浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 培优测试卷1 B卷（含解析）

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浙教版数学 九上 数学第4章相似三角形 培优测试卷B卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．已知ab=34，则 a2ab−a2的值是（　　）A．3 B．4 C．-4 D．-3【答案】A【解析】由比例的性质，得b=4a3，=3，故选：A．2．如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，不能判断△ABC与△BDC相似的是（　　）A．∠CBD=∠A B．BCAC=CDABC．∠CBA=∠CDB D．BCAC=CDBC=DBAB【答案】B【解析】A、∠CBD=∠A，∠C=∠C，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． B、CD与AB不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意．C、∠CBA=∠CDB，∠C=∠C，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．D、BCAC=CDBC，∠C=∠C，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．故答案为：B.3．已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（　　） A．B．C．D．【答案】A【解析】∵x：b=c：a，∴ = ，A、作出的为 = ，故本选项正确；B、作出的为 ab = ，故本选项错误；C、线段x无法先作出，故本选项错误；D、作出的为 = ，故本选项错误；故选A．4．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　） ①DGGB=12 ；②AEAB=EDBC ；③△EDG∽△CBG；④S△EGDS△BGC=14 ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝ 12 BC，∴△DGE∽△BGC，∴DGGB ＝ 12 ，①正确； AEAB=EDBC ，②正确；△EDG∽△CBG，③正确； S△EGDS△BGC=(DEBC)2=14 ,④正确，故答案为：D．5．如图， RtΔABO 中， ∠AOB=90° ， AO=3BO ，点 B 在反比例函数 y=2x 的图象上， OA 交反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象于点 C ，且 OC=2CA ，则 k 的值为（　　） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8【答案】D【解析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°∵∠AOB=90° ∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD又∵AO=3BO ， OC=2CA ∴OBOA=13 ， OCOA=23∴S△BOFS△OAD=(OBOA)2=19 ， S△COES△AOD=(OCOA)2=49∴S△COES△BOF=4∵点 B 在反比例函数 y=2x 的图象上 ∴S△BOF=22=1 ∴S△COE=4∴|k|2=4 ，解得k=±8又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故答案为：D.6．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（　　）A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5【答案】D【解析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，∵DF∥CE，∴DFCE = BDBC ，而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，∴DFCE = 25 ，则 CE= 52 DF，∵DF∥AE，∴DFAE = DGAG ，∵AG：GD=4：1，∴DFAE = 14 ，则 AE=4DF，∴AECE = 4DF52DF=85 ，故答案为：D．7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为(　　)．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】【分析】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，∴BE∥DF∥CG∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴ABAD=BQMD=12，BQCH=ABAC=13，∴△BPQ∽△DKM∽△CNH∴BQMD=12，BQCH=13∴S1S2=14，S1S3=19∴S2=4S1，S3=9S1，∵S1+S3=20，∴S1=2，∴S2=8．故选B.8．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，BF平分∠EBC交CD于点F，过点F作FG⊥AB交BE于点H，则GH的长为（　　） A．5−12 B．5+12 C．5−14 D．5+14【答案】A【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，如图所示：设△BCK是旋转后的△ABE，∴△ABE≌△CBK，∴AE＝CK，BE＝BK，∠ABE＝∠CBK，∠BAE＝∠BCK＝90°，∴K、C、F三点共线，∵BF是∠EBC的角平分线，∴∠EBF＝∠FBC，∴∠ABE+∠EBF＝∠KBC+∠FBC，∴∠ABF＝∠FBK，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFK，∴∠KBF＝∠BFK，∴BK＝KF，∵KF＝CK+CF＝AE+CF，BK＝BE，∴BE＝AE+CF，∵点E是AD边上的中点，∴AE＝ 12 AD＝1，由勾股定理得：BE＝ AB2+AE2=22+12=5 ，∴CF＝BE﹣AE＝ 5 ﹣1，∵四边形ABCD是正方形，FG⊥AB，∴四边形BCFG与四边形ADFG都是矩形，∴CF＝BG＝ 5 ﹣1，GH∥AE，∴△BGH∽△BAE，∴GHAE=BGAB ，即 GH1=5−12 ，∴GH＝ 5−12 ，故答案为：A．9．如图，在矩形 ABCD 中，线段 EG ， FH 分别平行于 BC ， AB ，它们相交于点 I ，点 M ， N 分别在线段 FI ， GI 上， EI=MI ， HI=NI ，连接 FN ， GM ，相交于点 P .已知 AE：AB=AH：AD=1：3 ， AB：BC=5：6 ，则 MPNP 的值为（　　） A．12 B．47 C．23 D．56【答案】B【解析】∵AB：BC=5：6 ， 设AB=5x， BC=6x，∵AE：AB=AH：AD=1：3∴AE= 5x3 ，AH= 13AD=13BC=2x ，∴EB=AB-AE= 5x−5x3=10x3 ，HD=AD-AH=6x-2x=4x，∵线段 EG ， FH 分别平行于 BC ， AB ，∴∠DHI=∠A=∠AHI=∠D=∠BEI=∠AEI=∠B=90°∴四边形AHIE，四边形HDGI，四边形EIFB均为矩形，∴IN=HI=AE= 5x3 ，IM=IE=AH=2x，IF=EB= 10x3 ，IG=HD=4x，∵INIF=5x310x3=12 ， IMIG=2x4x=12 ，∴INIF=IMIG 即 INIM=IFIG ，又∵∠MIG=∠NIF，∴△NIF∽△MIG，∴∠IFN=∠IGM，又∠MPF=∠GPN，∴△MPF∽△NPG，MPNP=MFNG=IF−IMIG−IN=10x3−2x4x−5x3=47 .故答案为：B.10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（　　）A．32. B．43 C．35 D．52【答案】D【解析】如图，连接CP，作PE交AC于点E，使∠CPE=∠PAC∵∠PCE=∠ACP∴△PCE∽△APC∴PCAC=EPAP∵AC=9，PC=3∴EP=13AP∴13AP+BP=EP+BP，当B、P、E三点共线，即P运动P'时有最小值EB∵ECPC=PCAC∴EC=1∴EB=EC2+CB2=52∴13AP+BP的最小值为52故答案为：D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点.若S△APQ=1，则S四边形PBCQ=　 　.【答案】3【解析】∵P，Q分别为AB，AC的中点，∴PQ//BC ， PQ=12BC ，∴ΔAPQ∽ΔABC ，∴SΔAPQSΔABC=(12)2=14 ，∵SΔAPQ=1 ，∴SΔABC=4 ，∴S四边形PBCQ=SΔABC−SΔAPQ=3 ，故答案为：3.12．在矩形ABCD中，AB=6，AD=15，点E在边BC上．且∠AED=90°，P是射线ED上的一个动点．若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为　 　．【答案】35 或 317【解析】如图1所示：当BE < CE时，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B= ∠DCE= 90°，CD= AB=6，∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°，∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE~△ECD，∴ABCE=BECD，∴6BE=15−BE6，∴BE =3，∴CE=12，过点P作PQ⊥BC于Q，∴∠PQE= ∠B=90°，∴△ABE≌△EQP，∴EQ= AB=6，PQ = BE=3，∴CQ= 15-6-3=6，∴CP=CQ2+PQ2=35，如图2所示：当BE>CE时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B= ∠DCE=90°，CD= AB=6，∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB = ∠AEB+ ∠CED=90°，∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE~△ECD，∴ABCE=BECD，∴6BE=15−BE6，∴BE= 12，∴CE=3，过点P作PQ⊥BC于Q，∴∠PQE= ∠B= 90°，∴△ABE≌△EQP，∴EQ= AB = 6，PQ= BE= 12，∴CQ=12+6-15=3，∴CP=CQ2+PQ2=317，综上所述，CP的长为35 或 317 ，故答案为： 35 或 317 .13．如图，在 △ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点， AF 平分 ∠BAC ，交 DE 于点 G ，交 BC 于点 F ，若 ∠AED=∠B ，且 AG：GF=2：1 ，则 DE：BC=　 　．【答案】2：3【解析】【解答】∵∠AED=∠B ，而 ∠DAE=∠CAB ，∴△ADE∽△ACB ，∴DEBC=AGAF ，∵AG：GF=2：1 ，∴DEBC=AGAF=23 ，故答案为： 2：3 ．14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若ΔBEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为　 　.【答案】24【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD，AD∥BC，∴△BEF∽△DEA，∴BEED=EFAE，∵E是OB的中点，∴BEED=EFAE=13，∴S△BEF：S△AEB=EF∶AE=13，∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3，∵BEED=13，∴S△AEB：S△AED=13∴△AED的面积为9，∴S△ABD=9+3=12，∴正方形ABCD的面积=12×2=24.故答案为：24.15．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC=1：2，则BD：CE为　 　.【答案】5【解析】∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴ACAE=ABAD，∠BAC=∠DAE，∴ADAE=ABAC，∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴BDCE=ABAC，∵AC：BC=1：2，∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=5AC，∴AB=5AC，∴BDCE=51=5，故答案为：5.16．已知矩形 ABCD ， AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点，连接 AF、BF、DE 相交于 M、N 两点，则 ΔFMN 的面积是　 　. 【答案】3【解析】【解答】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH ⊥ FG，过点N作PN ⊥ FG， 在矩形 ABCD 中， AB=8，AD=6 ， CE=2BE∴CE=23BC=23AD=4 , BE=13BC=13AD=2∵ FG//BC，F是 CD 边的中点，∴FG=12EC=12×4=2 ，∵∠1=∠2，∠3=∠4∴△FNG≌△BNE∵FGBE=1∴ N到FG的距离 ℎ1 = 12FC=14DC=14AB=14×8=2S△FNG=12FG⋅ℎ1=12×2×2=2 ，同理可得，∵∠DAF=∠AFG，∠ADM=∠DGF∴△ADM∼△FGM∵FGAD=26=13∴ M到FG的距离 ℎ2= 14DF=18AB=18×8=1 ，∴S△FMG=12FG⋅ℎ2=12×2×1=1S△FMN=S△FNG+S△FMG=2+1=3 ，故答案为：3.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，已知∠ADB=∠A+∠C（1）求证：△CBD∽△CAB（2）若CD=1，AD=2，求CB的长【答案】（1）解：∵∠ADB=∠A+∠C，又因为∠ADB=∠C+∠CBD， ∴∠A=∠CBD，∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB（2）解：由△CBD∽△CAB， 可得 CBCA=CDCB∵CD=1， AD=2，∴CA=3，即 CB3=1CB ，∴CB= 318．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ADAC ＝ DFCG ． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若 ADAC ＝ 37 ，求 AFFG 的值． 【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，又∵ADAC=DFCG ，∴△ADF∽△ACG（2）解：∵△ADF∽△ACG， ∴ADAC=AFAG ，∵ADAC ＝ 37 ，∴AFAG=37 ，∴AFFG=34 ．19．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 1AB+1CD=1EF 成立（不要求考生证明）．若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：（1）1AB+1CD=1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF，所以 EFAB=DFDB ，∵CD∥EF，∴EFCD=BFDB ，∴EFAB+EFCD=BFDB+DFDB =1，∴1AB+1CD=1EF ，（2）解：关系式为： 1S△ABD+1S△BDC=1S△BED ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，由题设可得： 1AM+1CK=1EN ，∴2AM⋅BD+2CK⋅CK=2EN⋅DB ，又∵12 •BD•AM=S△ABD， 12BD⋅CK =S△BCD∴12 BD•EN=S△BED，∴1S△ABD=1S△BDC=1S△BED .20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D．（1）求证：BE＝EF； （2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠5，∴∠4＝∠5，∵BF平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF，∴EB＝EF；（2）解：∵DE＝4，DF＝3， ∴BE＝EF＝DE+DF＝7，∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB，∴△EBD∽△EAB，∴BEEA=DEBE ，即 7EA=47 ，∴EA＝ 494 ，∴AF＝AE﹣EF＝ 494−7=214 ．21．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD=∠B，PD交AM于点D。（1）如图8-1，在BA的延长线上取点G，使得DG=DA，则 ADAG 的值为　 　； （2）如图8-1，在(1)的条件下，求证：△DGP∽△PBC ；（3）如图8-2，当点P是AB的中点时，求AD的长。【答案】（1）3（2）证明： (如图1) ∵∠APC=∠GPD+∠DPC ，∠APC=∠B+∠BCP，又∠CPD=∠B，∴∠GPD=∠BCP又AD=DG，∴∠G=∠GAD又AM∥BC，∴∠GAD=∠B，∴∠G=∠B．又∠GPD=∠BCP∴△DGP∽△PBC（3）解：(如图2) 在BA的延长线上取点G，使得DA= DG∵AB=AC，DA=DG，∴∠ACB=∠B，∠G=∠GAD．∵AM∥BC，∵∠GAD=∠B．∴∠G=∠ACB ．∴△DGA∽△ACB ∴ADAB=AGBC∴ADAG=ABBC=3又点P是AB的中点，∴AP=BP=3设AD=x，则DG=x，AG= 13 x，PG=3+ 13 x，由(2)得△DGP△PBC，∴DGBP=PGBC∴x3=3+13x2解得x=9∴AD=922．如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是中线， AC=BC ，一个以点 D 为顶点的45°角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC ， BC 的延长线相交，交点分别为点 E ， F ， DF 与 AC 交于点 M ， DE 与 BC 交于点 N ． （1）如图①，若 CE=CF ，求证： DE=DF ； （2）如图②，在 ∠EDF 绕点 D 旋转的过程中：若 CE=4 ， CF=2 ， ①求线段 AB 的长；②求 DN 的长．【答案】（1）证明： ∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线， ∴∠BCD=∠ACD=45° ， ∠BCE=∠ACF=90° ，∴∠DCE=∠DCF=135° ，在 △DCE 与 △DCF 中， CE=CF∠DCE=∠DCFCD=CD ，∴△DCE≅△DCF(SAS) ，∴DE=DF ；（2）解：①由（1）可知， ∠DCF=∠DCE=135° ， ∴∠CDF+∠F=180°−135°=45° ，由题意得： ∠EDF=45° ，∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=45° ，∴∠F=∠CDE ，在 △CDF 和 △CED 中， ∠DCF=∠ECD∠F=∠CDE ，∴△CDF∼△CED ，∴CDCE=CFCD ，即 CD2=CE⋅CF ，∵CE=4，CF=2 ，∴CD2=4×2=8 ，解得 CD=22 或 CD=−22 （不符题意，舍去），∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线，∴CD=12AB ，即 AB=2CD=42 ；②如图，过 D 作 DG⊥BC 于点 G ，则 ∠DGN=∠ECN=90° ， CG=DG ，由（2）①可知， CD=22 ，由（1）可知， ∠BCD=∠ACD=45° ，∴ Rt△CDG 是等腰直角三角形，∴CG=DG=CD⋅sin∠DCG=22×sin45°=2 ，在 △CEN 和 △GDN 中， ∠ECN=∠DGN∠ENC=∠DNG ，∴△CEN∼△GDN ，∴CNGN=CEDG=42=2 ，∴GN=13CG=13×2=23 ，∴DN=GN2+DG2=(23)2+22=2103 ．23．点M在矩形ABCD的边AD上，Q在边BC上，BM、QD的延长线上交于点P．（1）如图1，点E是MD的中点，延长PE交BC于F，求证：点F是BQ的中点；（2）若点M是AD的中点：①如图2，连接PA，求证：∠PAD=∠QAD；②如图3，若∠BPQ=45°，DC=4CQ，直接写出ABAD的值为 ▲ ．【答案】（1）证明：∵点E是MD的中点， ∴ME=DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴△MEP∽△BFP，△DEP∽△QFP，∴MEBF=PEPF，DEFQ=PEPF，∴MEBF=DEFQ，∴BF=FQ，∴点F是BQ的中点；（2）解：①证明：如图2，延长PA、CB交于点E∵点M是AD的中点，∴AM=MD，由（1）得：BE=BQ，又∵AB⊥BC，∴AE=AQ，∴∠E=∠AQE，∵AD//BC，∴∠E=∠PAD，∠DAQ=∠AQE，∴∠PAD=∠DAQ；②310【解析】（2）②如图3，过点M作MH⊥PQ于H，∵∠BPQ=45°，∴∠PMH=∠BPQ=45°，∴MH=PH，∵DC=4CQ，∴设AB=CD=4a，CQ=a，∴DQ=17a，∵AD//BC，∴∠MDH=∠DQC，又∵∠MHD=∠C=90°，∴△MDH∽△DCQ，∴DCCQ=MHDH=4，∴设DH=b，MH=4b=PH，则DP=3b，∴MD=17b，∵点M是AD中点，∴AD=2MD=217b=BC，∵AD//BC，∴△PMD∽△PBQ，∴MDBQ=PDPQ，∴17b217b−a=3b3b+17a，∴ ab=31720，∴ABAD=4a217b=310，故答案为：310．24．（1）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE=DF.（2）【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN的值. （3）【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有EFMN=mn？试写出其数量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明：设AE、DF相交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE=∠C=90°，∴∠ADG+∠CDG=90°，∵AE⊥DF，∴∠AGD=90°∴∠DAG+∠ADG=90°，∴∠DAG=∠CDG， 在△ADE和△DCF中，∠DAG=∠CDGAD=CD∠ADE=∠C∴△ADE≌△DCF (ASA)，∴AE= DF；（2）解：过点N作NP⊥AB于点P，BE、MN相交于点H， ∴∠BPN=∠MPN=90°，∴∠PMN+∠PNM=90°，∵BE⊥MN，∴∠BHM=90°，∴∠MBH+∠PMN=90°，∴∠MBH=∠PNM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°，∴∠A=∠MPN，∴∠ABE∽△PNM，∴BEMN=ABNP，∵∠ABC=∠C=∠BPN=90°，∴四边形BCNP是矩形，∴NP=BC=4，∵AB=3，∴BEMN=ABNP=34；（3）解：∠EFC=∠MNC，理由如下： 过点E作EK∥AB交BC于点K，过点N作NL∥BC交AB于点L，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABKE、BCNL是平行四边形， ∴EK=AB=m，NL=BC=n，∴EKNL=mn，若EFMN=mn，则△EFK∽△NML，∴∠FEK=∠MNL，∵EK∥CD，∴∠AEK=∠D，∵AD∥NL，∴∠D=∠CNL，∴∠AEK=∠CNL，∵AD∥BC∴∠EFC=∠AEF=∠AEK+∠FEK=∠CNL+∠MNL=∠MNC.