2022-2023学年江苏省苏州市吴江区青云实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市吴江区青云实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图各交通标志中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列说法正确的是(    )

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 平行四边形的对角互补
C. 有两组对角相等的四边形是平行四边形
D. 平行四边形的对角线平分每一组对角

3.  若分式的值为零，则的值为(    )

A. 或 B.  C.  D.

4.  如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若将分式中的，的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值(    )

A.  B.  C. 变为相反数 D. 不变

6.  若，则的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，平分，于点，点是的中点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结、，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  平行四边形______中心对称图形．填“是”或“不是”

12.  如果分式有意义，那么的取值范围是        ．

13.  四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是______．

14.  若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是        ．

15.  若的值为整数，则正整数的值为______ ．

16.  如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______ ．

17.  如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是______．

18.  如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接在下列结论中：
；
≌；
．
其中正确的结论序号是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：
；
．

20.  本小题分
先化简再求值，再从，，中选取一个适当的数代入求值．

21.  本小题分
如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
作出关于坐标原点成中心对称的；
作出以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到的．

22.  本小题分
按如图所示的方法分别以和为边作正方形和正方形，连接、，求证：≌．

23.  本小题分
某人驾车从地到地，出发小时后车子出了点毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他将车速增加到后来的倍，结果按时到达，已知、两地相距千米，求某人原来驾车的速度．

24.  本小题分
如图：在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，▱中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒．
在运动过程中，四边形的形状是______；
______时，四边形是矩形；
求当等于多少时，四边形是菱形．

26.  本小题分
如图，已知．
用尺规作图作中点，中点，并连接保留作图痕迹
我们知道，三角形的中位线平行于第三条边，并且等于第三条边的一般，请证明中位线定理．

27.  本小题分

已知：在中，，，点为直线上一动点点不与、重合以为边作正方形，连接．

如图，当点在线段上时，求证：．

如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出、、三条线段之间的关系；

如图，当点在线段的反向延长线上时，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变：

请直接写出、、三条线段之间的关系．

若连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】A.不是中心对称图形，故此选项正确；
B、、是中心对称图形，故B、、选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的定义可直接选出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
A错误，不符合题意；
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
B错误，不符合题意；
C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
C正确，符合题意；
D.菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，
D错误，不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定分别对各个说法进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：分式的值为零，
，
解得：．
故选：．
根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论．
此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将绕着点顺时针旋转后，得到，
，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
若将分式中的，的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值不变，
故选：．
利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，即，
．
故选：．
将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．
本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形的周长，
故选：．
由矩形的性质可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，，即可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长，交于点，
平分，，
，，
，，
，
，
点是的中点，，
为中位线，
．
故选：．
根据角平分线的性质构造辅助线，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，
．
，
．
点为的中点，
，
，
．
，
，
．
．
故选：．
根据菱形的性质得出，进而得出，根据含度角的直角三角形的性质，以及勾股定理解，即可求解．
本题考查了菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

在矩形中，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
则，
，
是的垂直平分线，
，
，
连接，则，
，
的最小值为，
即的最小值为，
故选：．
连接，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接、，则，再根据勾股定理求解即可．
本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
 

11.【答案】是 

【解析】解：平行四边形绕着对角线的交点旋转能够与原来的图形重合，故平行四边形是中心对称图形．
故答案为：是．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

12.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义的条件：分母不等于，列不等式求解即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
 

13.【答案】菱形 

【解析】解：连接、，
、分别是、的中点，
．
同理，，，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：菱形．
连接、，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
 

14.【答案】且． 

【解析】解：
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
解得：，
，
，
，即，
，
，
的取值范围：且．
故答案为：且．
首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是正确得出分母不为零．
 

15.【答案】，， 

【解析】解：，
由题意得：为的约数，
即：，，，，
正整数的值为：，，，
故答案为：，，．
先把元分式变形，再根据整除的性质求解．
本题考查了分式的值，理解整除的意义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：菱形的周长为，面积为，
，，
分别作点到直线、的垂线段、，
，
，
．
故答案为：．
直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确得出是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且，
当点在上除点、的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点的运动轨迹是线段，如图所示，

当时，取得最小值，
四边形是矩形，
，，，
，
为的中点，
，
连接、，作于，作于，
则的最小值为的长，是的中位线，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
设，则，
由勾股定理得：
，
即，
解得：，
，
．
故答案为：．
由中位线定理可得点的运动轨迹是线段，再由垂线段最短可得当时，取得最小值，连接、，作于，作于，则的最小值为的长，是的中位线，由勾股定理求出、、的长，由三角形中位线定理得出的长，设，则，由勾股定理得，解得，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过作于点，过作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，故正确；
矩形为正方形；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
，，
，
，故正确．
故答案为：．
过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故正确；推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，推出≌，故正确；可得，所以，故正确．
本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

20.【答案】解：



，
要使分式有意义，必须且，
所以不能为和，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，根据分式有意义的条件求出不能为和，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：所画图形如下所示，即为所求；
所画图形如下所示，即为所求．
 

【解析】根据的各顶点关于原点的中心对称，得出、、的坐标，连接各点，即可得；
让三角形的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点，顺次连接即可．
本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的中心对称问题和平移的性质，考查了利用直角坐标系解决问题的能力，关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数．
 

22.【答案】证明：四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】由“”可证≌．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
 

23.【答案】解：设这个人原来驾车的速度为，
则：，
解得：，
经检验：满足题意，
答：这个人原来驾车的速度为． 

【解析】关键描述语为：“结果按时到达”；本题的等量关系为：原计划用的时间后来走剩余路程所用时间，把相应数值代入即可求解．
考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：在菱形中，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
在菱形中，，
，
，
在矩形中，，
，
在中，，
解得：． 

【解析】由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；
在菱形中，，可得，在中，有，即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
 

25.【答案】平行四边形   

【解析】解：四边形是平行四边形；理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
时，四边形是矩形；理由如下：
若四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，或舍去，
；故答案为：；
依题意得：平行且等于，
四边形是平行四边形，
故AE时，四边形是菱形．
又，
，
过作于，如图所示：
则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即时，四边形是菱形．
由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，即可得出四边形是平行四边形；
若四边形是矩形，则，得出，由平行四边形的面积得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
当时，四边形是菱形．过作于，则，由勾股定理求出，得出，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：如图，为所作；

已知：为的中位线，如图，

求证：，．
证明：延长到点使，如图，
为的中位线，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
而，
，． 

【解析】分别作和的垂直平分线得到的中点，的中点；
先写出已知、求证，延长到点使，如图，先证明≌得到，，再证明四边形为平行四边形得到，，于是有，．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形中位线定理．
 

27.【答案】证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
；
由≌可得，
，
；
与同理可得，
所以，；
与同理可得，，
所以，；
，，
，
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
则为直角三角形，
正方形中，为中点，
，
在正方形中，，，
，
是等腰三角形． 

【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质．
根据等腰直角三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，，然后利用同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，从而得证；根据全等三角形对应边相等可得，从而求出；
与同理可得，然后结合图形可得；
与同理可得，然后结合图形可得；
根据等腰直角三角形的性质求出，再根据邻补角的定义求出，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再根据正方形的对角线相等求出，从而得到是等腰三角形．