2021年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷

这是一份2021年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选摔题，填空题，解窖题等内容，欢迎下载使用。

2021年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
一、选摔题（每小题4分，满分32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上；对应题目的答案标号的小框涂黑）
1．（4分）2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．（4分）数学无处不在，如图是一个螺栓的示意图，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．“任意画一个三角形，内角和为180°”为必然事件
C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．抛掷枚质地均匀的硬币，前两次都足正面朝上，则第3次一定正面朝上
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．3a3•2a2＝6a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．＝
5．（4分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C，如果∠1＝58°，那么∠2的度数为（　　）

A．32° B．42° C．58° D．122°
6．（4分）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（　　）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
7．（4分）学校研究性学习小组的同学测量旗轩的高度．如图，在教学楼一楼地面C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼地面D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知教学楼每层楼的高度约为3.3米，则旗杆AB的高度最接近（　　）

A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
8．（4分）莱洛三角形，也称作崭洛三角形或圆弧三角形，它的应用广泛，不仅用于建筑、商品的外包装设计，还用在工业方面．莱洛三角形形状的钻头可钻出正方形内孔，发动机的原件上也有莱洛三角形．如图1，分别以等边△ABC的顶点小A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做莱洛三角形，如图2，若AB＝3，则莱洛三角形的面积为（　　）

A．π﹣ B．π+ C．π﹣ D．π﹣
二、填空题（每小题3分，满分18分，请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
10．（3分）云南自贸试验区的实施范围涵盖了昆明、红河，德宏三个片区．其中昆明片区760000平方千米，占总量的63.41%．将760000这个数用科学记数法可表示为　 　．
11．（3分）将多项式因式分解x3﹣9x＝　 　．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形的内角和是　 　．
13．（3分）观察下列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，策2021个单项式是　 　．
14．（3分）我们知道，给出两边及其中一边的对角的三角形不一定是唯一的，例如△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，BC＝6，我们可以作∠A＝30°，截取AB＝8，以B为圆心，6为半径作弧，与射线AE交于点C1，C2，则△ABC1和△ABC2均为满足条件的三角形．已知，平行四边形ABCD中，AD＝15，BD＝13．AB边上的高为12，则平行四边形ABCD面积为　 　．

三、解窖题（共9小题。满分70分，请号生用黑色碳求笔在各题上相应的源号后各题区域内作答，必须写山运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效，特别注意：作图时，必须使用開色碗素管在答惠长上作图）
15．（5分）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60°．
16．（6分）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图，在小明设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD．∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．

17．（8分）近年来网约车给人们的出行带来了便利，初二的王冬和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机收月入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：干元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如表：

平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“美团”
a
6
c
1.2
“滴滴”
6
b
4
7.6
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；
（2）王冬的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是王冬．你建议他选哪家公司？说明理由．
18．（6分）昆明圆通山动物园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票，验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍．且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数．
19．（8分）四张正面分别写有数字：﹣2，﹣1，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上洗匀．
（1）从中任意抽取一张卡片．则所抽卡片上数字为负数的概率是　 　；
（2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为x的值，然后再从剩余的卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为y的值，请用列表法或树状图法．求点P（x，y）在第二象限的概率．
20．（8分）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．

21．（8分）某品牌热水器中原有水的温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到70℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此时水温y℃与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至35℃时，热水器又自动以相同的功率加热至70℃，…，重复上述过程．如图，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤25时，求水温y℃开机时间x分钟的函数表达式；
（2）求图中t的值；
（3）开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为多少摄氏度？

22．（9分）如图，M、N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：直线MF是⊙O的切线；
（2）若CM＝2，BN＝，求∠MBN的度数．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx﹣3交于A、B点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A，B重合）．过点P作x轴的垂线交直线AB于点C．作PD⊥AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3，求出m的值．


2021年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选摔题（每小题4分，满分32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上；对应题目的答案标号的小框涂黑）
1．（4分）2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．（4分）数学无处不在，如图是一个螺栓的示意图，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看该零件的示意图是一个正六边形，且中间有一个圆，
故选：D．
3．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．“任意画一个三角形，内角和为180°”为必然事件
C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
D．抛掷枚质地均匀的硬币，前两次都足正面朝上，则第3次一定正面朝上
【分析】根据随机事件的意义，三角形内角和定理，概率的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．检测某批次灯泡的使用寿命，由于数量较多，且具有破坏性，因此适合抽样调查，所以选项A不符合题意；
B．任意三角形的内角和为180°，因此选项B是正确的，符合题意；
C．可能性是1%的事件在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，因此选项C不正确，不符合题意；
D．抛掷枚质地均匀的硬币，前两次都足正面朝上，则第3次不会受前2次的影响，可能正面向上，有可能反面向上，因此选项D不正确，不符合题意；
故选：B．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．3a3•2a2＝6a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．＝
【分析】分别根据算术平方根，单项式乘单项式法则，积的乘方运算法则，以及分式的加减法进行运算，再判断即可．
【解答】解：A.＝4，错误，不符合题意；
B.3a2•2a2＝6a5，错误，不符合题意；
C．（﹣a3b）2＝a6b2，正确，符合题意；
D.﹣＝﹣＝，错误，不符合题意．
故选：C．
5．（4分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C，如果∠1＝58°，那么∠2的度数为（　　）

A．32° B．42° C．58° D．122°
【分析】先根据平行线的性质求出∠BAD的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．
【解答】解：如图：

∵直线a∥b，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∵AC⊥AB于点A，∠1＝58°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣58°＝32°，
故选：A．
6．（4分）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（　　）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4处涂黑，都是符合题意的图形．
故选：C．

7．（4分）学校研究性学习小组的同学测量旗轩的高度．如图，在教学楼一楼地面C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼地面D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知教学楼每层楼的高度约为3.3米，则旗杆AB的高度最接近（　　）

A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则四边形ACDE为矩形，AE＝CD＝6.6米，AC＝DE，设BE＝x米，先解Rt△BDE，得出DE＝AC＝x米，再解Rt△ABC，得出AB＝3x米，然后根据AB﹣BE＝AE，列出关于x的方程，解方程进行比较即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则四边形ACDE为矩形，
∴AE＝CD＝2×3.3＝6.6（米），AC＝DE，
设BE＝x米，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝30°，
∴DE＝BE＝x（米），
∴AC＝DE＝x（米），
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝×x＝3x（米），
∵AB﹣BE＝AE，
∴3x﹣x＝6.6，
∴x＝3.3，
AB＝3×3.3＝9.9（米），即旗杆AB的高度为9.9米，
∴旗杆AB的高度最接近10米，
故选：C．

8．（4分）莱洛三角形，也称作崭洛三角形或圆弧三角形，它的应用广泛，不仅用于建筑、商品的外包装设计，还用在工业方面．莱洛三角形形状的钻头可钻出正方形内孔，发动机的原件上也有莱洛三角形．如图1，分别以等边△ABC的顶点小A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做莱洛三角形，如图2，若AB＝3，则莱洛三角形的面积为（　　）

A．π﹣ B．π+ C．π﹣ D．π﹣
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC＝BC＝3，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为•BC•AD＝，
S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝π﹣，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，满分18分，请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）
9．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3　．
【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
10．（3分）云南自贸试验区的实施范围涵盖了昆明、红河，德宏三个片区．其中昆明片区760000平方千米，占总量的63.41%．将760000这个数用科学记数法可表示为　7.6×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：760000＝7.6×105，
故答案为：7.6×105．
11．（3分）将多项式因式分解x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）．
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
12．（3分）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形的内角和是　540°　．
【分析】由一个多边形的每一个外角都是72°，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，
∴这个多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540°．
13．（3分）观察下列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，策2021个单项式是　﹣6061x2021　．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第n个单项式，进而求得第2021个单项式，本题得以解决．
【解答】解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，
∴第n个单项式为：（﹣1）n•（3n﹣2）xn，
∴第2021个单项式是（﹣1）2021•（3×2021﹣2）x2021＝﹣6061x2021，
故答案为：﹣6061x2021．
14．（3分）我们知道，给出两边及其中一边的对角的三角形不一定是唯一的，例如△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，BC＝6，我们可以作∠A＝30°，截取AB＝8，以B为圆心，6为半径作弧，与射线AE交于点C1，C2，则△ABC1和△ABC2均为满足条件的三角形．已知，平行四边形ABCD中，AD＝15，BD＝13．AB边上的高为12，则平行四边形ABCD面积为　168或48　．

【分析】分高AE在△ABC内外两种情形，分别求解即可．
【解答】解：①如图，高BG在△
ABC2内时，
在Rt△ABG中，AG＝
＝
＝9，
在Rt△AEC中，C2G＝＝＝5，
∴AC2＝AG+GC2＝14，
∴S平行四边形ABCD＝AC2×BG＝14×12＝168．
②如图，高BH在△ABC外时，
AC1＝AH﹣HC1＝9﹣5＝4，
∴S平行四边形ABCD＝AC1×BH＝12×4＝48，
故答案为：168或48．
三、解窖题（共9小题。满分70分，请号生用黑色碳求笔在各题上相应的源号后各题区域内作答，必须写山运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效，特别注意：作图时，必须使用開色碗素管在答惠长上作图）
15．（5分）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60°．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60°
＝9﹣1+2﹣+4
＝10+3．
16．（6分）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图，在小明设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD．∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．

【分析】由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC＝AE．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝AE．
17．（8分）近年来网约车给人们的出行带来了便利，初二的王冬和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机收月入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：干元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如表：

平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“美团”
a
6
c
1.2
“滴滴”
6
b
4
7.6
（1）填空：a＝　6　；b＝　4.5　；c＝　6　；
（2）王冬的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是王冬．你建议他选哪家公司？说明理由．
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）∵“6千元”对应的百分比为1﹣（10%+20%+10%+20%）＝40%，
∴a＝4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6，c＝6，
b＝＝4.5，
故答案为：6、4.5、6；
（2）选美团，理由如下：
因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
18．（6分）昆明圆通山动物园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票，验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍．且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数．
【分析】设昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，则采用智能闸机验票的方式后平均每分钟接待游客的人数为10x人，接待时间＝接待游客人数的总数÷平均每分钟接待游客的人数，结合接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，则采用智能闸机验票的方式后平均每分钟接待游客的人数为10x人，
依题意得：﹣＝5，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：昆明圆通山动物园原来平均每分钟接待游客的人数为20人．
19．（8分）四张正面分别写有数字：﹣2，﹣1，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上洗匀．
（1）从中任意抽取一张卡片．则所抽卡片上数字为负数的概率是　　；
（2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为x的值，然后再从剩余的卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为y的值，请用列表法或树状图法．求点P（x，y）在第二象限的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，符合条件的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中任意抽取一张卡片．则所抽卡片上数字为负数的概率是＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，点P（x，y）在第二象限的结果有2个，
∴点P（x，y）在第二象限的概率为＝．
20．（8分）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．

【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF＝FC，即可得结论；
（2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF＝FC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
根据勾股定理，得
AE＝＝＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴EC＝AE＝5，
∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵DG⊥AE，
∴∠DGA＝∠B＝90°，
∴△ADG∽△EAB，
∴＝，
即＝，
∴DG＝．
21．（8分）某品牌热水器中原有水的温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到70℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此时水温y℃与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至35℃时，热水器又自动以相同的功率加热至70℃，…，重复上述过程．如图，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤25时，求水温y℃开机时间x分钟的函数表达式；
（2）求图中t的值；
（3）开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为多少摄氏度？

【分析】（1）将（0，20），（25，70）代入函数表达式y＝kx+b，即可解得答案；
（2）当25≤x≤t时，求得反比例的解析式，即可得出答案；
（3）求得对应时间的函数解析式即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤25时，设水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝kx+b，
将（0，20），（25，70）代入得，
，
解得，，
∴水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝2x+20；
（2）当25≤x≤t时，设水温y℃开机时间x分钟的函数表达式为y＝，
由题意得，70＝，
∴m＝1750，
∴y＝，
∴当y＝35时，t＝50，
∴t的值是50；
（3）∵AB∥CD，
∴设AB的解析式为y＝2x+n，
将（50，35）代入，得n＝﹣65，
∴AB的解析式为y＝2x﹣65，
当y＝70时，x＝67.5，
∵50＜60＜67.5，
∴把x＝60代入y＝2x﹣65，
则y＝2×60﹣65＝55，
∴开机通电60分钟时，热水器中水的温度y约为55摄氏度．
22．（9分）如图，M、N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：直线MF是⊙O的切线；
（2）若CM＝2，BN＝，求∠MBN的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；
（2）证明△BCN∽△MBN，可得BN2＝CN•MN，过点N作NG⊥BM于点G，可得△MGN是等腰直角三角形，然后根据特殊角三角函数即可求出∠MBN的度数．
【解答】（1）证明：如图，连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠DBM，
∴∠OMB＝∠DBM，
∴OM∥DB，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，
∴直线MF是⊙O的切线；

（2）如图，过点N作NG⊥BM于点G，
∵＝，
∴∠ABN＝∠NMB＝45°，
∵∠CNB＝∠BNM，
∴△CNB∽△BNM，
∴BN2＝CN•MN，
∵CM＝2，BN＝，
∴MN＝3，
∵NG⊥BM，∠NMB＝45°，
∴△MGN是等腰直角三角形，
∴MG＝NG＝MN＝，
∵BN＝，
∴sin∠MBN＝＝＝，
∴∠MBN＝60°．
答：∠MBN的度数为60°．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx﹣3交于A、B点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A，B重合）．过点P作x轴的垂线交直线AB于点C．作PD⊥AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3，求出m的值．

【分析】（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+bx﹣3即可得抛物线解析式；
（2）①先证明△PCD是等腰直角三角形，得PD＝PC，再用m表达PC，从而表达出PD，求出最大值即可；
②线段PC把△PDB分成两个三角形，它们的底边都是PC，用面积之比等于高的比列方程即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1，令y＝5得x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，5），
将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①设直线AB与y轴交于E，如图：

在y＝x+1中，令x＝0得y＝1，
∴OA＝OE
∴△AOE是等腰直角三角形，∠EAO＝∠AEO＝45°，
∵PC∥y轴，
∴∠PCA＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD＝PC，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），C（m，m+1），
∴PC＝（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+4，
∴PD＝PC＝﹣m2+m+2，
∵﹣＜0，
∴当m＝＝时，PD最大值为；
②过D作DF⊥PC于F，过B作BG⊥PC于G，如图：

S△PCD＝PC•DF，S△BCP＝PC•BG，
∴＝，
∵△PCD是等腰直角三角形，
∴DF＝PC＝（﹣m2+3m+4），
而BG＝4﹣m，
当＝时，＝＝，解得m＝4（舍去）或m＝，
∴此时m＝，
当＝时，＝＝，解得m＝4（舍去）或m＝2，
∴此时m＝2，
综上所述，两个三角形的面积之比为2：3，则m＝或m＝2．