2022~2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为( )
A. 6B. 8C. 10D. 8或10
3.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是( )
A. 9，12，15B. 3，4，5C. 6，8，11D. 40，41，9
4.如图，∠C=∠D=90°，AC=AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是( )
A. HLB. SASC. ASAD. AAS
5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC=5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为( )
A. 14B. 16C. 18D. 19
6.如图，在2×3的 正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.下列语句：①全等三角形的周长相等；②面积相等的三角形是全等三角形；③成轴对称的两个图形全等；④角是轴对称图形，角平分线是角的对称轴．其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE//BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°，则∠EAC的度数是( )
A. 40°B. 65°C. 70°D. 75°
9.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C).若线段AD长为正整数，则点D的个数共有
( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
10.如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论：①BP=CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若等腰三角形的一个内角为100∘，则其底角为 ∘．
12.直角三角形的两直角边分别为15cm和20cm，则斜边上的高为____ ____cm．
13.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是__ ___cm2．
14.如图，若∠1=∠2，加上一个条件 ，则有△AOC≌△BOC．
15.如图，在▵ABC中，∠C=90∘，点D，E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AB=15，CD=4，▵ABD的面积为 ．
16.在《九章算术》中有一个问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
17.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90∘，▵ABC的顶点A在▵ECD的斜边DE上．下列结论：①▵ACE≌▵BCD；②∠DAB=∠ACE；③AE+AC=CD；④▵ABD是直角三角形．其中正确的是 (填写序号)．
18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，点E在 线段AC上，BC // DE，AC=DE，CB=CE，求证：∠A=∠D．
20.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与▵ABC关于直线l成轴对称的▵A′B′C′
(2)四边形ABCA′的面积为_____；
(3)在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．
21.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E．
(1)若AC=12，BC=10，求△EBC的周长；
(2)若∠A=40°，求∠EBC的度数．
22.(本小题8分)
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：
(1)BC=AD；
(2) △OAB是等腰三角形．
23.(本小题8分)
如图，一张长方开纸片宽AB=8cm，长BC=10cm.现将纸片折叠，使顶点D落在边BC上的 点F处(折痕为AE)，求EC的长．(注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角)
24.(本小题8分)
【方法探究】
(1)我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系．如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b(a(2)将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图2，a，b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以说明．
25.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．
(1)若AD=12，BD=16，求DE；
(2)已知点F是中线CE的 中点，连接DF，若∠AEC=57°，∠DFE=90°，求∠BCE的度数．
26.(本小题8分)
有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C会受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
27.(本小题8分)
在Rt▵ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，P为线段AB上一动点．
(1)如图1，点D、E分别在AC、BC上(点D不与点A重合)，若P运动到AB的中点，且PD⊥PE．
①求证：AD=CE．
②若AD=7，BE=1，求PD的长．
(2)如图2，点F在BC上，且PC=PF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，若AB=8，在点P运动的过程中，线段PH的长度是否发生变化？若不变，请求出PH的长度；若变化，请说明理由．
28.(本小题8分)
如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP.(注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角)
(1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值；
(2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t= ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、不是 轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系，求出第三边的范围，再范围内取值使得三角形为等腰三角形，再计算周长即可得到答案；
【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为2和4，
假设第三边长为 x ，
则有： 4−2即： 2又∵三角形为等腰三角形，两条边长分别为2和4，
∴ x=4 ，
∴三角形的周长为： 4+4+2=10 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边以及等腰三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】根据勾股定理的逆定理解决此题．
【详解】解：A.根据勾股定理的逆定理，由 92+122=152 ，得9、12与15可以作为直角三角形的三边长，那么A不符合题意；
B.根据勾股定理的逆定理，由 32+42=52 ，得3、4与5可以作为直角三角形的三边长，那么B不符合题意；
C.根据勾股定理的逆定理，由 62+82=102≠112 ，得6、8与11不可以作为直角三角形的三边长，那么C符合题意；
D.根据勾股定理的逆定理，由 92+402=412 ，得9、40与41可以作为直角三角形的三边长，那么D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：
∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB、△ADB都是直角三角形．
又∵AC=AD，AB=AB，
∴△ACB≌△ADB(HL)．
故选A．
5.【答案】B
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2EC=10，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2EC=10，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+AC+BC=26，
∴AB+BC=16，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=16，
故选B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答．
【详解】解：如图，与△ABE成轴对称的格点三角形有△ABF、△BEF、△EBC共3个，
故选：C．
【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，要做到全部找到不漏掉还是不容易的，解题的关键是仔细观察．
7.【答案】B
【解析】①∵全等三角形的所有对应边都相等，
∴全等三角形的周长相等，故①正确；
②∵全等三角形的面积相等，但面积相等的三角形不一定全等，如：面积为6的等边三角形和面积为6的直角三角形就不全等，
∴②错误；
③按照轴对称的定义：“如果两个图形沿某一直线对折后，这两个图形能够完全重合，我们就说这两个图形关于这条直线成轴对称”可知成轴对称的两个图形一定全等，故③正确；
④∵角是轴对称图形，但其对称轴是角平分线所在的直线，而不是角平分线本身，
∴④错误；
综上所述，①、③正确，故选B．
点睛：本题的前三个语句都比较容易判断，而第四个语句的判断必须要清楚一点“对称轴是直线，不是线段，也不是射线”，否则很容易误判第四个语句为正确．
8.【答案】D
【解析】根据平行线的性质，角平分线性质，可求出∠BAE，∠ABC，再利用等腰三角形的性质，求出∠BAC即可解决问题．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵BD // AE，
∴∠BAE=∠ABD，∠E=∠DBC，
∴∠BAE=∠E=35°，∠ABC=70°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=180°−70°−70°=40°，
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=35°+40°=75°，
故选：D．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，平行线的性质，熟记几何图形的性质内容是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】首先过 A 作 AE⊥BC ，当 D 与 E 重合时， AD 最短，首先利用等腰三角形的性质可得 BE=EC ，进而可得 BE 的长，利用勾股定理计算出 AE 长，然后可得 AD 的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：过 A 作 AE⊥BC ，
∵AB=AC ，
∴EC=BE=12BC=4 ，
∴AE= 52−42=3 ，
∵D 是线段 BC 上的动点(不含端点 B 、 C) ．
∴3≤AD<5 ，
∴AD=3 或4，
∵ 线段 AD 长为正整数，
∴AD 的可以有三条，长为4，3，4，
∴ 点 D 的个数共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理计算出 AD 的最小值，然后求出 AD 的取值范围．
10.【答案】C
【解析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．
②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=(4−t)cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4−t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2(4−t)，由此两种情况即可得出结论．
【详解】①在等边△ABC中，AB=BC．
∵点P、Q的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴BP=CQ．
只有当CM=CQ时，BP=CM．
故①错误；
②∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵ AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)．
故②正确；
③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故③正确；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=(4−t)cm，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4−t=2t，t= 43 ，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2(4−t)，t= 83 ，
∴当第 43 秒或第 83 秒时，△PBQ为直角三角形．
故④正确．
正确的是②③④，
故选C．
【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
11.【答案】40
【解析】因为三角形的内角和为180°，所以100°只能为顶角，从而可求出底角．
【详解】解：由题意100°>90°
∴100°为三角形的顶角，
∴底角为：(180°−100°)÷2=40°．
故答案为：40．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
12.【答案】12
【解析】利用勾股定理可得斜边长，再根据面积法即可得到斜边上的高．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为15cm和20cm，
∴斜边 = 152+202=25 (cm)，
设斜边上的高为h cm，依题意得：
12×15×20=12×25h ，
解得h=12，
∴斜边上的高为12cm，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
13.【答案】24
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，
∴斜边=2×5=12cm，
∴面积= 12 ×12×4=24cm2．
故答案为24．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的面积，熟记性质求出斜边的长度是解题的关键．
14.【答案】∠A=∠B
【解析】在△AOC和△BOC中， ∠A=∠B∠1=∠2OC=OC ，
∴△AOC≌△BOC(AAS)．
故答案为∠A=∠B．
15.【答案】30
【解析】先根据角平分线的性质得到DE=DC=4，然后根据三角形面积公式计算△ABD的面积．
【详解】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积 =12× 15×4=30．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16.【答案】4.55
【解析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：设折断处离地面 x 尺，根据题意可得：
x2+32=10−x2 ，
解得： x=4.55 ，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意正确应用勾股定理列出等式进行求解．
17.【答案】①②④
【解析】根据等腰直角三角形的性质得到 CA=CB ， ∠CAB=∠CBA=45∘ ， CD=CE ， ∠E=∠CDE=45∘ ，则根据“SAS”证明 ▵ACE≌▵BCD ，对①进行判断；
利用三角形外角性质得到 ∠DAB+∠BAC=∠E+∠ACE ，可对②进行判断；
利用 CD=CE 和三角形三边关系可对③进行判断；
根据 ▵ACE≌▵BCD 得到 ∠BDC=∠E=45∘ ，可对④进行判断．
【详解】 ∵ ▵ABC 与 ▵ECD 都是等腰直角三角形，
∴ CA=CB ， ∠CAB=∠CBA=45∘ ， CD=CE ， ∠E=∠CDE=45∘ ．
∵ ∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD ，
∴ ∠ACE=∠BCD ．
在 △ACE 与 ▵BCD 中，
CE=CD∠ACE=∠BCDCA=CB
∴ ▵ACE≌▵BCDSAS ，故①正确；
∵ ∠DAC=∠E+∠ACE ，
∴ ∠DAB+∠BAC=∠E+∠ACE ．
∵ ∠E=∠CDE=45∘ ，
∴ ∠DAB=∠ACE ，故②正确；
∵ AE+AC>CE ， CE=CD ，
∴ AE+AC>CD ，故③错误；
∵ ▵ACE≌▵BCD ，
∴ ∠BDC=∠E=45∘ ．
∵ ∠CDE=45∘ ，
∴ ∠ADB=∠ADC+∠BDC=45∘+45∘=90∘ ，故④正确．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查全等三角形的判定与等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法与“全等三角形的旋转模型”是本题的解题关键．
18.【答案】54
【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE.由△QBC≌△PBE(SAS)，推出QC=PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBE=60°，
∵BE=AE，
∴CE=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，
∵∠PBQ=∠CBE=60°，
∴∠QBC=∠PBE，
∵QB=PB，CB=EB，
∴△QBC≌△PBE(SAS)，
∴QC=PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE= 52 ，∠A=30°，
∴PE= 12 AE= 54 ，
∴CQ的最小值为 54 ．
故答案为 54
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
19.【答案】证明：∵BC // DE，
∴∠BCA=∠CED，
在△ABC和△DCE中， AC=DE∠BCA=∠CEDBC=CE ，
∴△ABC≌△DCE(SAS)，
∴∠A=∠D．

【解析】根据平行线的性质和全等三角形的判定可以判断△ABC≌△DCE，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
20.【答案】【小题1】
解：(1)作出点A，点B关于l的对称点A′、B′，连结CA′，A′B′，B′C，
如图所示，△AˈBˈCˈ即为所求；
【小题2】
解：
(2)四边形ABCAˈ的面积=4×4 −12× 2×1 −12× 1×4 −12× 3×3=16−1−2− 92 = 172 ；
故答案为： 172 ；
【小题3】
解：
(3)∵点B与点B′关于l对称，
连接ABˈ交直线l与点P，
∴PB=PB′，
∴PA+PB= PA+PB′，
则PA+PB长的最短值=ABˈ，
∴ABˈ = 12+42= 17 ；
∴这个最短长度为 17 ．

【解析】1. 根据题意作出点A，点B关于L的对称点A′、B′，连结CA′，A′B′，B′C即可
2. 用割补法利用矩形面积减去3个直角三角形面积求解即可得到结论；
3. 作出图形，根据勾股定理求得结果即可．
21.【答案】【小题1】
解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，
∴△EBC的周长=EB+EC+BC=EA+EC+BC=AC+BC=12+10=22．
【小题2】解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=40°，∴∠ABC= 180∘−40∘2=70∘ ，
∵EA=EB，∴∠EBA=∠A=40°，
∴∠EBC=∠ABC−∠EBA=70°−40°=30°．

【解析】1. 根据线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进一步即可求得结果；
2. 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用等边对等角求出∠EBA的度数，即可求出结果．
22.【答案】【小题1】
证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴△ABC与△BAD是直角三角形，
在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°，
∴△ABC≌△BAD(HL)
∴BC=AD．
【小题2】解：
∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB．
∴△OAB 是 等腰三角形．

【解析】1. 根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．
2. 根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
23.【答案】解：∵四边形 ABCD 是矩形， AB=8cm ， BC=10cm ，
∴ AB=CD=8cm ， AD=BC=10cm ．
设 EC=xcm ，则 DE=8−xcm ．
由折叠性质可知， EF=ED=8−xcm ， AF=AD=10cm ．
∵在 Rt▵ABF 中， BF= AF2−AB2= 102−82=6cm ，
∴ CF=BC−BF=4cm ．
∵在 Rt▵CEF 中， CF2+CE2=EF2 ，
∴ 42+x2=8−x2 ，
解得 x=3 ，
∴ EC=3cm ．

【解析】在 Rt▵ABF 中，先根据勾股定理求得 BF= AF2−AB2= 102−82=6cm ，则 CF=BC−BF=4cm ，设 EC=xcm ，则 EF=DE=8−xcm ，在 Rt▵CEF 中，根据勾股定理得到 42+x2=8−x2 ，从而解方程即可．
24.【答案】【小题1】
解：【方法探究】大正方形的面积 =a+b2=a2+2ab+b2 ；
另一方面，大正方形的面积 =4×12ab+c2=2ab+c2 ；
∴ a2+b2=c2 ，
故答案为： a2+2ab+b2 ， 2ab+c2 ， a2+b2=c2 ；
【小题2】
【方法迁移】结论仍然成立．
理由：如图2中，过点F作 FH⊥CD 于点H．
这个几何图形的 面积 = 正方形 BCHF 的面积 + 正方形 ETHD 的面积 + 2个直角三角形的面积 = 正方形 ABJE 的面积 + 2个直角三角形的面积，
∴ a2+b2+2×12ab=c2+2×12ab ，
∴ a2+b2=c2 ．

【解析】1. 【方法探究】根据大正方形的面积可以表示为 a+b2=a2+2ab+b2 ，又可以表示为 4×12ab+c2=2ab+c2 ，可得结论
2. 【方法迁移】过点F作 FH⊥CD 于点H.根据这个几何图形的面积可以表示为正方形 BCHF 的面积 + 正方形 ETHD 的面积 + 2个直角三角形的面积，也可以表示为正方形 ABJE 的面积 + 2个直角三角形的面积，可得结论．
25.【答案】【小题1】
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB= AD2+BD2 =20，
∵CE是中线，
∴DE是斜边AB上的中线，
∴DE= 12 AB=10；
【小题2】
解：∵DF⊥CF，F是CF的中点，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=57°，则∠BCE=19°．

【解析】1. 根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论
2. 由DE=DC得到∠DEC=∠DCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
26.【答案】【小题1】
解：海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD= 300×400500 =240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响；
【小题2】
解：当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED= EC2−CD2 =70(km)，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7(小时)，
即台风影响该海港持续的时间为7 h．

【解析】1. 利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响
2. 利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
27.【答案】【小题1】
①证明：如图1中，连接 CP ，
∵ AC=BC ， ∠ACB=90∘ ，
∴ Rt▵ABC 为等腰直角三角形，
∵P为 AB 中点，
∴ CP⊥AB ， ∠PCE=∠PCA=∠A=45∘ ， CP=PA=PB ，
∵ PD⊥PE ，
∴ ∠APD+∠CPD=∠CPE+∠CPD=90∘ ，
∴ ∠APD=∠CPE ，
在 ▵APD 和 ▵CPE 中，
∠A=∠PCEAP=CP∠APD=∠CPE ，
∴ ▵APD≌▵CPE(ASA) ，
∴ AD=CE ；
②解：如图1中，连接 DE ，
∵ ▵APD≌▵CPE ，
∴ PD=PE ， AD=CE ，
∵ AC=BC ，
∴ BE=CD ，
∵ AD=7 ， BE=1 ，
∴ CE=AD=7 ， BE=CD=1 ，
∴ DE2=CD2+CE2=12+72=50 ，
∵ DE2=PE2+PD2 ，
∴ PE2+PD2=50 ，
∵ PD=PE ，
∴ PD=5 ．
【小题2】
解：PH的值不变，PH=4．
理由：如图2中，作 CQ⊥AB ，垂足为Q，
∵ PC=PF ，
∴ ∠PCF=∠PFC ，
∴ ∠PCQ+∠QCB=∠FPH+∠B ，
∵ AC=BC ， ∠ACB=90∘ ，
∴ ∠B=45∘ ，
∵ CQ⊥AB ，
∴ ∠QCB=∠B=45∘ ，
∴ ∠PCQ=∠FPH ，
在 ▵CPQ 和 ▵PFH 中，
∠CQP=∠PHF=90∘∠PCQ=∠FPHCP=PF ，
∴ ▵CPQ≌▵PFH(AAS) ，
∴ PH=CQ ，
∵ AC=BC ， ∠ACB=90∘ ， CQ⊥AB ，
∴ CQ=12AB=4 ，
∴ PH=4 是定值．

【解析】1.
①如图1中，连接 CP ，根据等腰直角三角形的 判定与性质证明 ▵APD≌▵CPE(ASA) ，即可证明 AD=CE ；
②利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论
2. PH 的值不变， PH=4 .如图2中，作 CQ⊥AB ，垂足为Q，证明 ▵CPQ≌▵PFH(AAS) ，推出 PH=CQ ，可得结论．
28.【答案】【小题1】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠C=∠D=90∘ ， AB=CD=13 ， BC=AD=5 ， AB/​/CD ，
∴ ∠DPA=∠PAB ，
由翻折性质可知： ∠DPA=∠EPA ，
∴ ∠BPA=∠PAB
∴BP=AB=13 ，
在 Rt▵BCP 中，由勾股定理得：
CP= BP2−BC2= 132−52=12 ，
∴ DP=CD−CP=13−12=1 ，
∵ DP=t ，
∴ t=1 ．
【小题2】
存在，分两种情况：
如图③，当点E在长方形内部时：
作 FG⊥CD 于G，设 BF=EF=x ，则 AF=AB−BF=13−x
由翻折可知， AE=AD=5 ， PE=PD=t
∴ 在 Rt▵AEF 中，由勾股定理可得： EF2+AE2=AF2 ，即 x2+52=13−x2 ，
解得： x=7213 ，即 EF=7213 ， AF=13−x=13−7213=9713
∴PF=PE+EF=t+7213
在 ▵AEF 与 ▵FGP 中：
∠AFE=∠FPG∠AEF=∠FGPAE=FG
∴ ▵AEF≌▵FGPAAS
∴PF=AF
∴ t+7213=9713 ，解得： t=2513 ．
如图④，当点P运动至与点C重合时，在 ▵AEF 与 ▵PBF 中：
∠AFE=∠PFB∠E=∠BEA=BP
∴ ▵AEF≌▵PBFAAS ， EF=BF
∴t=PD=CD=13 ．
∴ 综上，当 t=2513 或 t=13 时，有 EF=BF ．
【小题3】
52 或10

【解析】1. 由长方形性质得知 ∠C=∠D=90∘ ， AB=CD=13 ， BC=AD=5 ， AB/​/CD ，再证 ∠BPA=∠PAB ，则 BP=AB=13 ，然后由勾股定理得 CP=12 ，则 DP=1 ，由此得出结论．
2. 分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答．
3.
过点E作 MN/​/AD 交AB于点M，交CD于点N．
如图⑤，点E在长方形内部：则 EM=3 ， EN=AD−EM=2
在 Rt▵AME 中，由勾股定理得：
AM= AE2−EM2= 52−32=4
∴PN=AM−DP=4−t
∴ 在 Rt▵PNE 中，由勾股定理得：
PE2=PN2+NE2 ，即 t2=4−t2+22
解得： t=52
如图⑥，点E在长方形外部：则 EM=3 ， EN=AD+EM=8
在 Rt▵AME 中，由勾股定理得：
AM= AE2−EM2= 52−32=4
∴PN=DP−AM=t−4
∴ 在 Rt▵PNE 中，由勾股定理得：
PE2=PN2+NE2 ，即 t2=t−42+82
解得： t=10
∴ 综上，若点E到直线AB的距离等于3， t=52 或 t=10 ．