2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一上学期期中考试数学试题

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一上学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．集合，，1，2，，则
A．，B．，C．，1，D．，1，2，
2．命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是
A．B．C．D．
4．已知集合，集合，则
A．B．
C． D．
5．一元二次不等式的解集是
A．B．C．D．
6．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，则满足的的取值范围是
A．B．C．D．
7．已知函数，则函数的图象关于轴对称的图象是
A．B．
C．D．
8．已知函数的最小值是，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列各组函数中是同一函数的是
A．与B．与
C．与D．与
10．下列说法正确的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．是的必要不充分条件
C．若，，，则“”的充要条件是“”
D．若，，则“”是“”的充要条件
11．整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中，1，2，3，．以下判断中不正确的是
A．
B．
C．
D．若，则整数，属同一类
12．已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可以为
A．3B．2C．1D．0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数的递增区间为 ．
14．已知幂函数在区间上单调递增，则 ．
15．已知，，若集合，则的值为 ．
16．已知，，，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设全集，集合，集合．
（1）当时，求及，；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（12分）设函数是定义在上的奇函数，当，．
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在，上的单调性；
20．（12分）已知幂函数的定义域为全体实数．
（1）求的解析式；
（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点．设，记的面积为函数．
（1）求的解析式，并写出其定义域；
（2）求的最大面积及相应的值．
22．（12分）已知函数，．
（1）判断的奇偶性，并求的值域；
（2）设函数，求的最大值（a），并求（a）的最小值．
2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合，，1，2，，则( )
A．，B．，C．，1，D．，1，2，
【分析】利用交集定义、不等式性质直接求解．
【解答】解：集合，，1，2，，因为，不是不等式的解，而0，1，3都是不等式的解
．
故选C．
【点拨】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可判断求解．
【解答】解：因为命题“，”为全称命题，而全称命题的否定是特称命题
命题“，”的否定是“，”，
故选A．
【点拨】本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据基本初等函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．
【解答】解：选项A，是奇函数，虽然在和上均是单调递减的，但在整个定义域内并不是减函数，即不符合题意；
选项B，由幂函数的图象知，是奇函数，且在定义域内为减函数，即B符合题意；
选项，是偶函数，即不符合题意；
选项，是非奇非偶函数，即不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4．已知集合，集合，则
A．B．
C．D．
【分析】结合集合，所表示的意义，再结合两个集合的关系，即可求解．
【解答】解：，，
，，故错误，错误，
当时，，既不在集合，也不在集合，故错误；
当元素满足为24的正整数倍时，
比满足为12的正整数倍，
故，故正确，
故选：．
【点拨】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
5．一元二次不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】不等式化为：，然后根据一元二次不等式的解法即可求解．
【解答】解：不等式化为：，
解得，
故选：．
【点拨】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
6．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，则满足的的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】由已知可得函数在单调递减，由偶函数的性质可得在单调递增，利用函数的奇偶性与单调性将不等式去掉“”，即可求解的范围．
【解答】解：因为对任意，，均有成立，
所以在单调递减，
又因为为上的偶函数，所以在单调递增，
所以不等式等价于，解得，
故的取值范围是．
故选：．
【点拨】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
7．已知函数，则函数的图象关于轴对称的图象是
A．B．
C．D．
【分析】首先对时，函数单调性进行分析，然后得到其图像关于轴对称后的单调性，再讨论时，利用基本不等式等到它在此范围内的最值，然后得到其图像关于轴对称后的最值．
【解答】解：当时，，设，，
根据减函数加上减函数为减函数，
则在单调递减，故当其关于对称后，
变为当时，对称后的函数在上单调递增，故，，错误，
当时，，
当且仅当时等号成立，故当其关于对称后，变为，应有最小值2，
故选：．
【点拨】本题考查函数的图象，函数的性质，属于中档题．
8．已知函数的最小值是，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】分类讨论，结合二次函数的性质，得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：解法一
当时，的最小值是，要使函数的最小值是，则（）恒成立，故（）恒成立，设，则
（）在时有最大值，故，故选A
解法二
当时，，故，
当时，①当时，，，不满足题意，
②当时，函数开口向下，不满足题意，
③当时，对称轴是，
只需满足或，解得：，．
故选：．
【点拨】本题考查了分段函数问题，考查二次函数的性质，是基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列各组函数中是同一函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【分析】由题意，根据函数的三要素，得出结论．
【解答】对于：易知，所以，两函数定义域相同，解析式不同，所以不是同一函数；
对于：显然是同一函数；
对于：由，易知，且，所以，两函数定义域相同，解析式相同，所以是同一函数；
对于：定义域不同，所以不是同一函数，
故选：．
【点拨】本题主要考查函数的三要素，属于基础题．
10．下列说法正确的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．是的必要不充分条件
C．若，，，则“”的充要条件是“”
D．若，，则“”是“”的充要条件
【分析】利用不等式性质及集合间的运算，结合命题的充分必要性分别判断各选项．
【解答】解：对于选项：取，，满足，但是，
所以由“”推不出“ “，故选项错误；
对于选项：由，即集合与集合没有公共部分，不能说明，
由可知，
所以是的必要不充分条件，故选项正确；
对于选项，若，，，由可得，
但是当时，由，可得，故错误；
对于选项：若，，由 可知， 不同时为0，由，可知，不同时为0，
所以“ “是“ “的充要条件，故选项正确．
故选：．
【点拨】本题考查了充分条件和必要条件的定义，考查集合的包含关系，是中档题．
11．整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中，1，2，3，．以下判断中不正确的是
A．
B．
C．
D．若，则整数，属同一类
【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案．
【解答】解：选项，，故，正确；
选项，全体整数被5除的余数只能是0，1，2，3，4，
故，正确；
选项，，故，错误；
选项，由题意可知能被5整除，故，分别被5除的余数相同，
故整数，属同一类，正确．
故选：．
【点拨】本题考查集合新定义，属于中档题．
12．已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可以为
A．3B．2C．1D．0
【分析】由已知结合函数的奇偶性可求，由函数的单调性定义分析可得，令，则在上单调递增，结合二次函数的性质分析可得的取值范围．
【解答】解：根据题意，，则，
两式相加可得，
又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
所以，即，
若对于任意，都有，变形可得，
令，则在区间上单调递增，
若，则在上单调递增，不满足题意；
若，则是对称轴为的二次函数，
若在区间上单调递增，只需，解得，
所以的取值范围为，，则可以取值3，2，
故选：．
【点拨】本题考查函数的性质，函数的单调性与奇偶性的应用，二次函数的单调性问题，考查函数思想，属于中档题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数的递增区间为 ．
【分析】由得：或，利用复合函数的单调性可求得答案．
【解答】解：由得：或，
又为开口向上，对称轴方程为的抛物线，在，上单调递增；
在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性知的单调递增区间，；
故答案为：，．
【点拨】本题考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
14．已知幂函数在区间上单调递增，则 ．
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，以及函数的单调性，即可求解．
【解答】解：，解得或，
当时，，不满足在区间上单调递增，舍去，
当时，，满足在区间上单调递增，符合题意，
故．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
15．已知，，若集合，则的值为 ．
【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解，，进而可求．
【解答】解：若集合，
由于，
故，即，则，0，，，，
所以，解得，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了集合元素的互异性及集合相等条件的应用，属于基础题．
16．已知，，，且，则的最小值为 ．
【分析】根据基本不等式相关知识可解．
【解答】解：利用基本不等式可得，，
当且仅当时，取等号，
又，则，得．
此时，，
当且仅当时，取等号，
则的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查基本不等式的运用，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设全集，集合，集合．
（1）当时，求及，；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；
（2）由充分条件的性质推得，从而得到关于的不等式组，解之即可得解．
【解答】解：（1）当时，，
又，，则或，
所以，，．
（2）若“”是“”的充分条件，则，
所以，解得．
所以实数的取值范围为，．
【点拨】本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
18．（12分）已知集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）推导出，即是方程的根，解得，求出，由此能求出．
（2）由，得，当时，，满足，当或时，，由，得或或，，由此能求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，且，
所以，即是方程的根，
所以，得，
则，
所以．
（2）因为，所以，
①当时，，满足，
②或时，，
因为，所以或或，，
当时，，得，
当时，，无解，
当，时，，无解，
综上所述实数的取值范围是．
【点拨】本题考查集合的运算，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）设函数是定义在上的奇函数，当，．
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在，上的单调性；
【分析】（1）设，则，求出的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案；
（2）利用作差法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设，则，
故，
又由为奇函数，则，
故；
（2）根据题意，当，，在，上的单调递减，
证明：设，
，
又由，
则，则有，
函数在，上的单调递减．
【点拨】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题．
20．（12分）已知幂函数的定义域为全体实数．
（1）求的解析式；
（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由，求解，再验证即可；
（2）由题意可得在，上恒成立，即在恒成立，结合对勾函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）是幂函数，
，解得或，
当时，定义域不是，不符合题意，
，
即；
（2）由（1）得，
在，上恒成立，
即在，上恒成立，
在，上恒成立，
当时，恒成立，此时；
当时，恒成立，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，
，
所以，
故实数的取值范围为，．
【点拨】本题考查了幂函数的性质，转化思想及对勾函数的性质，属于中档题．
21．（12分）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点．设，记的面积为函数．
（1）求的解析式，并写出其定义域；
（2）求的最大面积及相应的值．
【分析】（1）由题设有、，，应用勾股定理可得，进而有，利用三角形面积公式即可求解；
（2）利用基本不等式求最值，注意取值条件即可得结果．
【解答】解：（1）如下图示且，则，，
又，若，则，
而，故，可得，则，
所以，
则，定义域为；
（2），
当且仅当，即时等号成立，
综上，时的面积最大，最大面积为．
【点拨】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
22．（12分）已知函数，．
（1）判断的奇偶性，并求的值域；
（2）设函数，求的最大值（a），并求（a）的最小值．
【分析】（1）求出函数的定义域，求出的解析式，可得函数为偶函数，再求函数的值域；
（2）由（1）知，得，令，转化为求函数在，上的最大值，分，和三种情况讨论，即可求出（a），
然后求出（a）的最小值即可．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，
解得，
函数的定义域为，，关于原点对称，
且，
函数是偶函数；
，
，，
，即函数的值域是，，
又，
的值域为，．
（2），，
，令，
，又，
的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线，
①若，即，
在，上单调递减，则（a）；
②若，，即，函数在，先增后减，
则（a）；
③若，即，则（a）（2）；
综上可得，（a），
当时，（a），
当，（a），
当且仅当，即，，取不到等号；
当时，（a）．
时，（a）取到最小值，且最小值为．
【点拨】本题考查分段函数的性质的应用，属于中档题．