2022~2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(9月)（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(9月)（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60∘，那么这个三角形一定为
( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE,FC//AB，若AB=7,CF=4，则BD的长是
( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
4.如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a // b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2=67°，则∠1=( )
A. 78°B. 67°C. 46°D. 23°
5.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则下列条件中，无法判定▵ABE≌▵ACD的是
( )
A. AD=AEB. AB=AC
C. BE=CDD. ∠AEB=∠ADC
6.到▵ABC三个顶点距离相等的点是▵ABC的
( )
A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点D. 三边垂直平分线的交点
7.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=6，BC=4，DE=2，则ΔABC的面积为
( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8.如图，D为等边▵ABC内一点，DB=DA，BF=AB，∠1=∠2，则∠BFD的度数为
．( )
A. 15∘B. 20∘C. 30∘D. 45∘
9.如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是
( )
A. 50B. 62C. 65D. 68
10.如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=11，AC=5，则BE的值为
( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在▵ABC中，AB=AC，∠B=50∘，则∠A的度数为 ．
12.等腰三角形的两条边长分别为3，7，则等腰三角形的周长为 ．
13.在▵ABC中，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若▵BCE的周长为17，则AC的长为 ．
14.数轴上表示1和3的点分别为A和B，点B关于点A的对称点为点C，则点C表示的数是 ．
15.如图，方格纸中是4个相同的正方形，婉婷同学在这张方格纸上画了∠1、∠2、∠3三个角，那么∠1+∠2+∠3= 度．
16.如图，AD⊥BC于D，BE=AC，DE=DC，则∠ABC的度数为 °.
17.如图：∠DAE=∠ADE=15∘，DE//AB，DF⊥AB，若AE=12，则DF等于 ．
18.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AB=5cm，AD=BC=3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动时间为ts，当▵ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，点F的运动速度为 cm/s．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).每个小正方形的边长为1．
(1)在图中作出△ABC关于直线MN对称的 △A1B1C1(要求A与A1，B与B1，C与C1相对应)；
(2)在直线MN上找一点P，使得△PAC的周长最小；
(3)求△ABC的 面积．
20.(本小题8分)
已知：如图，AB//ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC.求证：BC=EF．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=20°，∠ACB=65°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
(1)求∠DAF的度数．
(2)若BC的长为50，求△DAF的周长．
22.(本小题8分)
如图，等边▵ABC中，D是AC边的中点，DH⊥BC于H，
(1)求证：BD⊥AC；
(2)求证：CH=14BC．
23.(本小题8分)
如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠B=50∘，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF=DB．
(1)求证：DC=DE；
(2)求证：▵CDF≅▵EDB；
(3)求∠ADF的度数．
24.(本小题8分)
等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
25.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)试说明AD垂直平分EF；
(2)若AB=6，AC=4，S△ABC=15，求DE的长．
26.(本小题8分)
已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90∘，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
(1)MD=MB；
(2)MN⊥BD；
(3)当∠BCD= 时，▵BMD是等腰直角三角形．(直接写答案)
27.(本小题8分)
如图，▵ABC中，∠B、∠C的 平分线交于O点，过O点作EF/​/BC交AB、AC于E、F．
(1)如图①，若AB≠AC，图中有哪几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若▵ABC中，∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作EO//BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?有哪几个?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．
28.(本小题8分)
直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，直线l过点C．
(1)当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，▵ACD与▵CBE是否全等，并说明理由；
(2)当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当▵CMN为等腰直角三角形时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】根据轴对称的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【详解】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．
故选：A．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定，属于基础知识．
3.【答案】C
【解析】先证明△ADE≌△CFE(AAS)，得AD=CF=4，然后由BD=AB−AD求解即可．
【详解】解：∵FC /​/ AB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△ADE与△CFE中，
∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE ，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB−AD=7−4=3，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】在△ABC中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由直线a // b，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠1的度数．
【详解】解：在△ABC中，AB=AC，∠ACB=67°，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−67°−67°=46°．
又∵直线a // b，
∴∠1=∠BAC=46°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是综合运用所学知识求出∠BAC的度数．
5.【答案】D
【解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、正确，符合判定AAS；
B、正确，符合判定ASA；
C、正确，符合判定AAS；
D、不正确，三角形全等必须至少有一条边．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，是一道较为简单的全等三角形判定题目，强调AAA不能判定两三角形全等．
6.【答案】D
【解析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．
【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， DE=2
∴DF=DE=2，
∵ AB=6 ， BC=4 ，
∴S△ABC=S△ABD+S△CBD= 12×6×2+12×4×2=10
故选：D
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】连接CD，
在等边 ▵ABC 中， AB=BC=AC ．
∵ AB=BF ，
∴ BF=AB=BC ，
在 ▵FBD 和 △CBD 中， BF=BC∠1=∠2BD=BD ，
∴ ▵FBD ≌ ▵CBD(SAS) ，
∴ ∠BFD=∠BCD ，
在 ▵ACD 和 ▵BCD 中， AC=BCCD=CDBD=AD ，
∴ ▵ACD ≌ ▵BCD(SSS) ，
∴ ∠ACD=∠BCD ，
∵ ∠ACB=60∘ ，
∴ ∠ACD=∠BCD=∠BFD=30∘ ．
故选 C ．
9.【答案】A
【解析】由 AE⊥AB ， EF⊥FH ， BG⊥AG ，可以得到 ∠EAF=∠ABG ，而 AE=AB,∠EFA=∠AGB ，由此可以证明 ▵EFA≅▵ABG ，所以 AF=BG ， AG=EF ；同理证得 ▵BGC≅▵DHC ， GC=DH ， CH=BG ，故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 ，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】∵ AE⊥AB 且 AE=AB ， EF⊥FH ， BG⊥FH ，
∴ ∠EAB=∠EFA=∠AGB=90∘ ，
∵ ∠EAF+∠AGB=90∘ ， ∠ABG+∠BAG=90∘ ，
∴ ∠EAF=∠ABG ，
∴ AE=AB,∠EFA=∠AGB ， ∠EAF=∠ABG ，
∴ ▵EFA≅▵ABG ，
∴ AF=BG ， AG=EF ，
同理证得 ▵BGC≅▵DHC ， GC=DH ， CH=BG ，
故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 ，
故 S=126+4×16−3×4−6×3=50 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键．
10.【答案】D
【解析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
【详解】如图，连接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE ，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11cm，AC=5cm，
∴BE=3cm．
故应选D．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11.【答案】80∘
【解析】根据等腰三角形的性质，得出 ∠B=∠C=50∘ ，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
【 详解】解：∵ AB=AC ， ∠B=50∘ ，
∴ ∠B=∠C=50∘ ，
∴ ∠A=180∘−∠B−∠C=80∘ ．
故答案为： 80∘ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等．
12.【答案】17
【解析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．
【详解】解：当3是腰时，则 3+3<7 ，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则该等腰三角形的周长为 3+7×2=17 ．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
13.【答案】8
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据△BCE的周长等于17，求出AC的长．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
由题意得，BC+CE+BE=17，
则BC+CE+AE=17，即BC+AC=17，又BC=9，
∴AC=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】首先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
【详解】解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和3，点B关于点A的对称点是点C
∴AB=3−1，AC=1−x
根据题意AB=AC，
∴3−1=1−x
解得x=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
15.【答案】135
【解析】由题意可知△ABC≌△EDC，
∴∠3=∠BAC，
又∵∠1+∠BAC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵DF=DC，
∴∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135度，
故答案为135．
16.【答案】45
【解析】根据题意得出∠ADC=∠BDE=90°，然后利用直角三角形全等的判定得出Rt△ADC≌Rt△BDE，再由等边对等角即可得出结果．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDE中，
∵AC=BE，DC=DE，
∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL)，
∴AD=BD，
∵∠BDE=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
故答案为45．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边对等角的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
17.【答案】6
【解析】过点 D 作 DG⊥AC 于点 G ，根据等角对等边以及三角形外角的性质可得 AE=ED=12 ， ∠DEC=30∘ ，然后根据 30∘ 所对的直角边等腰斜边的一半可得 DG 的长，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得结果．
【详解】解：过点 D 作 DG⊥AC 于点 G ，
∵ ∠DAE=∠ADE=15∘ ，
∴ AE=ED=12 ， ∠DEC=30∘ ，
∵ ∠DGE=90∘ ，
∴ DG=12ED=6 ，
∵ DE//AB ，
∴ ∠FAD=∠ADE ，
∴ ∠FAD=∠DAE ，
∴ AD 平分 ∠BAC ，
∵ DF⊥AB ，
∴ DF=DG=6 ，
故答案为： 6 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，含 30∘ 角的直角三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的性质，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键．
18.【答案】1或 65
【解析】设点 F 的运动速度为 xcm/s ，由题意可得 AE=tcm,BE=(5−t)cm,BF=xtcm ， ▵ADE 与以 B ， E ， F 为顶点的三角形全等时分为两种情况： ▵ADE≅▵BEF,▵ADE≅▵BFE ，再利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：设点 F 的运动速度为 xcm/s ，
由题意可得 AE=tcm,BE=(5−t)cm,BF=xtcm ，
∵ ∠DAB=∠ABC
∴ ▵ADE 与以 B ， E ， F 为顶点的三角形全等时可分为两种情况：
①当 ▵ADE≅▵BEF 时，
∴ AE=BF ，
∴ t=xt
∴ x=1
∴此时点 F 的运动速度为 1cm/s ；
②当 ▵ADE≅▵BFE 时，
AE=BE,AD=BF=3 ，
∴ t=5−t,xt=3 ，
∴ x=65,t=52 ，
此时点 F 的运动速度为 65cm/s ，
故答案为：1或 65 ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分情况讨论．
19.【答案】【小题1】
解：(1)根据题意作图，△A1B1C1即为所求；
【小题2】
解：
(2)如图，连AC1交MN于点P，点P即为所求；
【小题3】(3) △ABC的 面积为 122+3×5−12×2×1−12×4×3=112 ．

【解析】1. 根据题意画图即可；
2. 利用轴对称求最短路线的方法分析得出答案
3. 利用割补法进行计算即可．
20.【答案】证明：∵AB // ED，
∴∠A=∠D，
又∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC与△DEF中 AB=DE∠A=∠DAC=DF ，
∴△ABC≌△DEF．
∴BC=EF．

【解析】由已知AB // ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21.【答案】【小题1】解：
∵∠ABC=20°，∠ACB=65°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=95°．
∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA=DB，FA=FC，
∴∠DAB=∠ABC=20°，∠FAC=∠ACB=65°，
∴∠DAF=∠BAC−∠DAB−∠FAC=10°．
【小题2】
由(1)可知DA=DB，FA=FC，
∴△DAF的周长=DA+DF+FA=DB+DF+FC=BC=50．

【解析】1. 根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，得到∠DAB=∠ABC=20°，∠FAC=∠ACB=65°，结合图形计算，得到答案；
2. 根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
22.【答案】【小题1】
解：证明：(1)∵△ABC为等边三角形，D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
即BD⊥AC；
【小题2】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，AC=BC，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90°，
∴CH= 12 DC，
而CD= 12 AC，
∴CH= 14 AC，
∴CH= 14 BC．

【解析】1. 直接根据等边三角形的性质得到结论
2. 根据等边三角形的性质得到∠C=60°，AC=BC，由DH⊥BC得到∠DHC=90°，根据含30°的直角三角形三边的关系得CH= 12 DC，然后利用CD= 12 AC即可得到结论．
23.【答案】【小题1】
证明：∵ AD 为 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB ， ∠ACB=90∘ ，
∴ DC=DE ；
【小题2】
在Rt ▵CDF 和Rt ▵EDB 中，
DC=DEDF=DB ，
∴ ▵CDF≅▵EDB (HL).
【小题3】
解：∵ ∠ACB=90∘ ， ∠B=50∘ ，
∴ ∠CAB=90∘−50∘=40∘ ，
∵ AD 为 ∠BAC 的平分线，
∴ ∠CAD=∠BAD=20∘ ，
∵ ▵CDF≅▵EDB ，
∴ ∠CFD=∠B=50∘ ，
∵ ∠CFD=∠ADF+∠CAD ，
∴ ∠ADF=50∘−20∘=30∘ ．

【解析】1. 利用角平分线的性质定理证明即可；
2. 根据HL证明三角形全等即可
3. 求出 ∠CDF=50∘ ， ∠CAD=20∘ ，再利用三角形的外角的性质，可得结论．
24.【答案】解：△APQ为等边三角形．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
在△ABP与△ACQ中，
∵ AB=AC∠ABP=∠ACQBP=CQ ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．

【解析】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．
25.【答案】【小题1】
(1)∵ AD 平分 ∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC ，
∴∠AED=AFD=90∘ ，
在 Rt▵ADE 和 Rt▵ADF 中，
AD=ADDE=EF ，
∴ Rt▵ADE ≌ Rt▵ADF HL.
∴AE=AF.
又 ∵∠EAD=FAD,AO=AO
∴ ▵AEO ≌ ▵AFO
∴EO=FO,∠AOE=∠AOF=90∘,
∴AD 是线段 EF 的垂直平分线；
【小题2】
S▵ABC=S▵ABD+S▵ACD=15.
∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=15,
∵AB+AC=10,DE=DF.
∴12⋅AB+AC⋅DE=15,
∴DE=DF=3.

【解析】1. 根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
2. 根据 S▵ABC=S△ADB+S△ADC=15, 可以求得 DE 的长度．
26.【答案】【小题1】
证明：∵ ∠ABC=∠ADC=90∘ ，M是 AC 的中点，
∴ MB=12AC,MD=12AC ，
∴ MD=MB ；
【小题2】
由(1)可知 MD=MB ，
∴ ▵MBD 是等腰三角形，
∵N是 BD 的中点，
∴ MN⊥BD
【小题3】
45∘

【解析】1. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明
2. 根据等腰三角形的三线合一证明
3.
当 ∠BCD=45∘ 时， ▵BMD 是等腰直角三角形，
∵ ∠ABC=∠ADC=90∘ ，M是 AC 的中点，
∴ MB=MD=CM=12AC ，
∴ ∠CDM=∠DCM ， ∠BCM=∠CBM ，
∵ ∠AMD=∠CDM+∠DCM=2∠DCM ， ∠AMD=∠BCM+∠CBM=2∠BCM ，
∴ ∠BMD=2∠BCD ，
∵ ∠BCD=45∘ ，
∴ ∠BMD=90∘ ，
∴ ▵BMD 是等腰直角三角形，
故答案为： 45∘ ．
27.【答案】【小题1】
解： ▵BEO 、 ▵CFO 为等腰三角形， EF=BE+CF ，
理由：∵ OB 、 OC 平分 ∠ABC 、 ∠ACB ，
∴ ∠ABO=∠OBC ， ∠ACO=∠OCB ，
∵ EF/​/BC ，
∴ ∠EOB=∠OBC=∠EBO ， ∠FOC=∠OCB=∠FCO ，
∴ ▵BEO 、 ▵CFO 为等腰三角形，
∴ EO=EB ， FO=FC ，
∴ EF=EO+OF=BE+CF ；
【小题2】
▵BEO 和 ▵CFO 是等腰三角形， EF=BE−CF .理由如下：
如图②，
∵ ∠ABC 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于O，
∴ ∠ABO=∠OBC ， ∠ACO=∠OCG ，
∵ EO//BC ，
∴ ∠FOC=∠OCG ， ∠OBC=∠EOB ，
∴ ∠ACO=∠FOC ， ∠ABO=∠EOB ，
∴ ▵CFO 是等腰三角形， ▵BEO 是等腰三角形，
∴ FO=FC ， EO=BE ，
∴ EF=EO−FO=BE−CF ．

【解析】1. 由 EF/​/BC ， ∠B 、 ∠C 的平分线交于O点，可得 ∠EOB=∠OBC=∠EBO ， ∠FOC=∠OCB=∠FCO ，于是得到 ▵BEO 、 ▵CFO 为等腰三角形，则 EO=EB ， FO=FC ，得到 EF=EO+OF=BE+CF ；
2. 根据平行线的性质和角平分线定义得到 ▵BEO 和 ▵CFO 是等腰三角形，则 FO=FC ， EO=BE ，得到 EF=EO−FO=BE−CF ．
28.【答案】【小题1】
解：(1)△ACD与△CBE全等．
理由如下：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBCA=CB ，
∴△ACD≌△CBE(AAS)
【小题2】
由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8−t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6−3t，
点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，
当点N沿C→B路径运动时，由题意得，8−t=3t−6，
解得，t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8−t=18−3t，
解得，t=5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形；

【解析】1. 根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE
2. 分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；