专题3.1 解一元一次方程（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

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【典例1】我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程.
（1）若方程2x−3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；
（2）若关于的方程3x−2x−k3=4x和3x+k12−1−5x8=1是同解方程，求k的值；
（3）若关于x的方程2x−3a=b2和4x+a+b2=3是同解方程，求14a2+6ab2+8a+6b2的值.
【思路点拨】
（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m的方程，然后解答；
（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；
（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a,b的等式，然后整体代入求值．
【解题过程】
解：（1）解方程2x−3=11得x=7，
把x=7代入4x+5=3k得28+5=3k，
解得k =11；
（2）解关于x的方程3x−2x−k3=4x得x= 27k，
解关于x的方程3x+k12−1−5x8=1得x= 27−2k21，
∵方程3x−2x−k3=4x和3x+k12−1−5x8=1是同解方程，
∴2k7=27−2k21，
解得k=278；
(3)解关于x的方程2x−3a=b2得x=b2+3a2，
解关于x的方程4x+a+b2=3得x=3−b2−a4，
∵2x−3a=b2和4x+a+b2=3是同解方程，
∴3−b2−a4=b2+3a2，
∴3b2=3−7a，
∴14a2+6ab2+8a+6b2=14a2+2a(3−7a)+8a+2(3−7a)=6.
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
（1）2+x=−5x−1；
（2）33x−2=41+x；
（3）3x−7x−1=3−2x+3；
（4）4554x−10=5x−3；
（5）613x−4−5x=3−412x−1；
（6）344312x−14−8=32x+1．
2．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：
（1）y−14+5y−56=2−5y+43
（2）2x−13−10x+16=2x+12−2
（3）x−34+2x+33=x+56−x−45
3．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：
（1）13x−125−x+1=x−2；
（2）0.2x+0.10.3−x−16=2；
（3）1.5x−13−x0.6=0.5．
（4）x−2x−12x−1=23x+1
4．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
（1）0.4x−+−0.6；
（2）4−6x0.01−6.5=0.02−2x0.02−7.5．
5．（2023·浙江宁波·七年级校考竞赛）解方程，（1）0.1x+0.030.2−0.2x−0.030.3+34=0
（2）2014−x2013+2016−x2015=2018−x2017+2020−x2019
6．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解方程
（1）22x−1−24x+3=7
（2）ax=b+2(a≠0)
（3）0.4x++0.30.3+1
（4）2x+1+x−1=4
（5）2x+1=3x−4
（6）x=b+bax(a≠b,a≠0)
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）讨论方程||x+3|−2|=k的解的情况．
8．（2022秋·七年级课时练习）当整数k为何值时，方程9x−3=kx+15有正整数解．求出这些解．
9．（2022秋·七年级课时练习）已知a，b为实数，关于x的方程a−1x|a|−bx2+3x−2=0是一元一次方程，求a+b的值与方程的解.
10．（2022秋·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知关于x的方程x+a9−1−x6=1．
（1）若方程与关于x的方程2x−2x−a4=3x有相同的解，求a的值；
（2）若方程的解是正整数，直接写出正整数a的值是____________．
11．（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）我们规定一种运算acbd=ad−cb，如2435=2×5−3×4=−2，再如x2−1−4=−4x+2，按照这种运算规定，解答下列各题：
（1）计算−34−25＝_______；
（2）若23−2x−5x=2，求x的值；
（3）若8mx−132−83+2x−3与6−n−1x的值始终相等，求m，n的值．
12．（2023秋·湖南·七年级校考期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x0=98，方程y+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1，x0+y0=99，所以y+1=2=2为一元一次方程3x−2x−98=0的“久久方程”．
（1）已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，其中哪个方程是一元一次方程3x−1=2x+98的“久久方程”？请直接写出正确的序号________．
（2）若关于y的方程2y−2+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4=a+34的“久久方程”，请求出a的值．
（3）若关于y的方程ay−49+a+b=ay+650是关于x的一元一次方程ax+50b=55a的“久久方程”，求出a+bb的值．
13．（2022秋·湖南湘西·七年级统考阶段练习）定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
（1）判断当k=1时是否为方程x+42+1=kx的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程x+42+1=kx“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．
14．（2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a−稻香方程”，例如：方程x−2=0是方程x+3=0的“5−稻香方程”．
（1）若方程2x=5x−12是方程3x−1=x+1的“a−稻香方程”，则a=________；
（2）若关于x的方程x−x−2m3=n−1是关于x的方程2x−2mn−m=3n−3的“m−稻香方程”（m>0），求n的值；
（3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b=1是方程ax+c−1=0的“3−稻香方程”，求代数式6a+2b−2c+3的值．
15．（2023春·福建泉州·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程12023x+3=2x+k和12023x+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12023y+1+3=2y+k+2的解．
16．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
①12x=−12；②−3x=94；③5x=−2．
（2）已知关于x的一元一次方程2x+2=−m是“和解方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元一次方程3x=mn+m和−3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5−4m+4n的值．
17．（2022秋·全国·七年级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0,y0满足x0+y0=100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x−2x−99=0的解是x0=99，方程y2+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1时，x0+y0=100，所以y2+1=2为一元一次方程3x−2x−99=0的“友好方程”
（1）已知关于的方程：①2y−2=4，②|y|=2，哪个方程是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．
（2）若关于y的方程|2y−2|+3=5是关于x的一元一次方程x−2x−2a3=a+1的“友好方程”，请求出a的值．
（3）如关于y的方程2m|y−49|+m(y−1)45=m+n是关于x的一元一次方程mx+45n=54m的“友好方程”，请直接写出m+nn的值．
18．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）定义新运算a∇b=a−b−b，如4∇2=4−2−2=2−2=0；
若a∇b=0，则称a与b互为“望一”数；
若a∇b=−a，则称a与b互为“望外”数；
（1）计算：−4∇−2= ．
（2）下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．
①6∇3；②5∇2；③3∇4；④2.8∇1.4；⑤1∇3；
（3）若x∇1+x∇−1=2，则x可以取哪些整数？
（4）若x∇1−x∇−1=−2，则x的值为多少？