专题27.2 平行线分线段成比例-2023-2024学年九年级数学下册重难点题型突破（人教版）

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27.2 平行线分线段成比例【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32093" 【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】  PAGEREF _Toc32093 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15854" 【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】  PAGEREF _Toc15854 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4481" 【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】  PAGEREF _Toc4481 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc18401" 【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】  PAGEREF _Toc18401 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc32423" 【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】  PAGEREF _Toc32423 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc17690" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】  PAGEREF _Toc17690 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc2079" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】  PAGEREF _Toc2079 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc14310" 【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】  PAGEREF _Toc14310 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc19009" 【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】  PAGEREF _Toc19009 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc18832" 【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】  PAGEREF _Toc18832 \h 33【知识点 平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】【例1】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ）A．ADDB=AEAC B．ADDB=BFFC C．ADDB=FCBF D．ADDB=FCBC【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过ADDB=AEEC，AEEC=BFFC，逐项判断，得出结论．【详解】∵DE//BC，∴ADDB=AEEC.∵EF//AB，∴AEEC=BFFC，∴ADDB=AEEC=BFFC，∴ADDB=BFFC.故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．【变式1-1】（2023春·湖南娄底·九年级统考期中）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）．A．ABEF = ADDF B．DFAD = BCCE C．ADAF = BEBC D．ADDF = BCCE【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴ADDF = BCCE，故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．【变式1-2】（2023春·湖南娄底·九年级校联考期末）如图，已知AB ∥ CD ∥ EF，AC:AE=3:5，那么下列结论正确的是（    ）A．BD:DF=2:3 B．AB:CD=2:3C．CD:EF=3:5 D．DF:BF=2:5【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】解：∵AC:AE=3:5，∵AC:EC=3:2,CE:EA=2:5∵AB ∥ CD ∥ EF，，∴BD:DF=AC:EC=3:2，故A错误；DF:BF=CE:EA=2:5，故D正确；根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．【变式1-3】（2023春·山西晋城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG//BC，交AC于点G，过点E作EH//AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ）A．ADDB=DGBC B．GFEC=HCGH C．FHAD=GHAG D．HEAB=ECBE【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．【详解】解：∵DG//BC，∴ADAB=DGBC，故A选项错误；∵DG//BC，∴GFEC=GHHC，故B选项错误；∵EH//AB，∴FHAD=GHAG，故C选项正确；∵EH//AB，∴HEAB=ECBC，故D选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】【例2】（2023春·河北保定·九年级统考期末）如图，点A，B在格点上，若BC=23，则AC的长为（    ）A．1 B．43 C．2 D．3【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例可得ACBC=AEDE=2，然后代入数据计算即可．【详解】解：如图，由题意，知CE∥BD ，AEAD=2 ，∴ACBC=AEDE=2 ，又BC=23，∴AC=43 ．故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，求出ACBC=2，利用数形结合的思想解答是解题的关键．【变式2-1】（2023春·广西百色·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则AEAC的值为（  ）A．23 B．32 C．34 D．2【答案】A【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【详解】∵AD=6，DB=3，∴AB=AD+DB=9，∵DE∥BC，∴AEAC=ADAB=69=23；故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．【变式2-2】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）已知线段a、b、c，若求作线段x，使a∶b＝c∶x，则以下作图正确的是（    ）A． B．C．D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例，逐项分析即可【详解】A.根据平行线分线段成比例，可得a:b=x:c，故该选项不符合题意；B.根据平行线分线段成比例，可得a:x=b:c，故该选项不符合题意；C.根据平行线分线段成比例，可得a:c=x:b，故该选项不符合题意；D.根据平行线分线段成比例，可得a:c=b:x，即a:b=c:x，故该选项符合题意；故选D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【变式2-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．【答案】（1）见详解；（2）203．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到AF：FD=AE：EC，由DE∥BC得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解；（2）根据比例的性质得到AD=20，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF．【详解】解：（1）证明：∵EF∥CD，∴AF：FD=AE：EC，∵DE∥BC，∴AE：EC=AD：DB，∴AF：FD＝AD：DB；（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，∴AD=AB×23=30×23=20，∵AF：FD＝AD：DB，∴AF：FD=2:1，∴DF=AD×13=20×13=203【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题关键．【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】【例3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）如图 ，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于 ．【答案】34【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵AB//CD//EF，∴BCCE=ADDF=AG+GDDF,∵AG=4,GD=2,DF=8,∴BCCE=ADDF=AG+GDDF=4+28=34,故答案为：34.【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解此题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图：AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=16，那么CE的长为（    ）  A．4 B．12 C．163 D．6【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE=ADDF=31，∴CE=14BC=4．故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．【变式3-2】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，则DEDF的值为（    ）  A．47 B．37 C．74 D．43【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理得到ABBC=DEEF=43，根据合比性质即得．【详解】∵l1∥l2∥l3，∴ ABBC=DEEF=43，∴ DEDF=47．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质．【变式3-3】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期中）已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，直线l4与l5相交于点O，且AB=32，BC=50，EF=8，EO=2．(1)求DE的长；(2)求OB的长．【答案】(1)245(2)524【分析】（1）由l1∥l2∥l3，推出DEEF=ABCB，即可求解；（2）由BE∥AD，推出OBAB=OEDE，即可求解．【详解】（1）解：∵l1∥l2∥l3，∴DEEF=ABCB，∴DE8=3250，∴DE=245；（2）解：∵BE∥AD，∴OBAB=OEDE，∴OB32=2245，∴OB=524．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】【例4】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则EFFB的值为（    ）A．25 B．38 C．37 D．35【答案】B【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，又FD=2，∴BC=AD=AF+FD=5，∵AD∥BC，∴EFBE=AFBC=35，∴EFFB=38，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．【变式4-1】（2023春·上海静安·九年级校考期中）已知ax=bc，求作x，那么下列作图正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可．【详解】∵ax=bc，∴ab=cx或ac=bx．A．作出的为ab=a+xb+c，故不符合题意；B．该情况无法作图，故不符合题意；C．作出的为ab=cx，故符合题意；D．作出的为ax=cb，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键．【变式4-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【答案】C【分析】根据l1∥l2，可得△AFG∽△BFD，进而得出AGBD＝AFBF＝25，AEEC＝AGCD，求出AG＝25BD，CD＝15BD，再求出AGCD即可．【详解】解：∵l1∥l2，∴△AFG∽△BFD∴AGBD＝AFBF，∵AF：BF＝2：5，∴AGBD＝25，即AG＝25BD，∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，∴CD＝15BD，∴AGCD＝25BD15BD＝21，∵l1∥l2，∴△AGE∽△CDE，∴AEEC＝AGCD＝21，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【变式4-3】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　）A．1r+1q=1p B．1p+1q=2r C．1p+1q=1r D．1q+1r=2p【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，两式相加即可得出结论．【详解】解：∵AC//EF，∴ EFAC=BFBC，∵EF//DB，∴ EFBD=CFBC，∴ EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，即rp+rq=1，∴ 1p+1q=1r．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】【例5】（2023春·全国·九年级期末）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（    ）A．CEAC B．BFBD C．BFFD D．ABCD【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到BFBD=AEAC.【详解】解：∵a∥b∥c，∴BFFD=AEEC，∴BFBD=AEAC；故选择：B.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．【变式5-1】（2023春·河北保定·九年级校考期末）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝152，则BD的值是 ．【答案】3【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵a∥b∥c，∴ACAE=BDBF，即44+6=BD152，解得：BD=3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【变式5-2】（2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，AB:EB=3:1，DF=8，则FC= ．  【答案】4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．【详解】解：∵AB:EB=3:1∴AE:EB=2:1∵AD∥BC∥EF，AE:EB=2:1，DF=8，∴ DFFC=AEBE=2，∴FC=4,故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质．【变式5-3】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，D，B，E，C，F．已知直线a∥b∥c，AB=2，BC=3，则DEDF的值为（    ）    A．23 B．32 C．25 D．35【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【详解】解：∵a∥b∥c，∴ABAC=DEDF，∵AB=2，BC=3，∴AC=AB+BC=5，∴DEDF=25，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握：两条直线被第一组平行线所截的线段成比例．【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】【例6】（2023·四川南充·校联考三模）如图， DE是△ABC的中位线， F是CE的中点，射线DF与BE交于点O，与BC的延长线交于点G．下列结论：①OB=2OE；②OD=OF； ③DEBG=CFAF；④S△ADE=12S四边形OBCF，正确的有 ．(填序号．)【答案】②③【分析】由题意可知，DE=12BC,DE//BC,DE=GC，根据平行截线求相关线段的长或比值可判断①；由题意得出OG=3OD与FD=FG联立可得2OF=2OD，由此可判断②；由平行截线求相关线段的长或比值及等量代换可判断③；连接BF．设S△ODE=1，根据面积可判断④．【详解】解：∵ DE是△ABC的中位线，∴DE//BC,DE=12BC∴∠EDF=∠CGF∵ F是CE的中点，∴EF=CF又∵∠EFD=∠CFG∴△DEF≅△GCF∴DE=CG,DF=FG①∵DE//BC∴ OEOB=DEGB=13，∴OB=3OE．∴①错误 ②∵DE//BG∴ODOG=13∴ OG=3OD又∵FD=FG，∴由两式相减，得OF=2OD−OF∴2OF=2OD．∴OF=OD．∴②正确 ③∵DE//BG,DE=12BC,DE=CG∴ DEBG=13∵AE=CE,CF=EF∴CFAF=13∴DEBG=CFAF∴③正确 ④连接BF．设S△ODE=1，可得其他三角形面积如图∴S△ADE=47S四边形OBCF，∴④错误故答案为：②③．【点睛】本题考查了平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】（2023春·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（　　）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】B【详解】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∵M是DE的中∴DM=ME=14BC，∴MNNC=DMBC=14，∴MNMC=13【变式6-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（    ）A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7【答案】B【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝12PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴AG＝PG，∵M是DE的中点，∴DM＝ME＝12DE，∵NM∥AG，AN＝DN，∴NMAG＝DNAD＝12，∴NM＝12AG＝12PG，∵DM＝ME，∴S△DMN：S四边形MFCE＝12DM⋅NHEM⋅PG＝12DM⋅NH2DM⋅NM＝1：4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．【变式6-3】（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务．任务：(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）A．方程思想    B．转化思想    C．分类思想    D．整体思想(3)请你换一种思路求AFCF的值，直接写出辅助线的作法即可．【答案】(1)见解析(2)B(3)见解析【分析】（1）通过过点D作DH∥BF交AC于点H．根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，根据平行线分线段成比例即可得到FHCH=BDCD与AEAD=AFAH，根据AE:AD=1:5即可得到AF:FH=1:4，进一步即可求出答案；Ｄ（2）由上述解题过程即可得到求AFCF的值转化为了求AFFH与FHCH的值，通过转化即可求出答案，即可判断出答案；（3）通过过点D作DM∥AC交BE于点M，根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，进一步得到BDBC=12，根据平行线分线段成比例即可得到DMCM=BDBC与AEED=AFDM，根据AEAD=15，即可得到AEED=14，进一步即可求出答案．【详解】（1）∴AEAD=AFAH，∵AE:AD=1:5，∴AF:AH=1:5，∴AF:FH=1:4，∵FH=CH，∴AFCF=18（2）上述解题过程主要用的数学思想是转化思想故选B（3）解：如图，过点D作DM∥AC交BF于点M．∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC=12BC，∴BDBC=12，∵DM∥AC，∴DMCF=BDBC=12，∵AF∥DM，∴AEDE=AFDM，∵AEAD=15，∴AEED=14，∴AFDM=14，∴AFCF=18  【点睛】本题考查利用辅助平行线求线段的比，作出辅助线，利用平行线分线段成比例进行转化是解题关键．【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】【例7】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP．若AB=6cm，求PN的长．  【答案】PN=2cm【分析】证明BD=DC，结合DN∥CM，可得BN=NP，AP=PN，从而可得答案．【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，又∵DN∥CM，∴BNPN=BDDC=1，∴BN=NP，∵点M是线段AD的中点，DN∥CM，∴APPN=AMMD=1，∴AP=PN，∴PN=13AB，∵AB=6cm，∴PN=13AB=13×6=2cm．【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，熟记平行线分线段成比例并灵活运用是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，在△ABC和△ACG中，D、E、F分别在线段AB、AC、AG上，连接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，ADAB=13,AF=3，求AG的长．  【答案】9【分析】由DE∥BC,EF∥CG可得ADAB=AEAC,AFAG=AEAC,从而可得ADAB=AEAC,再由ADAB=13,AF=3可得结果．【详解】解:∵DE∥BC,EF∥CG,∴ADAB=AEAC,AFAG=AEAC,∴ADAB=AFAG,∵ADAB=13,AF=3∴AG=9【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．【变式7-2】（2023春·陕西商洛·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，若BE=4则EG的值为（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】由AF=2DF可以假设DF=k，得到AF=2k，AD=3k（k是正整数），根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，然后根据平行线分线段成比例来求解．【详解】解：∵AF=2DF，∴设DF=k，则AF=2k，AD=3k（k是正整数）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，∴AEEC=AFBC=2k3k=23，∴BEEG=AEEC=23．∵BE=4，∴4EG=23，∴EG=6．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．理解相关知识是解答关键．【变式7-3】（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知AEED=32，BG=4．(1)求CG的长；(2)若CD=2，在上述条件和结论下，求EF的长．【答案】(1)6(2)245【分析】（1）由EF∥BD，推出AFFB=AEED=32，由FG//AC，推出BGCG=BFAF=23，可得结论．（2）由EF∥BD，推出EFBD=AFAB，可得结论．【详解】（1）∵EF∥BD，∴AFFB=AEED=32，∵FG∥AC，∴BGCG=BFAF=23，∵BG=4，∴CG=32BG=32×4=6．（2）∵CD=2，CG=6，∴DG=CG−CD=4，∵BG=4，∴BD=BG+DG=8，∵AFBF=32，∴AFAB=35，∵EF∥BD，∴EFBD=AFAB，∴EF8=35，∴EF=245．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键．【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】【例8】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD∥AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（　　）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】连接CG并延长交AB于E，如图，利用三角形重心性质得到CG＝2EG，则利用平行线分线段成比例得到CDBD=CGEG=2，再根据三角形面积公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，则S△BCG＝3，接着求出S△BEG＝32，从而得到S△BCE＝92，然后利用CE为中线得到S△ABC．【详解】解：连接CG并延长交AB于E，如图，∵点G是△ABC的重心，∴CG＝2EG，∵DG∥AB，∴CDBD=CGEG=2，∴S△GDC＝2S△BDG＝2，∴S△BCG＝1+2＝3，而EG＝12CG，∴S△BEG＝12S△BCG＝32，∴S△BCE＝32+3＝92，∵CE为中线，∴S△ABC＝2S△BCE＝2×92＝9．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．【变式8-1】（2023·上海浦东新·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF//BC，分别交AB、AC于点E、F，若AC=18，则AF= ．【答案】12【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：AFAC=AGAD=2DG3DG=23，根据AC=18，求出AF即可解决问题．【详解】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；∵EF∥BC，∴AFAC=AGAD=2DG3DG=23，∵AC=18，∴AF=12．故答案为12．【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．【变式8-2】（2023春·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么GFBC的值是 ．【答案】13【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G，∴G是△ABC的重心，∴AGGD=21，∵GF∥BC，∴GFDC=AGAD＝23，∵DC＝12BC，∴GFBC=13，故答案为：13【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系．【变式8-3】（2023春·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（    ）A．2 B．2．5 C．3 D．4【答案】A【分析】连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，由题意易得ED∥BC，ED=12BC，PQ∥ED，PQ=13ED，进而可求解．【详解】解：连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，如图所示：∵G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，∴AE=BE，AD=DC，∴ED∥BC，ED=12BC，又∵P,Q分别是△BCE和△BCD的重心，∴EPPF=DQQF=2，∴PQ∥ED，PQ=13ED，∴PQ=13×12BC=16BC，∵BC=12∴PQ=2故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键．【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】【例9】（2023春·河南郑州·九年级统考期中）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是 ．【答案】6:5【分析】作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：如图所示，作FN∥AD，交AB与N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a，∵AE∥FM，∴AGGF=AEFM=3a52a=65，故答案为：6:5．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB//CD，AD,BC交于点O，则AODO=BOCO．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC，求AC的长．【答案】3【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到BDDC＝ADDE，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可．【详解】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，则BDDC＝ADDE，又BD＝2DC，∴ADDE=2∵AD＝2，∴DE＝1，∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，∴∠ACE＝∠E＝75°，∴AC＝AE＝AD + DE =3．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，恰当作辅助线，正确运用定理找准对应关系，列出比例式求值是解题的关键．【变式9-2】（2023春·陕西西安·九年级校考期末）如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ．【答案】8:5【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到DFCE=BDBC=25，则CE=52DF，由DF∥AE得到DFAE=DGAG=DFAE=14，则AE=4DF，然后计算AEEC的值．【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，∵DF∥CE，∴DFCE=BDBC，而BD：DC=2：3，∴DFCE=25，则CE=52DF，∵DF∥AE，∴DFAE=DGAG，∵AG：GD=4：1，∴DFAE=14，则AE=4DF，∴AEEC=4DF52DF=85．故答案为85．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.【变式9-3】（2023春·广东深圳·九年级深圳市南山外国语学校校联考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=14AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是 ．【答案】34【分析】过点P作PE//AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB=PE，再证△PCE≌△PDB，可得BD=CE，再利用平行线分线段成比例得PAAB=CEBC，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．【详解】如图：过点P作PE//AC交DC延长线于点E，∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵AC//PE∴∠ACB=∠E∴∠B=∠E∴PB=PE∵PC=PD∴∠PDC=∠PCD∴∠BPD=∠EPC∴在△PCE和△PDB中PC=PD∠EPC=∠BPDPE=PB∴△PCE≌△PDB∴BD=CE∵AC//PE∴PAAB=CEBC∵PA=14AB∴CEBC=14∴BDBC=14∴CDBC=34故答案为：34．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式．【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】【例10】（2023春·四川达州·九年级校考期末）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则BFEF的值是（ ）A．2−1 B．2+2 C．2+1 D．2【答案】C【详解】解：作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得BFEF=BGGA，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ACB的平分线，∴FG=CF，在Rt△BGF和Rt△BCF中，BF=BFFG=CF ∴Rt△BGF≌Rt△BCF，∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=2BC， ∴BFEF=BGGA=BC2BC−BC=12−1=2+1．故选：C．【点睛】考点：1、平行线分线段成比例，2、全等三角形及角平分线【变式10-1】（2023春·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．【答案】(1)∠BAE=∠CAD，BE+MD=BM，理由见解析(2)NE=ND，理由见解析【分析】（1）证明△AEB≌△ADC，得到CD=BE，即可得到结论BE+MD=BM；（2）过点E作EH⊥AB，交BC于点H，可证BE=BH，再证MN∥EH，得到DNNE=DMMH=1，即可得到NE=ND．【详解】（1）解：由旋转得，AD=AE,∠DAE=∠BAC=α，∴∠DAC=∠BAE=α−∠DAB，又∵AB=AC，∴△AEB≌△ADC，∴CD=BE，∵CD+MD=BM，∴BE+MD=BM；（2）NE=ND，理由如下：过点E作EH⊥AB，交BC于点H，∵AC=AB，∴∠C=∠ABC，∵△AEB≌△ADC，∴∠C=∠ABE，∴∠ABE=∠ABC，∵EH⊥AB，∴∠BEH=∠BHE，∴BE=BH，∴CD=BH，∴MD=MH，∵MN⊥AB，EH⊥AB，∴MN∥EH，∴DNNE=DMMH=1，∴NE=ND．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作EH⊥AB证明三角形全等是解题的关键．【变式10-2】（2023春·山西太原·九年级统考期中）已知△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交CD于点F．请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．A．如图1，若AC=BC=1，则CF的长为 ．B．如图2，若AC=4,BC=3，则DF的长为 ．【答案】见解析【分析】选择A题，过点F作FG⊥AC，垂足为G，设FG=FD=CG=x，利用△AFD≌△AFG，得到AD=AG，计算即可．选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，设CE=EM=x，利用勾股定理，求得AB，根据三角形的面积求得CD，继而求得AD，根据DF∥EM，计算即可．【详解】选择A题，如图1，过点F作FG⊥AC，垂足为G，∵∠ACB=90°,CD⊥AB，AC=BC=1，∴∠FCG=∠GFC=45°，AB=2，AD=DB=22，∴CG=FG，∵AE平分∠BAC，∴FG=FD，设FG=FD=CG=x，∵AF=AF，∴△AFD≌△AFG，∴AD=AG，∵AC=BC=1，∴AG=1-x，∴22=1-x，解得x=1-22，∴CF=2x=2−1，故答案为：2−1．选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，∵AC=4，BC=3，∴AB=32+42=5，∴12×3×4=12×5×CD，解得CD=125，∴AD=42−(125)2=42−(125)2=165，∵AE平分∠BAC，∴EC=EM，∵AE=AE，∴△AEC≌△AEM，∴AC=AM=4，MB=AB-AM=5-4=1,设CE=EM=y，则EB=3-y，在直角三角形EMB中，  (3−y)2=1+y2，解得y=43，∵DF∥EM，∴DFEM=ADAM，∴DF43=1654，解得DF=1615，故答案为：1615．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键．【变式10-3】（2023春·上海·九年级校考期中）如图，梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90∘,tanC=43,AB=BC，点E在边CD上，把△BCE绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果EF//BC，那么DE:CE的值是 ．【答案】34【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转的性质可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，设EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行线分线段成比例可求DE：CE的值．【详解】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，∵旋转，∴BF＝BE，∠EBF＝90°∴∠BEF＝45°，∵EF∥BC∴∠BEF＝∠EBC＝45°∵EH⊥BC∴∠EBC＝∠BEH＝45°，∴BH＝EH，∵tanC=43=EHHC，∴设EH＝4a，HC＝3a，∴BH＝4a，∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC∴四边形ABGD是平行四边形∴AB＝DG＝7a，∵EH∥DG∴ECCD=EHDG=47，∴DECE=34，故答案为：34．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．利用辅助平行线求线段的比三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE:AD=1:5，BE的延长线交AC于点F．求AFCF的值．下面是该题的部分解题过程：解：如图2，过点D作DH∥BF交AC于点H．∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH=BDCD，∴CH=FH．∵EF∥DH，…