−x+1+x+4=2，无解，
－４＜x≤１时，−x＋1−x−4=2，解得x=−2.5，
x＞1时，x−1−x−4=2，无解；
综上所述，x的值为：−0.5或 −2.5，
故答案为：−0.5或 −2.5．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）①−32×−132+34−16+58×−24
②−23+−3×−42+2−−32÷−2
③−47.65×2611+−37.15×−2611+10.5×−7511+5÷12+13
④−56+23÷−712×72+−13+−12018
【思路点拨】
①先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；
②先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；
③先利用乘法分配律对原式进行整理，再根据有理数混合运算法则计算；
④先计算乘方和绝对值，再计算括号内的，最后计算括号外的．
【解题过程】
解：①−32×−132+34−16+58×−24
=−9×19+34×−24−16×−24+58×−24
=−1−18+4−15
=−30
②−23+−3×−42+2−−32÷−2
=−8+−3×16+2−9÷−2
=−8−54+92
=−5712
③−47.65×2611+−37.15×−2611+10.5×−7511+5÷12+13
=−47.65×2611+37.15×2611+10.5×−7511+5÷56
=−47.65+37.15×2611+10.5×−7511+5×65
=−10.5×2611+10.5×−7511+6
=10.5×−2611+10.5×−7511+6
=10.5×−2611−7511+6
=10.5×−10+6
=−105+6
=−99
④−56+23÷−712×72+−13+−12018
=−16×−127×72+13+1
=1+13+1
=73．
17．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
（1）3⊕−2=___________；
（2）求−5⊕−4⊕12的值；
（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明
【思路点拨】
（1）将a=3，b=−2代入a⊕b=a×b+2×a计算可得；
（2）根据法则，先计算−4⊕12=−10，再计算−5⊕−10⊕(−10)可得；
（3）计算3⊕−2和−2⊕3即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：∵a⊕b=a×b+2×a，
∴3⊕−2=3×−2+2×3=0；
（2）解：∵a⊕b=a×b+2×a，
∴−5⊕−4⊕12
=−5⊕−4×12+2×−4
=−5⊕−10
=−5×−10+2×−5
=40；
（3）解：新运算“⊕”不满足交换律．
例如：由（1）知3⊕−2=0
又∵−2⊕3=−2×3+2×−2=−10
∴3⊕−2≠−2⊕3，
∴新运算“⊕”不满足交换律．
18．（2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−−2=3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，−2，3的“分差”为−53．
（1）−2，−4，1的“分差”为______；
（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．
【思路点拨】
（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；
（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：−2−−4=2，−2−12=−32，−4−13=−53，
∵−53<−32<2，
∴−2，−4，1的“分差”为−53，
故答案为：−53；
（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−53；
②这三个数的位置为：−2，1，−4时，
则−2−1=−3，−2−−42=1，1−−43=53，
∵−3<1<53，
∴−2，1，−4的“分差”为−3；
③这三个数的位置为：1，−2，−4时，
则1−−2=3，1−−42=52，−2−−43=23，
∵23<52<3，
∴1，−2，−4的“分差”为23；
④这三个数的位置为：1，−4，−2时，
则1−−4=5，1−−22=32，−4−−23=−23，
∵−23<32<5，
∴1，−4，−2的“分差”为−23；
⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，
则−4−1=−5，−4−−22=−1，1−−23=1，
∵−5<−1<1，
∴−4，1，−2的“分差”为−5；’
⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，
则−4−−2=−2，−4−12=−52，−2−13=−1，
∵−52<−2<−1，
∴−4，−2，1的“分差”为−52；
∵23>−23>−53>−52>−3>−5，
∴这些不同“分差”中的最大值为23．
19．（2022秋·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
【思路点拨】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；
（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；
（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．
【解题过程】
解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），
故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）
答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；
（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）
＝1260+11×0.75
＝1260+8.25
＝1268.25（元），
答：小王这一周的工资总额是1268.25元；
（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；
第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；
第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；
第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；
第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；
第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；
第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；
共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．
答：小王这一周的工资总额是1267.1元．
20．（2023秋·山西运城·七年级统考期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，−2÷−2÷−2÷−2等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，−2÷−2÷−2÷−2记作−2④，读作“−2的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷an个a≠0记作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：4③=______，−124=______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式
−3④=______；5⑥=______；12⑤=______．
（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于______．
（4）比较：−9⑤______−3⑦（填“>”“<”或“=”）
【灵活应用】
（5）算一算：−32÷−13⑤×−14④．
【思路点拨】
（1）根据题目给出的定义，进行计算即可；
（2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可；
（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；
（4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可；
（5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）4③=4÷4÷4=14，
−124=−12÷−12÷−12÷−12=4，
故答案为：14，4；
（2）−3④=−3÷−3÷−3÷−3=−132；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=154
12⑤=12÷12÷12÷12÷12=23；
故答案为：−132，154，23；
（3）a的圈n次方为：a÷a÷a÷...÷an个a=1an−2；
（4）−9⑤=−193=−1729，
−3⑦=−135=−1243，
∵729>243，
∴−1729>−1243，
∴−9⑤ > −3⑦，
故答案为：>；
（5）−32÷−13⑤×−14④
=−32÷−33×42
=−9÷−27×16
=163．
21．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=aa+bb的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求x=aa+bb−cc的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b+ca+a+cb+a+bc的值．
【思路点拨】
（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；
③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
综合上面三个的结果得到答案；
（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；
②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.
【解题过程】
（1）①∵a、b都是正数，
∴a=a， b=b，
∴x=aa+bb=1+1=2，
故答案为：2；
②设a是负数，b是正数，
∴a=-a，b=b，
∴x=aa+bb=-1+1=0，
故答案为：0；
③∵a、b都是负数，
∴a=-a， b=-b，
∴x=aa+bb=-1-1=-2，
故答案为：-2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；
（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：
当a、b、c都是正数时，x=aa+bb−cc=1+1-1=1，
当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，x=aa+bb−cc=1+1+1=3，
当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，x=aa+bb−cc=-1-1-1=-3,
当a、b、c都是负数时，x=aa+bb−cc=-1-1+1=-1，
综上，x=aa+bb−cc的值为1或3或-3,或-1；
②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，
∴b+ca+a+cb+a+bc=−aa−bb−cc，
∴当a、b、c为两正一负时，b+ca+a+cb+a+bc=-1-1+1=-1，
当a、b、c为一正两负b+ca+a+cb+a+bc=-1+1+1=1，
综上，b+ca+a+cb+a+bc的值为-1或1.
22．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB=a−b．已知数轴上A，B两点对应的数分别为－1，3，P为数轴上一动点．
（1）若点P到A，B两点之间的距离相等，则点P对应的数为______．
（2）若点P到A，B两点的距离之和为6，则点P对应的数为______．
（3）现在点A以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；
（2）设点P对应的数为x，根据题意可得|x+1|+|x−3|=6；分类讨论，当−1
（3）设经过t秒，分情况讨论①当点A点B相向而行时，经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3−0.5t，即可得出|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，②当点A点B同向向右运动时，经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3+0.5t，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，③当点A点B同向向左运动时，求出t的值，即可算出点B对应的数．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得，
AB=|−1−3|=4，
因为点P到A，B两点之间的距离相等，所以点P到点−1和点3的距离为2，
则点P对应的数为：1；
故答案为：1；
（2）解：设点P对应的数为x，
则|x+1|+|x−3|=6；
①当−1
③当x<−1时，解得：x=−2，
点P对应的数为4或−2；
故答案为：4或−2；
（3）解：设经过t秒，
①当点A点B相向而行时，
经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3−0.5t，
则|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，
解得t=145或t=25，
点B对应的数为3−12×143=23或3−12×25=145；
②当点A点B同向向右运动时，
经过t秒，点A表示的数为−1+2t，点B表示的数为3+0.5t，
则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，
解得：t=143或t=23，
点B表示的数为3+12×143=163或3+12×23=103；
③当点A点B同向向左运动时，
因为AB=4，点A的运动速度大于点B的运动速度，
不能满足题意．
综上：点B表示的数为23或145或163或103．
23．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】
我们知道：式子x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=a−b．请根据数轴解决以下问题：
（1）式子x+2在数轴上的意义是 ；
（2）x+1+x−3当取最小值时，x可以取整数 ；
（3）x+1−x−3最大值为 ；
（4）x+1+x−2+x−6的最小值为 ；
【解决问题】
（5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km，左侧1km，右侧1km，右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题意即可得出结论；
（2）x+1+x−3的最小值表示有理数x的点到−1的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在−1和3之间的线段上，即可求出结果；
（3）根据x+1−x−3的几何意义是表示x的点到−1的距离减去x到3的距离，可得x≥3时取得最大值，
即可求出结果；
（4）x+2+x+6+x−1的几何意义是表示x的点到−2的点和到−6的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；
（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即x+5+x+1+x−1+x−3，求出最小值即可．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，式子x+2在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离；
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离．
（2）解：根据题意可得，
x+1+x−3的几何意义是数轴上表示有理数x到−1的距离与x到3的距离之和，
∴当−1≤x≤3时，x+3+x−1取最小值，
即当x可以取整数−1，0，1，2，3；
故答案为：−1，0，1，2，3．
（3）解：∵x+1−x−3的几何意义是表示x的点到−1的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，
∴x≥3时取得最大值，
∴x+1−x−3的最大值是：x+1−x−3=4．
（4）解：根据题意可得，x+2+x+6+x−1的几何意义是数轴上表示x的点到表示−2的点和到表示−6的点和表示1的点的距离之和，
当表示x的点在表示−6的点到表示1的点的线段上，x+2+x+6+x−1有最小值，即−6≤x≤1，
当x=−2时，x+2+x+6+x−1的值最小，最小值为7；
故答案为：7．
（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，
根据题意可得，便民服务点到四点的距离为x+5+x+1+x−1+x−3，
当表示x的点在表示−5的点到表示3的点的线段上，x+5+x+1+x−1+x−3有最小值，即−5≤x≤3，
当x=±1时，
x+5+x+1+x−1+x−3取得最小值，此时x+5+x+1+x−1+x−3=10，
答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是10km．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
星 期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量/个
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣9
+16
﹣8
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