2023-2024学年四川省达州市达川区达川第四中学九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省达州市达川区达川第四中学九年级上册12月月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题4分，共32分）
1．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米B．米C．21米D．42米
2．如图是由五个完全一样的正方体搭建而成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）
A．B．C．D．
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
5．山西老陈醋是中国四大名醋之一，已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某工厂2020年老陈醋的产量为5万吨，随着引进新技术，在2022年的产量预计能达到万吨，设年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（ ）
A．1.25米B．5米C．6米D．4米
8．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿所在直线翻折得到，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）

A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题4分，共28分）
9．两个相似三角形的周长之比为，那么它们的相似比为 ．
10．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ．
11．如图，点G是正方边AB上一点，以为边作正方形，延长交于点H，当矩形与正方形面积相等时，则 ．

12．将号码分别为1，2，…，9的9个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使等式成立的事件发生的概率等于 ．
13．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，，则AC长是 ．
14．二次函数的图像的顶点坐标是 ．
15．如图，平行四边形ABCD中，BD=2AD，AC与BD相交于点O，E为OA中点，F为OB中点，M为DC中点；①DE⊥AO；②FM⊥AC；③∠BAC=∠ACF；④四边形EFCM为正方形．其中正确的有 （填序号）
三、解答题（90分）
16．计算：
(1)
(2)解方程：．
(3)先化简，再求值：，其．
17．按下列要求在如图格点中作图：
（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．
18．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)在右图中画出二次函数C的图象；
(3)当时，利用图象直接写出y的取值范围；
(4)当时，利用图象直接写出x的取值范围．
19．“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有_____人；
(2)请补全条形统计图；
(3)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
20．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变（用图（2）解答）
①求树与地面成45°角时的影长；②求树的最大影长．
21．安阳文峰塔，原名天宁寺塔，迄今已有一千多年．此塔形制特殊，上大下小，呈全状，在我国古塔中极为少见．某数学小组测量文峰塔的高度，如图，他们选取的测量点与塔的底部在同一水平线上．已知塔顶为高10米的塔刹，在处测得塔顶的仰角为，塔尖底部的仰角为，求塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
22．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.

（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.
23．在中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且．若，，求AН的长．
24．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是x轴上一点，连接PA，PB，若，求点P的坐标；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
25．实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元.
求甲、乙两种智能设备单价；
垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？
参考答案与解析
1．A
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
2．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．B
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
平移后的抛物线的解析式为：，即．
故选：B．
4．B
【分析】根据数轴可知，，计算一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：观察数轴可知：，，
∵在一元二次方程中，，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，数轴，根据数轴判断，是解题的关键．
5．B
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】解：∵2020年老陈醋的产量为5万吨，随着引进新技术，在2022年的产量预计能达到万吨，设年平均增长率为x，
∴可列方程为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
6．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用x表示出y，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴y＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，用x表示出y是解题的关键．
7．B
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．
【详解】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 ，即，
解得AM=5m．
则小明的影子AM的长为5米．
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
8．C
【分析】根据沿对折至，得到，可判定；设，则
，根据勾股定理，得到，，得到；根据，，得到即，可判定；计算，由折叠和三角形全等，可判定，利用直角三角形的性质计算即可．
【详解】∵沿对折至，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴①正确；

∵，，
∴，
设，则，根据勾股定理，得到，，得到，
∴②正确；
∵，，∴即，
∴；
∴③正确；
∵，
∴，
∵FG：EF=6：4=3：2，
∴
∴④正确；
由折叠和三角形全等，
∴，
∴
∴⑤错误．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定和性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
9．##
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比为，
∴它们的相似比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
10．-2
【详解】把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，
∴3m+n=﹣1，
∴6m+2n=2（3m+n）=2×（-1）=﹣2，
故答案为：-2
【点睛】考点：整体思想求代数式的值.
11．
【分析】，，根据矩形与正方形面积相等列出方程，然后解一元二次方程即可．
【详解】设，，
∵矩形与正方形面积相等，
∴，
∴
∴，
∴解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正方形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．
【分析】试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有种结果，满足条件的事件是使等式成立的，列举出当，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．
【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有种结果，
满足条件的事件是使等式成立的，
当时，，（舍去）
当时，，（舍去）
当时，，（舍去）
当时，，（舍去）
当时，，（舍去）
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴共有4种结果
∴所求的概率是，
故答案为．
【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．注意a、b的取值范围．
13．##
【分析】根据黄金比值是计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC=AB=×2=-1，
则AC=2-(-1)=3-，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为0.618”．
14．
【详解】可以利用二次函数的顶点坐标公式代入求出顶点坐标．也可以用配方法求出顶点坐标：，∴抛物线的顶点坐标是．故答案为．
【易错点分析】用二次函数一般式中各项系数表示的顶点坐标公式记忆容易混淆，尤其是顶点纵坐标的分子与一元二次方程根的判别式混淆，而导致错误．将二次函数一般式用配方法写成顶点式时，其顶点坐标为，而不是，或是对配方法应用不熟练而出现的计算失误导致出错．
15．①②③
【分析】利用等腰三角形的三线合一，可判断①正确；利用平行四边形的判定和性质，可判断四边形EFMD，四边形EFCM都平行四边形，得到EDFM，得证 FM⊥AC，可以判断②正确，从而判定四边形EFCM是菱形，得证EF=FC，利用三角形中位线定理，得证∠BAC=∠FEC=∠ACF，从而判定③正确，④错误．
【详解】因为平行四边形ABCD中，BD=2AD，AC与BD相交于点O，E为OA中点，F为OB中点，M为DC中点，
所以AE=EO，AD=OD=OB=BC，OF=FB，DM=CM，AB=CD，AB∥CD，
所以DE⊥AO，EFABCD，EF=，
所以四边形EFMD，四边形EFCM都平行四边形，∠BAC=∠FEC；
所以DEFM，
所以FM⊥AC，
所以四边形EFCM是菱形，
所以EF=FC，
所以∠ACF=∠FEC；
所以∠BAC=∠ACF；
所以正确的有①②③，错误的是④．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握菱形的判定，三角形中位线定理是解题的关键．
16．(1)1
(2)，
(3)，
【分析】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，二次根式混合运算的法则及一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）根据绝对值的性质、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数次幂的意义进行计算即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）根据分式的混合运算法则把原式化简，，得，代入计算得到答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2），
，
，，
，；
（3）
，
由，得，
原式．
17．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）直接利用关于原点对称图形的性质即可画出对应图形；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出对应图形．
【详解】解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求；
（2）如图所示：△BA″C″，即为所求．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了把抛物线解析式化为顶点式，画抛物线函数图象，抛物线与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）利用配方法把抛物线解析式化为顶点式即可；
（2）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；
（3）（4）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图所示，即为所求；
列表如下：
（3）解：由函数图象可知，当，；
（4）解：由函数图象可知，当时，．
19．(1)60
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用组的频数除以它的频率得到调查的总人数；
（2）先计算出组的频数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出选出的2人恰好一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：，
所以接受问卷调查的学生共有60人；
故答案为60；
（2）“”组的人数为：（人，
补全条形图如图所示：
（3）画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
（选中一男一女）．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
20．（1）树高约为6.8米；（2）①树与地面成45°角时的影长约为13.5米；②树的最大影长约为14米.
【分析】（1）在直角△ABC中，已知∠ACB＝30°，AC＝12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）①在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1＝45°，∠B1C1A＝30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长．即可求解；
②当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．
【详解】（1）AB＝ACtan30°＝（米）．
答：树高约为6.8米．
（2）作B1N⊥AC1于N．
①如图（2），B1N＝AN＝AB1sin45°＝4（米）．
NC1＝NB1tan60°＝2米）．
AC1＝AN+NC1＝5+8.5＝13.5（米）．
答：树与地面成45°角时的影长约为13.5米．
②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC2＝2AB2≈14．
答：树的最大影长约为14米．
【点睛】一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的问题．
21．塔的高度约为38.8米
【分析】在中，表示出，在中，表示出，设，则，得到，解方程即可得到的长度，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴
设，则，
，即，
解得：，
∴，
答：塔的高度约为38.8米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题意得到是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）CD=
【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；
（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠1=∠2+∠3=90° ，
∵CF⊥CE，
∴∠4+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点，
∴BF=AB，
∴设CD=BF=x，
∵△CDE∽△CBF，
∴，
∴ ，
∵x>0，
∴x=，
即：CD=.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据中点和平行证明，结合平行四边形的性质可证；
（2）根据角平分线和平行得出，再根据，列比例式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，，
∴，
∵E为DC中点，
∴
在和中
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形和相似三角形的判定定理进行推理证明．
24．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A与B关于原点对称，B点横坐标与纵坐标分别与A点横坐标与纵坐标互为相反数；
（2）点P是x轴上一点，设，可根据，列出关于m的方程求解；
（3）根据图象分析，不等式的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得即，
∴，即，
∴
∵正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点
∴A与B关于原点对称，即
（2）解：点P是x轴上一点，设，
∵，
∴，
解得，
∴或
（3）解：由函数图象分析可知，不等式的解集为：或．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的三角形的面积，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，综合性较强．
25．（1）甲设备万元每台，乙设备万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为元.
【分析】（1）设甲单价为万元，则乙单价为万元，再根据购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可；
（2）先求出每吨燃料棒成本为元，然后根据题意列出一元二次方程解答即可.
【详解】解：设甲单价为万元，则乙单价为万元，则:
解得
经检验，是所列方程的根.
答：甲设备万元每台，乙设备万元每台.
设每吨燃料棒成本为元，则其物资成本为，则:
，解得
设每吨燃料棒在元基础上降价元，则
解得
.
每吨燃料棒售价应为元.
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键在于弄懂题意、找到等量关系、并正确列出方程.
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
0
3
…