四川省达州市高级中学培文学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份四川省达州市高级中学培文学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题．（本大题共10个小题，每题只有一个正确的选项，每小题4分，满分40分）
1. 菱形具有而矩形不一定具有性质是 ( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补
【答案】A
【解析】
【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分，
则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选A．
2. 一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为左边是一个圆，右边是一个正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先移项，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是能正确用配方法解方程．
4. 一个不透明的袋子中有黄色和若干个白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同，已知黄球有9个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计袋子中白球的个数是
A. 15B. 18C. 20D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可．
【详解】解：∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，
∴根据题意任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：，
设袋中白色乒乓球的个数为a个，
则．
解得：，经检验符合题意，
白色乒乓球的个数为：21个．
故选D．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键．
5. 已知点A（a，2）与点B（b，3）都在反比例函数y＝的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A. a＜bB. a＞bC. a＝bD. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】将点坐标带入反比例函数中求解即可得到结果.
【详解】解：∵点A（a，2）与点B（b，3）都在反比例函数的图象上，
∴，，
解得，a＝﹣3，b＝﹣2，∵，
∴
故选A．
【点睛】此题重点考查学生对反比例函数的理解，掌握反比例函数的性质是解题的关键.
6. 如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴ ,故不正确；
B. ∵，
∴ ,故不正确；
C. ∵，
∴∽，∽,
， ．
，故正确；
D. ∵，
∴ ,故不正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
7. 已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k＜﹣2B. k＜2C. k＞2D. k＜2且k≠1
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程的二次项系数不为零、根的判别式的值大于零，从而列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的取值范围．
【详解】根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，能够准确得到关于的不等式组是解决问题的关键．
8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，
②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．
一次函数：
①当，时，一次函数经过一、二、三象限；
②当，时，一次函数经过一、三、四象限；
③当，时，一次函数经过一、二、四象限；
④当，时，一次函数经过二、三、四象限；
反比例函数的（k≠0），
①当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限；
②当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由AE为角平分线，得到∠DAE=∠BAE，由ABCD为平行四边形，得到DC//AB，推出AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF（AAS），得出AF=EF，即可求出AE的长．
【详解】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，DG=1，
∴AG==，
∵DG⊥AE，
∴AF=2AG=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故选：B．
10. 如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③．
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【详解】分析：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2．
∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°．∴AB=AF=AD．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AG=AG，B=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即，解得，．∴．
∴BG=CG=，即点G是BC中点，故①正确．
∵，∴∠AGB≠60°．∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°．
又∵BG=CG=FG，∴△CGF不等边三角形．∴FG≠FC，故②错误．
△CGE的面积=CG•CE=××2=，
∵EF：FG=1：=2：3，∴，故③正确．
综上所述，正确的结论有①③．故选B．
二、填空题．（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）
11. 不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是_____．
【答案】
【解析】
【详解】∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：.
考点：概率公式.
12. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，EF分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先得出△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】∵AD∥BC∥EF，
∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，
∵EM：BC=2：5，
∴，
设AM=2x，则AC=5x，故MC=3x，
∴，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
13. 如图，一路灯B距地面高BA＝7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD＝6m，DG＝4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变长了_____m．
【答案】1．
【解析】
【分析】根据由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，即、，据此求得DE、HG的值，从而得出答案．
【详解】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，
∴、，即、，
解得：DE＝1.5、HG＝2.5，
∵HG﹣DE＝2.5﹣1.5＝1，
∴影长变长1m．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
14. 对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程．先因式分解法求出方程根，再根据定义新运算进行求解即可．掌握新运算的法则，是解题的关键．
【详解】解：解，得：或，
当时，；
当时，；
综上：；
故答案为：．
15. 如图所示，点、、在x轴上，且，分别过点、、作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点、、，分别过点作x轴的平行线，分别与y轴交于点、、，连接、、，那么图中阴影部分的面积之和为______．
【答案】．
【解析】
【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．
【详解】解：根据题意可知，
，轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为，，
则，
，
：：4，：：9，
图中阴影部分的面积分别是，，，
图中阴影部分的面积之和．
故答案为．
【点睛】此题综合考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的．
三、解答题．（本大题共7个小题，满分72分）
16. 解方程
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
（1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，，
【小问2详解】
，．
17. 已知
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求A的值．
【答案】（1）ab；（2）A＝﹣2
【解析】
【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可；
（2）把P点代入解析式，求得ab＝﹣2，即可求得A＝﹣2．
【详解】解：（1）
＝ab，
（2）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，
∴ab＝﹣2，
∴A＝﹣2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
18. 如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．
【答案】1200cm2
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算AC，然后根据平行四边形的面积求解.
【详解】解 如图，AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC，
在Rt△ABC中，AC＝＝40 cm，
所以该平行四边形的面积＝30×40＝1 200(cm2)．
【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求直角三角形边长和求平行四边形面积，熟练掌握方法即可求解.
19. 同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）156．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AF＝CE即可．
（2）在RT△ABE中利用勾股定理求出BE、AE，再根据S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC求出面积即可．
详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠FAC＝∠FCA，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，
在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，
∴a2＝122+（18﹣a）2，
∴a＝13，
∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，
∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键，学会转化的思想，把问题转化为方程解决属于中考常考题型．
20. 庆祝改革开放40周年暨我爱我家•美丽青羊群众文艺展演圆满落幕，某学习小组对文艺展演中的A舞蹈《不忘初心》，B独舞《梨园一生》，C舞蹈《炫动的玫瑰》，D朝鲜组歌舞《阿里郎+atep》这四个节目开展“我最喜爱的舞蹈节目”调查，随机调查了部分观众（每位观众必选且只能选这四个节目中的一个）并将得到的信息
绘制了下面两幅不完整的统计图：

（1）本次一共调查了多少名观众；并将条形统计图补充完整；
（2）学习小组准备从4个节目中随机选取两个节目的录像带回学校给同学们观看，请用树状图或者列表的方法求恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的概率．
【答案】（1）本次调查的总人数为50人，补全条形图见解析；（2）恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的概率为．
【解析】
【分析】（1）先求B节目的人数，再补全条形统计图（2）先列出A舞蹈和C舞蹈被选中的情况，然后再根据概率的计算方法计算即可.
【详解】解：（1）本次调查的总人数为15÷30%＝50（人），
则B节目的人数为50﹣（16+15+7）＝12（人），
补全条形图如下：

（2）如图所示：

一共有12种可能，恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的有2种，
故恰好选中A舞蹈《不忘初心》和C舞蹈《炫动的玫瑰》的概率为．
【点睛】此题重点考查学生对概率的应用，掌握概率的计算方法是解题的关键.
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5）、B（﹣2，0）、C（﹣4，3）．
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1：
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴的左侧画出△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，．
【解析】
【分析】（1）利用关于y轴的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以得到A2、B2、C2的坐标，再描点得到△A2B2C2，然后计算△ABC的面积，再把△ABC的面积乘以得到△A2B2C2的面积．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，
△ABC的面积＝3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝，
所以△A2B2C2的面积＝×＝
【点睛】本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22. 某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．
降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？
经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？
在的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．
【答案】（1）4800元；（2）降价60元；（3）应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．
【解析】
【分析】根据总利润=单个利润×数量列出算式，计算即可求出值；
设每个学习机应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：由题意得：元，
则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元；
设每个学习机应降价x元，
由题意得：，
解得：或，
由题意尽可能让利于顾客，舍去，即，
则每个学习机应降价60元；
设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，
根据题意得：，
方程整理得：，
解得：，
则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量.
23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在轴，轴的正半轴上．函数的图象与CB交于点D，函数（为常数，）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．
（1）求函数的表达式，并直接写出E、F两点的坐标．
（2）求△AEF的面积．
【答案】（1），E（2，1），F（-1，-2）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先得到点D的坐标，再求出k的值即可确定反比例函数解析式；
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．由E、F两点的坐标，得到AE=1，FG=2-（-1）=3，从而得到△AEF的面积．
【详解】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y=2，
将y=2代入y=2x，得到x=1，
∴点D的坐标为（1，2）．
∵函数的图象经过点D，∴，∴k=2，
∴函数的表达式为．
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．
根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称
∴点F的坐标分别为（-1，-2），
把x=2代入得，y=1；
∴点E的坐标（2，1）；
∴AE=1，FG=2-（-1）=3，
∴△AEF的面积为：AE•FG=
.
24. 阅读下列材料：
材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，.
材料2：已知实数，满足，，且，求的值.
解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根
根据材料1，得，
∴，.
∴
根据上述材料，解答下列问题：
（1）若一元二次方程的两个根分别为，，则___________，___________；
（2）已知实数，满足，，且，求的值；
（3）已知实数，分别满足，，且，求的值.
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【小问1详解】
，；
故答案为；；
【小问2详解】
，，且，
、可看作方程，
，，
；
【小问3详解】
把变形为，
∴实数和可看作方程的两根，，
∴，，
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
25. （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108.
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；
（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.
【详解】（1）如图1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF矩形，且AB＝BC＝12，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF＝12，
由（2）可得DE＝DF＋BE，
∴DE＝4＋DF，
在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，
∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2，
∴DF＝6，
∴AD＝6，
∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线．