2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一上学期期中数学试题(含解析 )

这是一份2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一上学期期中数学试题(含解析 )，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=xx<4,x∈N，则
( )
A. 0∉AB. -1∈AC. 0⊆AD. -1⊆A
2.若函数y=fx的定义域为-2,4，则函数y=fx-f-x的定义域为
( )
A. -2,2B. -2,4C. -4,4D. -4,2
3.函数fx= 2-xx-3的定义域为
( )
A. 2,3B. 2,3
C. -∞,2∪3,+∞D. -∞,2∪3,+∞
4.函数fx=1x3 x2+1的部分图象大致为
( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，值域是0,+∞的是
( )
A. y= x2-2xB. y=x+2x+1,x∈0,+∞
C. y=1x2+2x+1,x∈ND. y=1x-1
6.已知“x+a2-16>0”的必要不充分条件是“x≤-3或x≥2”，则实数a的最大值为
( )
A. -1B. 0C. 1D. 2
7.已知幂函数fx=-2m2+m+2xm+1为偶函数，若函数y=fx-4a-1x在区间2,4上为单调函数，则实数a的取值范围为
( )
A. -∞,2B. -∞,2∪3,+∞
C. 2,3D. -1,2∪3,+6
8.已知函数fx的定义域为R，且对任意实数x，y，都有fy+fy=2fx+y2fx-y2，f1=-1，则
( )
A. f0=0B. f12=1C. fx为奇函数D. fx为偶函数
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设函数fx=ax-8,x<4x2-2ax,x≥4，当fx为增函数时，实数a的值可能是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.下列说法中，正确的是( )
A. 集合A=1,2和B=1,2表示同一个集合
B. 函数fx= 3-2x-x2的单调增区间为-3,-1
C. 若lg189=a，18b=5，则lg3645=a+b2-a
D. 已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=2x2+1x-1，则当x<0时fx=-2x2-1x+1
11.若a,b∈0,+∞，a+b=1，则下列说法正确的有
( )
A. a+1ab+1b大于4B. 1+a+ 1+b的最大值为 6
C. 1a+2b的最小值为3+2 3D. ab+4a+b4a+b的最大值是109
12.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在0,1上的黎曼函数Rx=1q,x=pq,其中p,q为正整数,pq为最简真分数0,x=0,1和0,1内的无理数，关于黎曼函数Rxx∈0,1，下列说法正确的是
( )
A. R23=13
B. ∀n∈N*，方程Rx=nn+1没有实数根
C. Rx=R1-x
D. Rab≥RaRb
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知fx+1=x2-x+1，则fx的解析式是fx=_______．
14.函数y=2x2-2x+3x2-x+1的最大值为_______．
15.命题“∃x>a，关于x的不等式2x+1x-a<2 2成立”为假命题，则实数a的取值范围是_______．
16.设a>0，b>0，若4a+b=ab-4，则lg2a-1⋅lg2b-4的最大值为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
(1)化简求值：4lg23-lg37⋅lg79+lg186+lg183；
(2)已知x12+x-12= 5，求x2+x-2的值．
18.(本小题12.0分)
已知集合A=x5≤x≤7，B=xm+1≤x≤2m-1．
(1)当m=3时，求A∪B和A∩B；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
19.(本小题12.0分)
某小微企业生成A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润fx与投资额x成正比，其关系如图1；B产品的利润gx与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资额单位都是万元)．
(1)分别写出fx和gx的函数关系式；
(2)该企业已筹集到28万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这28万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
20.(本小题12.0分)
已知函数fx=3x+mx2+1，x∈R是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数fx在0,1和1,+∞上的单调性并证明；
(3)若对于任意x1,x2∈0,+∞,fx1-fx2+n≤0恒成立，求实数n的取值范围．
21.(本小题12.0分)
已知函数fx=m+1x2-m-1x+m-1．
(1)若不等式fx<0的解集为R，求实数m的取值范围；
(2)当m<0时，解关于x的不等式fx≥3x+m-2；
(3)若不等式fx≥x2+2x对一切x∈0,2恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12.0分)
已知函数fx=x2-2xx-aa∈R．
(1)当a=-1时，直接写出函数fx的单调区间(不需证明)；
(2)当a=2时，求fx在区间0,3上的最大值和最小值；
(3)当a>0时，若函数fx在m,n上既有最大值又有最小值，求证：n-m<3a恒成立．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】求出集合A，利用元素与集合、集合与集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项．
解：因为A=xx<4,x∈N=0,1,2,3，则0∈A，-1∉A，0⊆A，-1⊄A，
故C对，ABD均错．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据函数fx的定义域，对于函数y=fx-f-x，可得出关于x不等式组，由此可解得函数y=fx-f-x的定义域．
解：因为fx的定义域为-2,4，
对于函数y=fx-f-x，则-2≤x≤4-2≤-x≤4，解得-2≤x≤2，
因此，函数y=fx-f-x的定义域为-2,2．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】由已知得出2-xx-3≥0，根据分式不等式与整式不等式的关系，化为整式不等式，求解即可得出答案．
解：由fx有意义，则2-xx-3≥0，
该不等式等价于2-xx-3≥0x-3≠0，解得2≤x<3．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性进行排除C选项，在由函数在x>0时，函数值为正，即可进行解答．
解：∀x≠0，f-x=-fx，所以fx是奇函数，故 C错误；
又x>0时，fx>0，由图可知选项 A，D错误；应选B．
又设∀x1则有1x13 x12+1>1x23 x22+1>0
即fx1>fx2，故fx在0,+∞上单调递减，
综上，函数fx=1x3 x2+1图象性质与选项 B中图象表示函数的性质基本一致．
故选：B
5.【答案】D
【解析】【分析】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断．
解：对于选项A：当x=0时，y=0，即值域有0，故A错误；
对于选项B，因为x+2x+1=1+1x+1≠1，即值域没有1，故B错误；
对于选项C：函数的定义域为x∈N，所以函数值域不连续，故 C错误．
对于选项D：因为x-1的取值范围是0,+∞，所以函数的值域为0,+∞，故 D正确．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】解不等式可得x<-4-a，或x>4-a.根据已知列出不等式组，即可得出答案．
解：解x+a2-16>0，可得x<-4-a，或x>4-a．
由题意，-4-a≤-34-a≥2，解得-1≤a≤2，检验符合题意．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】【分析】用幂函数和偶函数定义确定fx，再用二次函数对称轴与单调区间的关系讨论即可．
解：因为函数fx=-2m2+m+2xm+1为幂函数，则-2m2+m+2=1，得m=1或m=-12．
当m=1时，fx=x2为偶函数，符合题意；
当m=-12时，fx=x12= x为非奇非偶函数，不合题意，
所以，fx=x2，
则y=x2-4a-1x，对称轴为直线x=2a-1．
①若函数y=x2-4a-1x在2,4上为增函数，则2a-1≤2，解得a≤2；
②若函数y=x2-4a-1x在2,4上为减函数，则2a-1≥4，解得a≥3．
综上所述，实数a的取值范围是-∞,2∪3,+∞
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
解：令x=y=1，则2f1=2f1f0，∵f1=-1，∴f0=1，选项 A错误；
令x=1，y=0，则f1+f0=2f12f12，即2f212=-1+1=0，则f12=0，选项 B错误；
∵f0=1，∴f0不是奇函数，选项 C错误；
令y=-x，则fx+f-x=2f0fx，即fx+f-x=2fx，故f-x=fx，fx为偶函数，选项 D正确；
故选：D．
9.【答案】AB
【解析】【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性即可得解．
解：依题意，当x<4时，fx=ax-8为增函数，则a>0，
当x≥4时，fx=x2-2ax=x-a2-a2为增函数，则a≤4，
又fx为增函数，则a×4-8≤42-2a×4，解得a≤2，
综上：0故选：AB．
10.【答案】BC
【解析】【分析】通过集合元素不一致判断A；利用复合函数的单调性判断B；利用对数换底公式判断C；利用奇函数在对称区间上的解析式求法判断D．
解：对于选项A，集合A=1,2中元素为数，集合B=1,2为点，所以 A错误；
对于选项B，根据3-2x-x2≥0解得函数fx= 3-2x-x2的定义域为-3,1，因为函数y= t为增函数，
根据复合函数的单调性可知函数fx= 3-2x-x2的单调递增区间为-3,-1，所以 B正确；
对于选项C，lg3645=lg1845lg1836=lg185+lg1891+lg182=lg185+lg1892-lg189=a+b2-a所以 C正确；
对于选项D，因为当x>0时，fx=2x2+1x-1，当x<0时，-x>0，
所以f-x=2-x2+1-x-1=2x2-1x-1，
又因为fx是定义在R上的奇函数，所以fx=-f-x=-2x2+1x+1，所以 D错误．
故选：BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】AB选项利用基本不等式即可；C利用“1”的代换和基本不等式即可；D先分离常数再用“1”的代换和基本不等式即可．
解：对于选项A，a+1ab+1b≥2 a⋅1a⋅2 b⋅1b=4，当且仅当a=1，b=1时等号成立．此时a+b≠1，所以a+1a⋅b+1b>4，所以 A正确：
对于选项B， 1+a+ 1+b≤ 2⋅ 1+a2+ 1+b2= 6，当且仅当a=b=12时等号成立，所以 B正确．
对于选项C，1a+2b=a+b1a+2b=3+ba+2ab≥3+2 ba⋅2ab=3+2 2，当且仅当b= 2a，且a+b=1，即a= 2-1，b=2- 2时等号成立，所以1a+2b的最小值为3+2 2，所以 C错误．
对于选项D，ab+4a+b4a+b=ab4a+b+1=14b+1a+1．1a+4b=a+b1a+4b=3+ba+4ab≥5+2 ba⋅4ab=9，当且仅当b=2a，且a+b=1，即a=13，b=23时等号成立，所以ab+4a+b4a+b的最大值为109，所以 D正确．
故选：ABD
12.【答案】ACD
【解析】【分析】根据黎曼函数的定义，可判断A、B项；分为0，1，0,1之间的无理数以及0,1之间的有理数四种情况，分别讨论，即可判断C项；根据黎曼函数的定义，a与b不都为0,1内的有理数以及a与b都为0,1内的有理数讨论，即可判断D项．
解：对于A项，因为23为最简真分数，由定义，可知选项 A正确；
对于选项B，当n=1时，x=12是方程Rx=12的实数根，所以 B错误；
对于选项C，
若x为0,1上的无理数，则1-x也为0,1上的无理数，此时Rx=0=R1-x；
若x=1，则1-x=0，此时Rx=R1-x；
若x=0，则1-x=1，此时Rx=R1-x；
若x为0,1上的有理数，设(其中p，q为正整数，pq为最简真分数)，则Rx=1q，此时1-x=q-1q也为有理数，且q-1q为最简真分数，此时R1-x=1q，所以 C正确；
对于选项D，①若a与b中至少一个为0或1或0,1中的无理数时，
则RaRb=0，而Rab≥0恒成立，满足Rab≥RaRb；
②若a与b都为0,1内的有理数时，设a=p1q1，b=p2q2(p1,p2,q1,q2为正整数，p1q1，p2q2为最简真分数)，所以Ra=1q1，Rb=1q2．
又ab=p1p2q1q2，当p1q1⋅p2q2能约分时，ab写成既约真分数分母小于q1q2，设为(即q01q1q2=RaRb；
当p1q1⋅p2q2不能约分时，Rab=1q1q2=1q1⋅1q2=RaRb．
综上，可知Rab≥RaRb成立， D正确．
故选：ACD．
13.【答案】x2-3x+3
【解析】【分析】利用换元法即可得到答案．
解：令x+1=t，则x=t-1，所以ft=t-12-t-1+1=t2-3t+3．
所以fx=x2-3x+3．
故答案为：x2-3x+3．
14.【答案】103
【解析】【分析】将y=2x2-2x+3x2-x+1采用分离常数法得到y=2+1x2-x+1，然后当x2-x+1取到最小值时，函数有最大值，即得到答案．
解：y=2x2-2x+3x2-x+1=2+1x2-x+1，因为x2-x+1=x-122+34≥34，
所以2x2-2x+3x2-x+1≤2+43=103，当x=12时等号成立，所以ymax=103．
故答案为：103．
15.【答案】0,+∞
【解析】【分析】把问题转化为命题“∀x>a，关于x的不等式2x+1x-a≥2 2成立”，再结合基本不等式求得最小值，从而可得2a+2 2≥2 2，求解即可．
解：依题意，命题“∀x>a，关于x的不等式2x+1x-a≥2 2成立”，
当x>a时，2x+1x-a=2x-a+1x-a+2a≥2× 2x-a⋅1x-a+2a=2a+2 2，
当且仅当2x-a=1x-a，即x=a+ 22时取等号，
因此2a+2 2≥2 2，解得a≥0，
所以实数a的取值范围是0,+∞．
故答案为：0,+∞．
16.【答案】94
【解析】【分析】根据已知推得b-4>0，a-1>0，a-1b-4=8.进而得出lg2a-1+lg2b-4=3，然后即可根据基本不等式，得出答案．
解：由4a+b=ab-4得b-4a=b+4．
又a>0，b>0，所以b-4>0．
同理可得a-1>0．
因为 4a+b=ab-4，
所以ab-4a-b=4，所以a-1b-4=8．
又lg2a-1+lg2b-4=lg2a-1b-4=lg28=3．
当a-1>1，且b-4>1时，即lg2a-1>0，lg2b-4>0．
由基本不等式知lg3a-1⋅lg3b-4≤lg3a-1+lg3b-424=94．
当且仅当lg2a-1=lg2b-4，即a-1b-4=8a-1=b+4,
即a=1+2 2，b=4+2 2时等号成立．
当01，此时lg3a-1⋅lg3b-4<0；
当01，此时lg3a-1⋅lg3b-4<0．
综上所述，lg2a-1⋅lg2b-4的最大值为94．
故答案为：94．
17.【答案】解：(1)原式=2lg232-lg7lg3⋅lg32lg7+lg186×3
=32-lg7lg3⋅2lg3lg7+lg1818=9-2+1=8；
(2)由x12+x-12= 5两边平方得，
x12+x-122=x+x-1+2=5，
所以x+x-1=3，
所以，x+x-12=x+x-2+2=9，
所以，x2+x-2=7．

【解析】【分析】(1)根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案；
(2)平方根据指数幂的运算性质可得出x+x-1=3，再次平方即可得出答案．
18.【答案】解：(1)
当m=3时，B=x4≤x≤5．
所以，A∪B=x5≤x≤7∪x4≤x≤5=x4≤x≤7，
A∩B=x5≤x≤7∩x4≤x≤5=5．
(2)
当B=⌀时，有m+1>2m-1，则m<2；
当时，
可得2m-1≥m+12m-1<5，或2m-1≥m+1m+1>7,
解得2≤m<3或m>6．
综上可得，实数m的取值范围是-∞,3∪6,+∞．

【解析】【分析】(1)代入m=3，得出B，然后即可根据交集以及并集的运算，计算得出答案；
(2)分B=⌀以及两种情况讨论求解，即可得出答案．
19.【答案】解：(1)
依题意：可设fx=k1x(x≥0)，gx=k2 xx≥0，
∵f1=k1=0.125=18，g1=k2=0.5=12，
∴fx=18x(x≥0)，gx=12 xx≥0．
(2)
方法一：设投资A产品x万元，则B产品的投资为28-x万元，利润为y万元，
依题意得：y=fx+g28-x，
即y=x8+12 28-x0≤x≤28，
令t= 28-x，则x=28-t2，t∈0,2 7，
则y=28-t28+t2=-18t-22+4，
所以当t=2，即x=24万元时，收益最大，ymax=4万元．
所以当A产品投入24万元，B产品投入4万元，企业获得最大利润为4万元．
方法二：设投资B产品x万元，则A产品的投资为28-x万元，利润为y万元，
依题意得：y=f28-x+gx，
即y=28-x8+12 x0≤x≤28，
令t= x，则x=t2，t∈0,2 7，
则y=28-t28+t2=-18t-22+4，
所以当t=2，即x=4万元时，收益最大，ymax=4万元．
所以当A产品投入24万元，B产品投入4万元，企业获得最大利润为4万元．

【解析】【分析】(1)根据题干描述，设出对应的函数关系式，将点代入，等到函数关系式．
(2)列出利润的函数关系式，换元法化简得到一元二次函数，利用一元二次函数求最大值．
20.【答案】解：(1)
∵fx=3x+mx2+1，x∈R是奇函数，所以f0=m=0，
当m=0时，fx=3xx2+1，
∀x∈R，f-x=-3xx2+1=-fx，fx是奇函数，所以m=0；
(2)
函数fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，证明如下：
∀x1,x2∈0,+∞，且x1fx1-fx2=3x1x12+1-3x2x22+1=3x1x22+1-3x2x12+1x12+1x22+1=3x1-x21-x1x2x12+1x22+1，
①当1≤x11，即1-x1x2<0，
又x12+1x22+1>0，所以fx1-fx2>0，即fx1>fx2，
所以函数fx在1,+∞上单调递减．
②当0≤x10，
又x12+1x22+1>0，所以fx1-fx2<0，即fx1所以函数fx在0,1上单调递增．
(3)
对于任意x1,x2∈0,+∞,fx1-fx2+n≤0恒成立，
只需fxmax-fxmin+n≤0，即-n≥fxmax-fxmin．
由(2)得fxmax=g1=32．
又f0=0，x>0时，fx>0，所以fxmin=f0=0，
所以-n≥fxmax-fxmin=32，n的取值范围是-∞,-32．

【解析】【分析】(1)利用定义域R上奇函数满足f0=0，并用定义验证即可．
(2)利用定义法分别在0,1和1,+∞上判断函数的单调性即可．
(3)将对于任意x1x2∈0,+∞,fx1-fx2+n≤0恒成立，转换为gxmax-gxmin+n≤0恒成立，然后求实数n的取值范围．
21.【答案】解：(1)
①当m+1=0，即m=-1时，原不等式化为fx=2x-2<0，
解集为x|x<1，不合题意；
②当m+1≠0 ，即m≠-1时，
fx<0的解集为R，即m+1x2-m-1x+m-1<0的解集为R，
则应有m+1<0Δ=m-12-4m+1m-1<0．
即m<-13m2+2m-5>0，解得m<-53．
综上，m的取值范围是-∞,-53．
(2)
由已知可得m+1x2-m-1x+m-1≥3x+m-2，
即m+1x2-m+2x+1≥0，即m+1x-1x-1≥0．
(i)当m+1=0，即m=-1时，不等式化为-x+1≥0，解得x≤1；
(ⅱ)当m+1≠0时，有m≠-1，
解m+1x-1x-1=0可得，x=1m+1或x=1．
①当m+1>0，又m<0可得，即01，
则解m+1x-1x-1≥0可得，x≤1或x≥1m+1；
②当m+1<0，有1m+1<0<1，
解m+1x-1x-1=0可得，1m+1≤x≤1．
综上所述，当-1当m=-1时，不等式的解集为xx≤1；
当m<-1时，不等式的解集为x1m+1≤x≤1．
(3)
不等式fx≥x2+2x，即m+1x2-m-1x+m-1≥x2+2x，
即mx2-x+1≥x+1．
∵x2-x+1>0恒成立，∴m≥x+1x2-x+1．
设1+x=t，∵x∈0,2，∴t∈1,3．
∴x+1x2-x+1=tt-12-t-1+1=tt2-3t+3=1t+3t-3．
∵t+3t≥2 t⋅3t=2 3，当且仅当1= 3时取等号，
∴x+1x2-x+1≤12 3-3=2 33+1，当且仅当1= 3-1时取等号，
所以m的取值范围是2 33+1,+∞．

【解析】【分析】(1)分为m+1=0，以及m+1≠0讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案；
(2)原不等式可化为m+1x-1x-1≥0.先求解m+1=0的解集，进而解出m+1≠0时，得出m+1x-1x-1=0的解集.然后分为m+1>0与m+1<0，结合m的范围得出两根的大小关系，进而得出答案；
(3)不等式转化为mx2-x+1≥x+1，分离参数得出m≥x+1x2-x+1.换元1+x=t，整理得出1t+3t-3，进而根据基本不等式，得出t+3t≥2 3，即可得出范围．
22.【答案】解：(1)
当a=-1时，fx=x2-2xx+1．
当x≥-1时，有fx=x2-2xx+1=-x+12+1，
根据二次函数的性质，可知fx在-1,+∞单调递减；
当x<-1时，有fx=x2+2xx+1=3x+132-13，
根据二次函数的性质，可知fx在-∞,-1单调递减．
又f-1=1=3×-1+132-13，
所以，fx的单调递减区间为-∞,+∞．
(2)
当a=2时，fx=x2-2xx-2．
当x≥2时，fx=x2-2xx-2=-x2+4x=-x-22+4，
根据二次函数的性质，可知fx在区间2,3上单调递减，
最小值为f3=3，最大值为f2=4；
当x<2时，fx=x2+2xx-2=3x2-4x=3x-232-43，
根据二次函数的性质，可知fx在区间0,23上单调递减，在23,2上单调递增．
且f0=0，f23=-43，当x<2时，有fx<4，
所以，最小值为f23=-43，无最大值．
综上所述，在区间0,3上，最小值为f23=-43，最大值为f2=4．
(3)
当a>0时，fx=x2-2xx-a．
当x根据二次函数的性质，可知fx在-∞,a3上单调递减，在a3,a单调递增；
当x≥a时，fx=x2-2xx-a=-x-a2+a2，
根据二次函数的性质，可知fx在a,+∞上单调递减．
又函数fx在m,n上既有最大值又有最小值，
所以函数的最值只能在a或a3处取得，且最大值fa=a2，最小值fa3=-a23．
又当x即有3x-a32-a23=a2，解得x=-a3，故m≥-a3．
当x≥a，应满足fx=fa3=-a23时，
由-x-a2+a2=-a23，解得x=2+ 3 3a，故n≤2+ 3 3a．
所以，n-m≤2+ 3 3a+a3=4+2 33a ．
又∵a>0，∴3a>4+2 33a，
∴n-m<3a恒成立．
【解析】【分析】(1)代入a=-1，分类讨论去掉绝对值，根据二次函数的性质得出函数在不同段上的单调性，结合端点处的函数值，即可得出函数的单调区间；
(2)代入a=2，分类讨论去掉绝对值，根据二次函数的性质得出函数在不同段上的单调性，结合端点处的函数值，即可得出函数的最值；
(3)分类讨论去掉绝对值，根据二次函数的性质得出函数在不同段上的单调性，结合已知得出函数的最值.进而根据最值，列出不等式，求出m,n的范围，得出n-m≤4+2 33a．