2020-2021学年云南省昆明市西山区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年云南省昆明市西山区八年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年云南省昆明市西山区八年级（上）期末数学试卷
一、填空题（每小题3分，满分18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.00000000034m，用科学记数法表示是　 　．
2．（3分）点A（a，b）与点B（3，﹣4）关于y轴对称，则a+b的值为　 　．
3．（3分）计算（20x3﹣8x2+12x）÷4x＝　 　．
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 　 　边形．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝　 　度．

6．（3分）数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：do、mi、so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称15，12，10为一组调和数，现有三个数：5，3，x（x＞3），若要组成调和数，则x的值为　 　．
二、选择题（每题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）

A．AB＝AC B．DB＝DC C．∠ADB＝∠ADC D．∠B＝∠C
9．（4分）下列运算，正确的是（　　）
A．a2•a＝a2 B．a+a＝a2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
10．（4分）已知三角形两边长分别为8、12，那么第三边的长可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（4分）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．13
12．（4分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
13．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（4分）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共9个小题，共70分）
15．（16分）（1）计算：﹣（﹣1）2020﹣（π﹣2）0；
（2）分解因式：3x3﹣12x；
（3）计算：（﹣a﹣1）2﹣（1+a）（a﹣1）；
（4）解方程：．
16．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4．
17．（6分）尺规作图：已知∠AOB和C，D两点，请在图中用尺规作图找出一点E，使得点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）

18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；
（2）在直线l上找出一点P，使得PB+PC的长最短，该最短长度为　 　．（保留画图痕迹并标上字母P．）

19．（6分）先化简代数式（1﹣）÷，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
20．（6分）已知如图AD为△ABC上的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：
（1）△ADC≌△BDF；
（2）BE⊥AC．

21．（8分）“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
22．（6分）如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）求证：AD+BC＝CD．

23．（7分）如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）DF＝　 　；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）．


2020-2021学年云南省昆明市西山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，满分18分。请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
1．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.00000000034m，用科学记数法表示是　3.4×10﹣10　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故答案为：3.4×10﹣10
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）点A（a，b）与点B（3，﹣4）关于y轴对称，则a+b的值为　﹣7　．
【分析】利用关于y轴的对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：∵点A（a，b）与点B（3，﹣4）关于y轴对称，
∴a＝﹣3，b＝﹣4
∴a+b＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3．（3分）计算（20x3﹣8x2+12x）÷4x＝　5x2﹣2x+3　．
【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝20x3÷4x﹣8x2÷4x+12x÷4x
＝5x2﹣2x+3，
故答案为：5x2﹣2x+3．
【点评】本题考查整式的运算，解题的的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 　12　边形．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是12边形．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝　18　度．

【分析】利用了三角形内角和等于180°计算即可知．
【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x．
根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A＝180°，
即2x+2x+x＝180°，
所以x＝36°，∠C＝2x＝72°．
在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣72°＝18°．
故填18°．
【点评】本题通过设适当的参数，利用三角形内角和定理建立方程求出∠C后，再利用在直角三角形中两个锐角互余求得∠DBC的值．
6．（3分）数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：do、mi、so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称15，12，10为一组调和数，现有三个数：5，3，x（x＞3），若要组成调和数，则x的值为　15或　．
【分析】根据题中的新定义分三种情况考虑，根据x的范围判断出满足题意x的值即可．
【解答】解：根据题中的新定义分两种种情况考虑：
（1）根据题意得：×2＝+，
去分母得：6x＝5x+15，
解得：x＝15＞3，经检验是分式方程的解且符合题意；
（2）根据题意得：×2＝+，
解得：x＝，
经检验是分式方程的解且符合题意，
则x的值为15或．
故答案为：15或
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
二、选择题（每题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
7．（4分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8．（4分）如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）

A．AB＝AC B．DB＝DC C．∠ADB＝∠ADC D．∠B＝∠C
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB＝AC与∠1＝∠2、AD＝AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；
B、当DB＝DC时，AD＝AD，∠1＝∠2，
此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；
C、∵∠ADB＝∠ADC，
∴，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；
D、∵∠B＝∠C，
∴，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．
9．（4分）下列运算，正确的是（　　）
A．a2•a＝a2 B．a+a＝a2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a2•a＝a3，故本选项错误；
B、应为a+a＝2a，故本选项错误；
C、应为a6÷a3＝a3，故本选项错误；
D、（a3）2＝a3×2＝a6，正确．
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂乘法法则，合并同类项法则，同底数幂除法法则，幂的乘方，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
10．（4分）已知三角形两边长分别为8、12，那么第三边的长可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设三角形的第三边长为x，利用三角形的三边关系可得不等式12﹣8＜x＜12+8，再解不等式即可．
【解答】解：设三角形的第三边长为x，由题意得：
12﹣8＜x＜12+8，
解得：4＜x＜20，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
11．（4分）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．13
【分析】根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，所以AD＝BD，进而可得△BDC的周长．
【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
12．（4分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．
13．（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际工作每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，
依题意得：．
故选：A．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
14．（4分）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠BPQ＝∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故①正确
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴BP＝2PQ．故③正确，
∵AC＝BC．AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE+BD＝AE+EC＝AC＝AB，故④正确，
无法判断BQ＝AQ，故②错误，
故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，共70分）
15．（16分）（1）计算：﹣（﹣1）2020﹣（π﹣2）0；
（2）分解因式：3x3﹣12x；
（3）计算：（﹣a﹣1）2﹣（1+a）（a﹣1）；
（4）解方程：．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可结果；
（4）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝9﹣1﹣1
＝7；
（2）原式＝3x（x2﹣4）
＝3x（x+2）（x﹣2）；
（3）原式＝a2+2a+1﹣a2+1
＝2a+2；
（4）去分母得：3（x+1）+x2﹣1＝x2，
整理得：3x＝﹣2，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，因式分解，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（5分）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4．
【分析】首先利用平方差、完全平方公式、单项式乘以多项式法则进行计算，再算加减，化简后，再代入x的值即可．
【解答】解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣4x2+2x
＝x2﹣2x，
当x＝4时，原式＝16﹣2×4＝16﹣8＝8．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
17．（6分）尺规作图：已知∠AOB和C，D两点，请在图中用尺规作图找出一点E，使得点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】根据点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等，所以作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两条线相交于点E即可．
【解答】解：如图，点E即为所求．

因为点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等，
所以作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线，
两条线相交于点E．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；
（2）在直线l上找出一点P，使得PB+PC的长最短，该最短长度为　5　．（保留画图痕迹并标上字母P．）

【分析】（1）根据图形的对称的性质找出点B，C的对称点即可，
（2）先找出点B的对称点B'连接CB'与直线l的交点为P，用勾股定理求的即可．
【解答】解：（1）如图1所示是所画图形，

（2）如图2所示，点P为所求作的点，

最短长度为＝5，
故答案为5．
【点评】此题是轴对称﹣﹣最短路线，主要考查了轴对称的性质，和画法，勾股定理，解本题的关键是找出点P的位置．
19．（6分）先化简代数式（1﹣）÷，再从﹣2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
【分析】首先对括号内的式子进行通分相减，把除法转化为乘法运算，然后计算分式的乘法即可求解．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝0时，原式＝＝2．
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
20．（6分）已知如图AD为△ABC上的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：
（1）△ADC≌△BDF；
（2）BE⊥AC．

【分析】（1）因为AD为△ABC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又因为BF＝AC，FD＝CD，则可根据HL判定△ADC≌△BDF；
（2）因为△ADC≌△BDF，则有∠EBC＝∠DAC，又因为∠DAC+∠ACD＝90°，所以∠EBC+∠ACD＝90°，则BE⊥AC．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
又∵BF＝AC，FD＝CD，
∴△ADC≌△BDF（HL）．

（2）∵△ADC≌△BDF，
∴∠EBC＝∠DAC．
又∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠EBC+∠ACD＝90°．
∴BE⊥AC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．发现并利用两个直角三角形全等是正确解决本题的关键．
21．（8分）“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
【分析】（1）设第一批玩具每套的进价是x元，则第一批进的件数是：，第二批进的件数是：，再根据等量关系：第二批进的件数＝第一批进的件数×1.5可得方程；
（2）设每套售价是y元，利润＝售价﹣进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批玩具每套的进价是x元，
×1.5＝，
x＝50，
经检验x＝50是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是50元；

（2）设每套售价是y元，
×1.5＝75（套）．
50y+75y﹣2500﹣4500≥（2500+4500）×25%，
y≥70，
答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是70元．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润做为不等辆关系列出不等式求解．
22．（6分）如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）求证：AD+BC＝CD．

【分析】（1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明；
（2）只要证明△DEA≌△DEM得AD＝DM，同理可证CB＝CM．即可得结论．
【解答】证明：（1）如图，作EM⊥CD垂足为M，

∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
（2）由（1）可知：AE＝EM＝EB，
在Rt△DEA和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL），
∴DA＝DM，
同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL），
∴CB＝CM，
∴CD＝DM+MC＝AD+BC．
【点评】本题考查等腰梯形的性质、角平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键．
23．（7分）如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．

【分析】（1）根据面积的计算方法，用含有a、b的代数式表示S1、S2即可；
（2）由图①和图②阴影部分的面积相等得出答案；
（3）配上因式（2﹣1）之后，连续利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）图①的阴影部分的面积为边长为a的正方形与边长为b的正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，
图②是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为：S2＝（a+b）（a﹣b），
所以S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）+1
＝232﹣1+1
＝232．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）DF＝　t　；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）．

【分析】（1）根据题意求出DC，根据含30°的直角三角形的性质用t表示出DF；
（2）根据平行线的性质得到∠AED＝∠FDE，利用SAS定理证明△AED≌△FDE；
（3）根据等边三角形的三边相等列式计算；
（4）分∠AED＝90°、∠ADE＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列方程，解方程得到答案．
【解答】（1）解：由题意得，DC＝2t，
在Rt△CFD中，∠C＝30°，
∴DF＝DC＝t，
故答案为：t；
（2）证明：∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴AB∥DF，
∴∠AED＝∠FDE，
由题意得，AE＝t，
∴AE＝DF，
在△AED和△FDE中，
，
∴△AED≌△FDE（SAS）；
（3）解：∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△AED也是等边三角形，
∴AE＝AD，
∴t＝8﹣2t，
解得，t＝；
（4）∵AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA也是直角三角形，
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即8﹣2t＝2t，
解得：t＝2；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（8﹣2t），
解得：t＝，
综上所述，当t＝2或时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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日期：2021/12/30 9:33:21；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971