2023-2024学年江苏省无锡市第一中学高一上学期期中数学试题（艺术班）含答案

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市第一中学高一上学期期中数学试题（艺术班）含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，即先将量词“”改成量词“”，再将结论否定，
所以该命题的否定是“，”.
故选：D.
2．已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集、补集的定义求解即可.
【详解】由题意，得，所以
故选：C
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．7
【答案】A
【解析】先求出，再求出，最后求即可.
【详解】解：因为，所以，，
所以
故选：A
【点睛】本题考查分段函数求函数值，是基础题.
5．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像.
【详解】因为，所以其对应图象为B,
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.
6．已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数性质把不等式化为，再利用函数单调性得，最后利用对数函数单调性解不等式即可.
【详解】因为是定义域为R的偶函数且，所以不等式等价，
又函数在上单调递减，所以，所以或，
所以或，即满足的的取值范围是.
故选：D
7．设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性可得，利用指数幂运算可知，再利用幂函数的单调性可得，由此得解.
【详解】因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，
又，即，所以，即，故，
所以.
故选：A.
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可依次求解．
【详解】对于A，当时，，故A为假命题，
对于B，，
，
，，
，故B为真命题，
对于C，，
，即，
，
，故C为真命题，
对于D，，
当，时，取得最小值为，且
故D为真命题．
故选：BCD．
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是奇函数
【答案】ABC
【解析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A、C、D，举特例根据和可判断B即可得到答案.
【详解】对于A中，若自变量是有理数，则，
若自变量是无理数，则，所以A是真命题；
当是无理数，是无理数，则是无理数，
则，满足，所以B正确；
对于C，当为有理数时，则为有理数，
则．
当为无理数时，则为无理数，
则．
故当时，，
∴函数为偶函数，所以C是真命题；
对于D中，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，
所以不是奇函数，D不正确.
所以D是假命题；
故选：ABC.
11．下列函数中最大值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】根据基本不等式及其成立的条件“①正”，“②定”，“③相等”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：，当且仅当即时等号成立，所以在处有最小值，无最大值，故A不满足题意；
对于B：，当且仅当即时等号成立，故B满足题意；
对于C：因为，所以，所以，所以，无法取到最大值1，故C不满足题意；
对于D：，
当且仅当，即时等号成立，故D满足题意；
故选：BD
【点睛】易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
三、单选题
12．如果函数f(x)＝，满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A．(0，2)B．(1，2)C．(1，＋∞)D．
【答案】D
【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解.
【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立，
所以函数f(x)是R上的增函数，
所以，
解得，
故选：D
四、填空题
13．已知幂函数的图象经过，则
【答案】/
【分析】设，根据可求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】设，则，则，则，
所以，.
故答案为：.
14．已知函数是定义域为的奇函数，且满足.当时，.给定集合，定义集合，则集合 .
【答案】
【分析】利用函数周期性和奇偶性求出、、、的值，即可得出集合.
【详解】函数是定义域为的奇函数，且满足.
当时，.
所以，，，，
，
因为集合，集合，则.
故答案为：.
15．若函数的图象关于点（1，1）对称，则实数= ．
【答案】1
【详解】 关于点 对称，所以
16．函数的图像恒过定点，若，则的最小值 .
【答案】8
【分析】首先求定点，再利用“1”的变换，利用基本不等式求最小值.
【详解】函数，所以函数恒过点,
即，即，
则，
当时，即时，等号成立，的最小值为，
此时，解得，.
故答案为：
五、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解；
（2）利用对数的运算性质求解.
【详解】（1）
，
（2）
18．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若存在正实数，使得“”是“”成立的________，求正实数的取值范围.
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数的性质与解二次不等式化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解；
（2）利用充要条件与集合的关系得到集合的包含关系，从而得解.
【详解】（1），
因，且可化为，
则，
当时，，
所以.
（2）选①：
因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集.
又，，，
所以，
经检验，满足题意，
所以实数的取值范围是.
选②：
因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以是的真子集.
又，，，
所以，
经检验，满足题意，
所以实数的取值范围是.
19．已知函数．
(1)当时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当，函数f（x）在[－3，3]的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．
【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，结合二次函数的性质即可求解，
（2）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，；
当时，， ∴在上单调递增；
当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：的单调递增区间为，；
单调递减区间为
（2）因为，当时，
①当，即时，在单调递减，在单调递增，；
②当，即时，在单调递增，
综上所述：，
20．金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，（万元）；当年产量不少于45台时，（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）
【分析】（1）根据题意，分和求解即可；
（2）结合（1），根据二次函数的性质和基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）解：当时，
，
当时，
，
综上所得，
（2）解：当时，
，
当时，，
当时，
当且仅当时，即时，上式取等号，即.
综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）
21．设函数（且）是定义域为的奇函数．
（1）求实数的值．
（2）若，判断函数的单调性，并证明．
（3）在（2）的条件下，若对任意的，存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）是上单调增函数，证明见解析；（3）.
【分析】（1）由函数是定义域为的奇函数，得到，即可求解；
（2）由（1）知函数，根据，得到，利用函数单调性的定义，即可求解；
（3）由，结合函数的性质，得的，转化为对任意的都成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数是定义域为的奇函数，
可得，即，解得，
此时函数，经检验是奇函数，所以.
（2）由（1）知函数，
因为，即，可得，
任意，且，
则
因为，且在上单调增函数，所以
又因为，所以，即，
所以是上单调增函数.
（3）由，可得，
因为函数为上奇函数，所以，
又因为是上单调增函数，所以，
即对任意的都成立，
只需
设函数，可得对称轴，
所以，所以，
因为存在，使得，只需，所以，
即实数的取值范围．
22．已知．
(1)若，求的单调区间；
(2)若且，解关于x的不等式．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）先求函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可；
（2）先求的解析式，再由利用对数函数的单调性得，再对分类讨论求解即可
【详解】（1）由已知得，，
∴，解得，
∴，
由得，，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由得，又且，，
，
因为，所以，
所以，即，
①当时，，
又因为，所以．
②当时，，
又因为，所以．
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．