江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，四象限，排除BC；等内容，欢迎下载使用。

命题人：沈丽英 审核人：浦春玲
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例可判断A，B，根据不等式的性质或作差法可判断C，D.
【详解】当，时，，显然不成立，故AB错误；
因为，所以，即成立，故C正确；
因为，，，
所以，即，故D错误；
故选：C.
2. 已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）．
A. 4B. 3C. 16D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合，根据集合中的元素个数即可求解.
【详解】因为，
有4个元素，
则集合A的真子集个数为，
故选：D.更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 当有意义时，化简的结果是（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可.
【详解】因有意义，所以，则，
则
，
故选：C.
4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及单调性一一判定即可.
【详解】对于A，易知，即不是偶函数，排除；
对于B，易知，且由二次函数的性质可知其在上单调递增，故B正确；
对于C，易知，即不是偶函数，排除；
对于D，易知，即不是偶函数，排除.
故选：B
5. 二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.
【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为，
当时，；
因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC；
因为，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故排除D，
故选：A
6. 已知函数恒过定点，则函数不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质求出，，得出的解析式，从而得出结论．
【详解】恒过定点，
，
，
为减函数，且过点，
的函数图象不经过第三象限．
故选：．
7. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论和时的情况即可求解.
【详解】解分式不等式可得，，
，
时，，满足，
时，，
，得，解得；
综上，实数的取值范围为或
故选：C
8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，即.
当时，，
当时，，，
所以.
因为，
所以或，
解得，，，，
所以.
故选：A
二．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】AC
【解析】
【分析】解出不等式，再逐项判断可得答案.
【详解】对于A，是或的一个充分不必要条件，故A正确；
对于B，既不是或的充分条件也不是必要条件，故B错误；
对于C，或是或的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D，既不是或的充分条件也不是必要条件，故D错误.
故选：AC.
10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 最小值为1B. 的最小值为
C. 的最大值为2D. 的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式结合1的妙用，逐项判断即可.
【详解】因为为正实数，，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，则A错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，则B正确；
因为，
当且仅当时，等号成立，所以，
的最大值为2，故C正确；
因为，
由A项知，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为2，故D错误，
故选：BC.
11. 若函数（，且）的图像不经过第二象限，则需同时满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据指数型函数的图像分布，列式可解得.
【详解】因为函数 (,且)的图像不经过第二象限，即可知图像过第 一、三、四象限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示：
由图像可知函数为增函数，所以，
当时，，
故选：AD.
【点睛】本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题.
12. 下列说法不正确的是（ ）
A. 命题“，都有”否定是“，使得”
B. 集合，若，则实数a的取值集合为
C. 方程有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是
D. 若存在使等式上能成立，则实数m的取值范围．
【答案】ABD
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式解的存在性问题对选项逐一判断.
【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误，
对于B，当时，满足题意，故B错误，
对于C，令，由题意得，即，所以，故C正确，
对于D，令，二次函数开口向上，对称轴为，
因为，所以时，y有最小值，则，
解得，故D错误，
故选：ABD
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分）
13. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有意义的条件列出不等式组，求解即可.
【详解】因为函数，
所以，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知幂函数在上单调递减，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由幂函数定义即可得解.
【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得满足题意.
故答案为：.
15. 若，则函数的值域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法求解，令（），则，然后利用二次函数的性质可求得结果
【详解】解：令（），则，
所以，
因为抛物线开口向下，，
所以当时，取得最在值，
所以函数的值域为，
故答案为：
16. 已知，若函数的图象关于直线对称，且对于任意正数都有成立，则________，实数的最小值是________.
【答案】 ①. 23； ②. ##.
【解析】
【分析】由，可得，或，或，
再由的图象关于直线对称，可得，，则可得，是的两个根，从而可求出，则可得，将不等式转化为，然后求出的最大值即可.
【详解】由，可得，或，或，
因为的图象关于直线对称，
所以，，
所以和是方程的两个根，
所以，得，
所以，
所以不等式可化为，
所以，
令，则其对称轴为，
所以当时，取得最大值，其最大值，
所以，所以实数的最小值是.
故答案为：23；.
四．解答题：（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，求下列集合：
（1）;
（2）．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）直接由交集的概念即可得解.
（2）直接由补集、并集的概念即可得解.
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为，
所以或，或，
从而或.
18. （1）计算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
【答案】（1）-1；
（2）①，②.
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可；
（2）①：由求解；
②：由，结合隐含的条件即可求解.
【详解】（1）原式=；
（2）①：，所以；
②：，由题意知，所以.
19. 已知命题实数x满足，命题q：实数x满足．
（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围
（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题为假命题，可得，解不等式即可得出答案；
（2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由命题是命题的必要不充分条件，可得是的真子集，列出不等式组即可得出答案.
【小问1详解】
命题为假命题，
则，解得，
所以实数x的取值范围为；
【小问2详解】
由题意，命题或，
设其对应的集合为，则或，
命题或，
设其对应的集合为，则或，
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以（不同时取等号），解得，
所以实数的取值范围为.
20. 已知关于的不等式对于恒成立．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，，分别求出参数的取值范围，即可得解；
（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
当时，不等式恒成立，
当时，若不等式对于恒成立，
则，解得，
综上，的取值范围为．
【小问2详解】
，且，
，又，
①当，即时，则；
②当，即时，，不等式无解；
③当，即时，则，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为．
21. 金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，（万元）；当年产量不少于45台时，（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分和求解即可；
（2）结合（1），根据二次函数的性质和基本不等式求解最值即可.
【小问1详解】
解：当时，
，
当时，
，
综上所得，
【小问2详解】
解：当时，
，
当时，，
当时，
当且仅当时，即时，上式取等号，即.
综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）
22. 已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求的值域；
（3）证明在上为减函数并解不等式．
【答案】（1）1 （2）
（3）证明见解析，不等式的解集为
【解析】
【分析】（1）直接由奇函数的定义求解即可.
（2）直接由指数函数、复合函数的值域求解即可.
（3）先由单调性的定义证明在上为减函数，然后利用函数奇偶性、单调性解不等式即可.
【小问1详解】
一方面由题意，解得，
另一方面当时，的定义域为R关于原点对称，
且，即此时是奇函数，
综上所述：实数a的值为1.
【小问2详解】
由（1）可知，
因为的值域为，所以的值域为，
所以的值域为，的值域为.
【小问3详解】
，不妨设，则
，
因为，所以，
从而，即，
所以在上为减函数，
由题意，
所以当且仅当，解得.
即不等式的解集为.