2023-2024学年江苏省无锡市重点中学高一上学期期中数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省无锡市重点中学高一上学期期中数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若a,b,c∈R，且a>b，则
( )
A. 1a<1bB. a2>b2
C. -a+c<-b+cD. 若a>b>c>0，则ab2.已知集合A=x∈Z∣x2+x-2≤0，则集合A的真子集个数为
．( )
A. 4B. 3C. 16D. 15
3.当 -x+1有意义时，化简 x2-8x+16- x2-10x+25的结果是
．( )
A. 2x-7B. -2x+1C. -1D. 7-2x
4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是
．( )
A. f(x)=x-1B. f(x)=x2+1C. f(x)=-1xD. f(x)=3x
5.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象可能是
( )
A. B. C. D.
6.已知函数fx=ax-2+1a>0,a≠1的图像恒过定点Mm,n，则函数gx=n-mx的图象不经过
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.已知集合A=x∣x-4x+1≤0,B=x∣x-2ax-a2-1<0，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为
( )
A. aa>2B. aa≥2
C. {aa=1或a≥2}D. aa≥1
8.已知函数y=f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，且f(x-1)为奇函数，当x<-1时，f(x)=-2x2-8x-7，则方程f(x)=-12的所有根之和等于
( )
A. -4B. -2C. 0D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.使不等式x(x+1)>0成立的一个充分不必要条件是
( )
A. x>0B. x≥0C. x<-1或x>2D. -110.设正实数m,n满足m+n=2，则下列说法正确的是
( )
A. mn的最小值为1B. 1m+2n的最小值为32+ 2
C. m+ n的最大值为2D. m2+n2的最大值为2
11.若函数y=ax+b-1(a>0，且a≠1)的图像不经过第二象限，则需同时满足
( )
A. a>1B. 00D. b≤0
12.下列说法不正确的是( )
A. 命题“∀x<1，都有x2<1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”
B. 集合A={-2,1},B={x∣ax=2}，若A∩B=B，则实数a的取值集合为{-1,2}
C. 方程3x2+a(a-6)x-3=0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0D. 若存在x∈12,2使等式x2-2x-m<0上能成立，则实数m的取值范围(0,+∞)．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= 4-2x+x x-1的定义域为__________．
14.若幂函数f(x)=(m2-m-5)xm在(0,+∞)单调递减，则m= ．
15.若f(x)=x+ 1-x，则函数f(x)的值域为___________．
16.已知a,b∈R，若函数fx=1-x2x2+ax+b的图象关于直线x=-2对称，且对于任意正数x都有x2-ax+t≥bx成立，则a+b= ，实数t的最小值是．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合P={x∣-2(1)P∩Q;
(2)∁RP∪∁RQ．
18.(本小题12分)
(1)计算：14-12-2 ( 3-2)2-3212× 8+(-3)0．
(2)若a+a-1=3，求下列式子的值：
①a12-a-12
②a12+a-12
19.(本小题12分)
已知命题p:实数x满足x2-2x-3≥0，命题q：实数x满足(x-m)[x-(m+1)]≥0．
(1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围
(2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，解关于x的不等式x2-x-a2+a<0．
21.(本小题12分)
金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x台x∈N*需要另投入成本c(x)(万元)，当年产量x不足45台时，c(x)=13x2+40x-450(万元)；当年产量x不少于45台时，c(x)=61x+3600x+2-1310(万元).经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
(2)年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
22.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)=-2x+a2x+1+2是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)证明f(x)在R上为减函数并解不等式f(t-1)+f1t>0．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C即可．
解：对于A，若 a=1,b=-2 ，则 1a=1>1b=-12 ，故A错误；
对于B，若 a=1,b=-2 ，则 a2对于C，因为 a>b ，所以 -a<-b ，所以 -a+c<-b+c ，故C正确；
对于D，若 a=5,b=2,c=1 ，则 ab=52>a+cb+c=63=2 ，故D错误；
故选：C
2.【答案】D
【解析】【分析】解出集合 A ，根据集合 A 中的元素个数即可求解．
解：因为 A=x∈Z∣x2+x-2≤0=x∈Z∣-2≤x≤1=-2,-1,0,1 ，
有4个元素，
则集合A的真子集个数为 24-1=15 ，
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据根式有意义求得 x 的范围，化简所求根式即可．
解：因为 -x+1 有意义，所以 -x+1≥0 ，则 x≤1 ，
则 x2-8x+16- x2-10x+25= (x-4)2- (x-5)2
=4-x-(5-x)=-1 ，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】利用函数的奇偶性及单调性一一判定即可．
解：对于A，易知 f(-x)=-x-1≠fx,x∈R ，即不是偶函数，排除；
对于B，易知 f(x)=x2+1=f-x,x∈R ，且由二次函数的性质可知其在 (0,+∞) 上单调递增，故B正确；
对于C，易知 f(-x)=-1-x=1x≠fx,x≠0 ，即不是偶函数，排除；
对于D，易知 f-x=3-x≠fx,x∈R ，即不是偶函数，排除．
故选：B
5.【答案】A
【解析】【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断 a,b,c 的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可．
解：由二次函数的图象可知：开口向上，因此 a>0 ；对称轴为 x=-b2a>0⇒b<0 ，
当 x=0 时， y=c<0 ；
因为 c<0 ，所以反比例函数 y=cx 的图象在二、四象限，排除BC；
因为 a>0 ， b<0 ，所以一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，故排除D，
故选：A
6.【答案】C
【解析】【分析】求出m，n得到 gx 的解析式，从而得出结论．
解：∵ fx=ax-2+1a>2,a≠1 恒过定点 2,2
∴ m=n=2 ，
∴ gx=2-2x ，
∴ gx 为减函数，且过点 0,1,1,0 ，大致图像如图所示
∴ gx 的函数图象不经过第三象限．
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】分类讨论 B=⌀ 和 B≠⌀ 时的情况即可求解．
解：解分式不等式可得， A=x-1∵a2+1≥2a ，
∴a=1 时， B=⌀ ，满足 A∩B=⌀ ，
a≠1 时， B=x2a∵ A∩B=⌀ ，得 2a≥4a≠1 ，解得 a≥2 ；
综上，实数 a 的取值范围为 {aa=1 或 a≥2}
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】首先根据题意得到 fx 关于 -1,0 对称，即 fx=-f-2-x ，从而得到 fx=-2x2-8x-7,x<-12x2-1,x>-1 ，再解方程 f(x)=-12 即可．
解：因为 f(x-1) 为奇函数，所以 f(x-1) 关于 0,0 对称，
所以 fx 关于 -1,0 对称，即 fx=-f-2-x．
当 x<-1 时， f(x)=-2x2-8x-7 ，
当 x>-1 时， -2-x<-1 ， fx=-f-2-x=2x+22+8-2-x+7=2x2-1 ，
所以 fx=-2x2-8x-7,x<-12x2-1,x>-1 ．
因为 f(x)=-12 ，
所以 -2x2-8x-7=-12x<-1 或 2x2-1=-12x>-1 ，
解得 x1=-2+ 32 ， x2=-2- 32 ， x3=12 ， x4=-12 ，
所以 x1+x2+x3+x4=-4 ．
故选：A
9.【答案】AC
【解析】【分析】解出不等式，再逐项判断可得答案．
解：对于A， x>0 是 x>0 或 x<-1 的一个充分不必要条件，故A正确；
对于B， x≥0 既不是 x>0 或 x<-1 的充分条件也不是必要条件，故B错误；
对于C， x<-1 或 x>2 是 x>0 或 x<-1 的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D， -10 或 x<-1 的充分条件也不是必要条件，故D错误．
故选：AC．
10.【答案】BC
【解析】【分析】根据基本不等式结合1的妙用，逐项判断即可．
解：因为 m,n 为正实数， m+n=2 ，
则 mn≤m+n2=1 ，当且仅当 m=n=1 时，等号成立，
故 mn 的最大值为1，则A错误；
1m+2n=12(1m+2n)(m+n)=12(3+nm+2mn)
≥32+12×2 nm×2mn=32+ 2 ，
当且仅当 nm=2mn ，即 m=2 2-2,n=4-2 2 时，等号成立，
故 1m+2n 的最小值为 32+ 2 ，则B正确；
因为 ( m+ n)2=m+n+2 mn≤m+n+(m+n)=4 ，
当且仅当 m=n=1 时，等号成立，所以 m+ n≤2 ，
m+ n 的最大值为2，故C正确；
因为 m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn ，
由A项知 mn≤1 ，则 -2mn≥-2 ，
所以 m2+n2=4-2mn≥2 ，当且仅当 m=n=1 时，等号成立，
故 m2+n2 的最小值为2，故D错误，
故选：BC．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
由题意可以画出函数的大致图象，从而确定a，b满足的条件．
【解答】
解：因为函数y=ax+b-1(a>0，且a≠1)的图像不经过第二象限，可以画出函数的大致形状如图，
由图像可得，a>1b⩽0．
故选AD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式解的存在性问题对选项逐一判断．
解：对于A，命题“ ∀x<1 ，都有 x2<1 ”的否定是“ ∃x<1 ，使得 x2≥1 ”，故A错误，
对于B，当 a=0 时， B=⌀ 满足题意，故B错误，
对于C，令 f(x)=3x2+a(a-6)x-3 ，由题意得 f(1)<0 ，即 a2-6a<0 ，所以 0对于D，令 y=x2-2x-m ，二次函数开口向上，对称轴为 x=1 ，
因为 x∈12,2 ，所以 x=1 时，y有最小值，则 12-2×1-m<0 ，
解得 m>-1 ，故D错误，
故选：ABD
13.【答案】(1,2]
【解析】【分析】根据函数有意义的条件列出不等式组，求解即可．
解：因为函数 f(x)= 4-2x+x x-1 ，
所以 4-2x≥0x-1>0 ，解得 1所以函数的定义域为 (1,2] ．
故答案为： (1,2] ．
14.【答案】-2
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义，幂函数的单调性问题，是基础题．
根据幂函数的定义和单调性即可求出 m的值．
【解答】
解：∵函数f(x)=(m2-m-5)xm为幂函数，且在(0,+∞)上单调递减，
则m2-m-5=1m<0，解得m=-2．
故答案为：-2
15.【答案】-∞,54
【解析】【分析】利用换元法求解，令 t= 1-x ( t≥0 )，则 y=1-t2+t=-t2+t+1=-(t-12)2+54 ，然后利用二次函数的性质可求得结果
解：令 t= 1-x ( t≥0 )，则 x=1-t2 ，
所以 y=1-t2+t=-t2+t+1=-(t-12)2+54 ，
因为抛物线开口向下， t≥0 ，
所以当 t=12 时， y 取得最在值 54 ，
所以函数的值域为 -∞,54 ，
故答案为： -∞,54
16.【答案】23；5294
【解析】【分析】由 fx=1-x2x2+ax+b=0 ，可得 x=1 ，或 x=-1 ，或 x2+ax+b=0 ，
再由 f(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，可得 f(-1)=f(-3)=0 ， f(1)=f(-5)=0 ，则可得 -3 ， -5 是 x2+ax+b=0 的两个根，从而可求出 a,b ，则可得 a+b ，将不等式转化为 t≥-x2+23x ，然后求出 y=-x2+23x 的最大值即可．
解：由 fx=1-x2x2+ax+b=0 ，可得 x=1 ，或 x=-1 ，或 x2+ax+b=0 ，
因为 f(x) 的图象关于直线 x=-2 对称，
所以 f(-1)=f(-3)=0 ， f(1)=f(-5)=0 ，
所以 -3 和 -5 是方程 x2+ax+b=0 的两个根，
所以 -3+(-5)=-a-3×(-5)=b ，得 a=8b=15 ，
所以 a+b=8+15=23 ，
所以不等式 x2-ax+t≥bx 可化为 x2-8x+t≥15x ，
所以 t≥-x2+23x ，
令 y=-x2+23x ，则其对称轴为 x=232 ，
所以当 x=232 时， y=-x2+23x 取得最大值，其最大值为 -2322+23×232=5294 ，
所以 t≥5294 ，所以实数 t 的最小值是 5294 ．
故答案为：23； 5294 ．
17.【答案】解：(1)因为 P={x∣-2(2)因为 P={x∣-2所以 ∁RP=x|x≤-2 或 x≥2 ， ∁RQ=x|x<0 或 x≥3 ，
从而 ∁RP∪∁RQ=x|x<0 或 x≥2 ．

【解析】【分析】(1)直接由交集的概念即可得解．
(2)直接由补集、并集的概念即可得解．
18.【答案】解：(1)原式= 412-2(2- 3)- 32×8+1=2-4+2 3-2 3+1=-1 ；
(2)①： a12-a-122=a+a-1-2=3-2=1 ，所以 a12-a-12=±1 ；
②： a12+a-122=a+a-1+2=3+2=5 ，由题意知 a>0 ，所以 a12+a-12= 5 ．

【解析】【分析】(1)利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可；
(2)①：由 a12-a-122=a+a-1-2 求解；
②：由 a12+a-122=a+a-1+2 ，结合隐含的条件 a>0 即可求解．
19.【答案】解：(1)命题 p 为假命题，
则 x2-2x-3<0 ，解得 -1所以实数x的取值范围为 -1,3 ；
(2)由题意，命题 p:x≥3 或 x≤-1 ，
设其对应的集合为 A ，则 A=xx≥3 或 x≤-1 ，
命题 q:x≥m+1 或 x≤m ，
设其对应的集合为 B ，则 B=xx≥m+1 或 x≤m ，
因为命题 q 是命题 p 的必要不充分条件，
所以 A 是 B 的真子集，
所以 m+1≤3m≥-1 (不同时取等号)，解得 -1≤m≤2 ，
所以实数 m 的取值范围为 -1,2 ．

【解析】【分析】(1)由命题 p 为假命题，可得 x2-2x-3<0 ，解不等式即可得出答案；
(2)设命题 p 对应的集合为 A ，命题 q 对应的集合为 B ，由命题 q 是命题 p 的必要不充分条件，可得 A 是 B 的真子集，列出不等式组即可得出答案．
20.【答案】解：(1)当 a=0 时，不等式 1≥0 恒成立，
当 a≠0 时，若不等式 ax2+2ax+1≥0 对于 ∀x∈R 恒成立，
则 a>0Δ=4a2-4a≤0 ，解得 0综上， a 的取值范围为 0,1 ．
(2)∵x2-x-a2+a<0 ，且 0≤a≤1 ，
∴x-ax-1-a<0 ，又 0≤a≤1 ，
①当 1-a>a ，即 0≤a<12 时，则 a②当 1-a=a ，即 a=12 时， x-122<0 ，不等式无解；
③当 1-a综上所述，当 0≤a<12 时，不等式的解集为 x|a当 a=12 时，不等式的解集为 ⌀ ；
当 12
【解析】【分析】(1)分 a=0 与 a≠0 两种情况讨论，当 a≠0 时， a>0Δ≤0 ，分别求出参数的取值范围，即可得解；
(2)依题意可得 x-ax-1-a<0 ，再分 0≤a<12 、 a=12 、 1221.【答案】解：(1)解：当 0y=60x-300-13x2+40x-450=-13x2+20x+150 ，
当 x≥45,x∈N* 时，
y=60x-300-61x+3600x+2-1310=-x-3600x+2+1010 ，
综上所得， y=-13x2+20x+150,0(2)解：当 0y=-13x2+20x+150=-13(x-30)2+450 ，
当 x=30 时， ymax=450 ，
当 x≥45,x∈N* 时，
y=-x-3600x+2+1010=-(x+2)+3600x+2+1012≤-2 (x+2)⋅3600x+2+1012=892
当且仅当 x+2=3600x+2 时，即 x=58 时，上式取等号，即 ymax=892 ．
综上，即当年生产58(台)时，该企业年利润的最大值为892(万元)

【解析】【分析】(1)根据题意，分 0(2)结合(1)，根据二次函数的性质和基本不等式求解最值即可．
22.【答案】解：(1)一方面由题意 f(0)=-1+a2+2=a-14=0 ，解得 a=1 ，
另一方面当 a=1 时， f(x)=-2x+12x+1+2 的定义域为R关于原点对称，
且 f(x)+f-x=-2x+12x+1+2+-2-x+12-x+1+2=-2x+12x+1+2+-1+2x2x+1+2=0 ，即此时 f(x)=-2x+a2x+1+2 是奇函数，
综上所述：实数a的值为1．
(2)由(1)可知 f(x)=-2x+12x+1+2=-122x-12x+1=-121-22x+1 ，
因为 y=2x+1 的值域为 1,+∞ ，所以 y=22x+1 的值域为 0,2 ，
所以 y=1-22x+1 的值域为 -1,1 ， f(x)=-121-22x+1 的值域为 -12,12 ．
【小问3详解】
∀x1,x2∈R ，不妨设 x1=12x1+1-12x2+1=2x2-2x12x1+12x2+1 ，
因为 x12x1,2x1+1>0,2x2+1>0 ，
从而 fx1-fx2=2x2-2x12x1+12x2+1>0 ，即 fx1>fx2 ，
所以 f(x) 在 R 上为减函数，
由题意 ft-1+f1t>0⇔ft-1>-f1t=f-1t ，
所以当且仅当 t-1<-1tt≠0 ，解得 t<0 ．
即不等式 f(t-1)+f1t>0 的解集为 -∞,0 ．

【解析】【分析】(1)直接由奇函数的定义求解即可．
(2)直接由指数函数、复合函数的值域求解即可．
(3)先由单调性的定义证明 f(x) 在 R 上为减函数，然后利用函数奇偶性、单调性解不等式即可．

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