云南省昆明市官渡区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

这是一份云南省昆明市官渡区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．要使分式 xx−1 有意义，则x的取值范围为 ．
2．云南的高黎贡山以其独特的地理地貌和丰富的动植物资源著称于世．在高黎贡山生长着中国特有树种——毛杉，它的种子十分细小，重量很轻，一粒种子仅有0.0015克．用科学记数法表示这个种子的质量为 克．
3．计算 (2a2)3⋅a−4= ．
4．将一副三角板如图放置，使两条直角边在一条直线上，其中 ∠A=60° ， ∠B=45° ．则 ∠1 的度数是 °．
5．如图，已知五边形 ABCDE 是正五边形，则 ∠CAD 的度数是 °．
6．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且 △ABC 为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
二、单选题（共8小题，每小题4分，满分32分）
7．2020年初，新冠病毒引发疫情．一方有难，八方支援．危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院的图案标志，其中轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知点 A(m，2020) 与点 B(2021，n) 关于x轴对称，则 m+n 的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
9．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若把分式 2xx+y 中的 x 和 y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的 13D．不变
11．如图，在 ΔABC 中， AC=5 ，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，ΔBCD 的周长是 9 ，则 BC 的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．关于x的方程 k3x−6=xx−2 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k>0B．k<0
C．k>0 且 k≠6D．k<0 且 k≠−6
13．为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产130000个口罩，但是在实际生产时，……，求实际每天生产口罩的个数，在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程 130000x−500−130000x=10 ，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成
B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成
D．每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成
14．如图，等腰直角 △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD⊥BC 于点D， ∠ABC 的平分线分别交 AC 、 AD 于E、F两点，M为 EF 的中点，延长 AM 交 BC 于点N，连接 NE ．下列结论：①AE=AF ；②AM⊥EF ；③DF=DN ；④AD//NE ．正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
三、解答题（共9小题，满分70分）
15．计算：
（1）(2x+3y)(2x−3y) ．
（2）(x+1)2−x(x+2) ．
16．分解因式：
（1）16x2−1 ．
（2）x3−8x2+16x ．
17．解方程： xx−5−3x+5=1 ．
18．如图：已知 AD=BE ， BC=EF 且 BC//EF ，求证： △ABC≌△DEF ．
19．先化简，再求值： (a+2a2−2a−1a−2)÷aa2−4a+4 ，其中 a=(π−1)0+2 ．
20．如图，在直角坐标系中， A(−1，5) ， B(−3，0) ， C(−4，3) ．
⑴在图中作出 △ABC 关于y轴对称的图形 △A1B1C1 ，并写出点 B1 的坐标．
⑵在y轴上找一点P，使 PA+PB 最小（不要求写做法，请保留作图痕迹）．
21．2020年底建成通车的保泸高速公路是进入云南省怒江州的第一条高速公路，它对完善云南高速公路网、巩固怒江州脱贫攻坚成果、带动滇西区域经济发展具有重大意义．保泸高速公路全长约85公里，比目前普通公路缩短了65公里，通行时间也比原来缩短了2个小时，若高速公路通行的平均速度是普通公路通行的平均速度的1.7倍，求保泸高速公路通车后的通行平均速度是多少？
22．已知 △ABC 的周长为 37cm ， AD 是 BC 边上的中线， AC=23AB ．
（1）如图，当AB=15cm 时，求 BD 的长．
（2）若 AC=14cm ，能否求出 DC 的长？为什么？
23．在 △ABC 中， ∠ABC 与 ∠ACB 的平分线相交于点P．
（1）如图①，如果 ∠A=80° ，求 ∠BPC 的度数；
（2）如图②，作 △ABC 外角 ∠MBC ， ∠NCB 的角平分线，且交于点Q，试探索 ∠Q ， ∠A 之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段 BP ， QC 交于点E若 △BQE 中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求 ∠A 的度数．
答案解析部分
1．【答案】x≠1
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使分式有意义，即分式分母不能为0，
∴x−1≠0 ，
解得： x≠1 ，
故答案为： x≠1 ．
【分析】利用分式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．【答案】1.5×10−3
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：0.0015= 1.5×10−3 ，
故答案为： 1.5×10−3
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】8a2
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： (2a2)3⋅a−4=8a6⋅a−4=8a6−4=8a2 ．
故答案为： 8a2 ．
【分析】利用积的乘方、幂的乘方化简，再利用同底数幂的乘法求解即可。
4．【答案】75
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：添加字母如图，
∵△ACE为含30°的直角三角板，
∴∠E=30°，
又∵△BDF为含45°的直角三角板，
∴∠BDF=45°，
∴∠1=∠BDF+∠E=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
【分析】利用三角形的外角可以得到∠1=∠BDF+∠E求解即可。
5．【答案】36
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCDE是正五边形，
∴每个内角是 (5−2)×180°5= 108°，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=36°，
在△AED中，AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=36°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°．
故答案为：36．
【分析】根据正五边形的性质求出∠B=∠BAE=∠E=108°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠BAC=∠EAD=36°，最后利用角的运算相减即可。
6．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：分情况讨论：
当以AB为底边时，如图，符合条件的点C有4个；
当以AB为腰时，如图，符合条件的点C有4个，
综上所述，正确的店C共有8个，
故答案为：8．
【分析】分情况讨论：当以AB为底边时，当以AB为腰时，再结合图形利用等腰三角形的性质求解即可。
7．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A． 是轴对称图形，故此选项符合题意；
B． 不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C． 不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D． 不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
8．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（m，2020）与点B（2021，n）关于x轴对称，
∴m=2021，n=-2020，
∴m+n=1，
故答案为：C．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】根据三角形高的定义，选项C符合要求，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的高的定义：过三角形一个顶点，作对边的垂线，垂线段为三角形的高，结合图形判断即可．
10．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵2×3x3x+3y=2×3x3(x+y)=2xyx+y ，
∴把分式 2xx+y 中的 x 和 y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判定即可。
11．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长是9cm，
∴BD＋DC＋BC＝9（cm），
∴AD＋DC＋BC＝9（cm），
∵AD＋DC＝AC，
∴AC＋BC＝9（cm），
又∵AC＝5cm，
∴BC＝9−5＝4（cm）.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，根据三角形的周长为9得出BD+DC+BC＝9，从而得出AC+BC＝9，即可求出BC的长.
12．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边都乘以（3x﹣6），得
k＝3x
∴x=k3
因为解为正数，
所以 k3>0 ，且 k3≠2
解得，k＞0且k≠6．
故答案为：C．
【分析】利用分式方程的解法求出方程的解，再根据题目要求列出不等式求解即可。
13．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：A选项的条件可以列式 130000x−130000x−500=10 ；
B选项的条件可以列式 130000x+500−130000x=10 ；
C选项的条件可以列式 130000x−130000x+500=10 ；
D选项的条件可以列式 130000x−500−130000x=10 ．
故答案为：D．
【分析】根据每个选项的条件列出分式方程，和题目中的比较，找出一样的选项．
14．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE= 12 ∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①符合题意；
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②符合题意；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
∠FBD＝∠DANBD＝AD∠BDF＝∠ADN ，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF=DN，故③符合题意；
∵∠BAM=∠BNM=67.5°，
∴BA=BN，
∵∠EBA=∠EBN，BE=BE，
∴△EBA≌△EBN（SAS），
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴∠ENC=∠ADC=90°，
∴AD∥EN．故④符合题意，
综上，正确的结论有：①②③④
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12 ∠ABC=22.5°，进而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M为EF的中点且AE=AF可判断②，作FH⊥AB，证得△FBD≌△NAD（ASA），可判断③，证明△EBA≌△EBN（SAS），推出∠BNE=∠BAE=90°，即可判断④。
15．【答案】（1）解： (2x+3y)(2x−3y) ．
=(2x)2−(3y)2
=4x2−9y2
（2）解： (x+1)2−x(x+2) ．
=x2+2x+1−(x2+2x)
=x2+2x+1−x2−2x
=1
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用平方差公式展开即可；
(2)利用完全平方公式和单项式乘多项式的计算法则展开再合并同类项即可。
16．【答案】（1）解： 16x2−1 ．
=(4x)2−12
=(4x+1)(4x−1)
（2）解： x3−8x2+16x ．
=x(x2−8x+16)
=x(x−4)2
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可。
17．【答案】解：得方程两边同乘 (x+5)(x−5)
x(x+5)−3(x−5)=x2−25
x2+5x−3x+15=x2−25
2x=−40
检验：当 x=−20 时， (x+5)(x−5)≠0 ，
所以，原分式方程的解为 x=−20 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求解最后检验即可。
18．【答案】证明：∵AD=BE
∴AD+BD=BE+BD
∴AB=DE
又∵BC//EF
∴∠ABC=∠DEF
在 △ABC 和 △DEF 中
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF
∴△ABC≌△DEF （SAS）
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用线段的和差可以得到AB=DE，利用平行线的性质可以得到∠ABC=∠DEF，再利用“SAS”证明全等即可。
19．【答案】解：原式 =[a+2a(a−2)−1a−2]÷a(a−2)2 ，
=[a+2a(a−2)−aa(a−2)]×(a−2)2a ，
=2a(a−2)×(a−2)2a ，
=2(a−2)a2 ，
=2a−4a2 ，
∵a=(π−1)0+2 ，
=1+2 ，
=3 ，
∴当 a=3 时，原式 =2×3−432=29
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
20．【答案】解：（1）A(-1，5)，B(-3，0)，C(-4，3)，
关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，
点A1、B1、C1的坐标为A1(1，5)，B1(3，0)，C1(4，3)，
描出A1，B1，C1，顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，
由题意可知 △A1B1C1 即为所求，
B1(3，0) ；
（2）由题意作图如下，
连结BA1交y轴于点P，
A、A1关于y轴对称，AP=A1P，
由两点距离知BA1≤BP+A1P=BP+AP，
点P即为所求使得 PA+PB 最小．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先找出点A、B、C关于y轴对称的对应点，再连线，并直接写出点B1的坐标；
（2）直接连接A1B交y轴于点P。
21．【答案】解：设普通公路平均速度为每小时x公里，则保泸高速公路通车后的通行平均速度是每小时 1.7x 公里．
85+65x−851.7x=2 ，
x=50 ，
经检验： x=50 是原方程的解且符合实际．
保泸高速公路通车后的通行平均速度： 1.7×50=85 （公里/小时）．
答：保泸高速公路通车后的通行平均速度每小时85公里．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设普通公路平均速度为每小时x公里，则保泸高速公路通车后的通行平均速度是每小时 1.7x 公里．根据“通行时间也比原来缩短了2个小时”列出分式方程求解即可。
22．【答案】（1）解：∵AC=23AB ， AB=15cm ，
∴AC=23×15=10cm ，
又∵△ABC 的周长为 37cm ，
∴AB+AC+BC=37 ，
∴BC=37−AB−AC=37−15−10=12(cm) ，
又∵AD 是 BC 边上的中线，
∴BD=12BC=12×12=6(cm) ；
（2）解：不能，理由如下：
∵AC=23AB ， AC=14cm ，
∴AB=32×14=21(cm) ，
又∵△ABC 的周长为 37cm ，
∴AB+AC+BC=37 ，
∴BC=37−AB−AC=37−21−14=2(cm) ，
∴BC+AC=16∴不能构成三角形，故不能求出DC的长．
【知识点】三角形三边关系；线段的计算
【解析】【分析】（1）根据三角形的周长为37cm，AC=23AB，及AB=15cm，先求出BC的长，再根据中线的性质求出BD即可；
（2）先利用AC=23AB及AC=14cm求出BC的长，再结合三角形的周长求出AB的长，判断能否构成三角形即可。
23．【答案】（1）解：∵∠A=80° ，
∴∠ABC+∠ACB=100° ，
又∵点P是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB=50° ，
∴∠P=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−50°=130° ；
（2）解：∵外角 ∠MBC ， ∠NCB 的角平分线交于点Q，
∴∠QBC=12∠MBC ， ∠QCB=12∠NCB ，
∵∠ABC+∠MBC=180° ， ∠ACB+∠NCB=180° ，
∴∠MBC=180°−∠ABC ， ∠NCB=180°−∠ACB ，
∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)
=12(360°−∠ABC−∠ACB)
=12[360°−(180°−∠A)]
=12(180°+∠A)
=90°+12∠A ，
∴∠Q=180°−(∠QBC+∠QCB)
=180°−(90°+12∠A)
=90°−12∠A ；
（3）解：延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E= 12 ∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
= 12 ∠ABC+ 12 ∠MBC
= 12 （∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB的度数，最后利用三角形的内角和求出∠P即可；
（2）根据角平分线的定义可以得到∠QBC=12∠MBC ， ∠QCB=12∠NCB ，再根据平角的定义可以得到∠MBC=180°−∠ABC ， ∠NCB=180°−∠ACB ， 最后利用角的运算及等量代换即可得到答案；
（3）参照（2）中的结论可以得到∠A与∠Q之间的关系，再利用角的运算分类讨论即可。