2022~2023学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区八年级上学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区八年级上学期期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.3的平方根是( )
A. 3或−3B. 3C. 3D. 3或− 3
3.三角形中，到三边距离相等的点是( )
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点
4.以下数组中，其中是勾股数的是( )
A. 2.5 ，6，6.5B. 9，40，41C. 1， 2，1D. 2，3，4
5.已知二次根式 1−a，则下列各数中能满足条件的a的值是
( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是
( )
A. HLB. SSSC. SASD. ASA
7.△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac则△ABC是
( )
A. 等边三角形B. 腰底不等的等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
8.如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度cm．( )
A. 52B. 6 73C. 60D. 30
9.有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④− 17是17的平方根.其中正确的有
( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
10.如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45∘,AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF.若DF=3，则BE的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.四个实数−2，0，− 2，3中，最小的实数是 ．
12.有理数12.6013精确到百分位的结果为 ．
13.有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品： ．
14.12的平方根为 ．
15.计算： 12−−12−2−3−π0= ．
16.如图，在▵ABC中，AB=AC=10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若▵DBC的周长为18cm，则BC的长为 ．
17.如图，在矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是 ．
18.如图，在▵ABC中，∠BAC=30∘，且AB=AC,P是▵ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4 2，则BC2= ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.求满足下列各式的未知数x的值．
(1)4x−1=100
(2)x+23=−27
20.计算：
(1)12 12−3 13+ 6÷ 3
(2)3+ 22− 2+1+ 22
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
正数x的两个平方根分别为6−a和2a+3．
(1)求a的值；
(2)求9−x这个数的立方根．
22.(本小题8分)
如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
23.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)求证：ΔABE≅ΔDBE；
(2)若∠A=100∘，∠C=50∘，求∠AEB的度数．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE//CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
25.(本小题8分)
在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，内角均为直角，▵ABC的三个顶点均在“格点”处．
(1)将▵ABC平移，使得点B移到点B′的位置，画出平移后的▵A′B′C′；
(2)利用正方形网格画出▵ABC的高AD；
(3)连接BB′、CB′，利用全等三角形的知识证明BB′⊥AC．
26.(本小题8分)
在▵ABC中，AB=20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动．
(1)若∠B=60∘，求出发几秒后，▵BDP为等边三角形？
(2)若∠B=60∘，求出发几秒后，▵BDP为直角三角形？
(3)若AB=AC，点Q与点P同时出发，其中点Q以acm/s(a>0且a≠2)的速度从C点出发在线段CA上运动，当a为何值时，▵BPD和▵CQP全等？
27.(本小题8分)
主观题
(1)如图，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距200米，C，D为两个菜园(看作两个点)，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=80米，BC=70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．
(2)借助上面的 思考过程，请直接写出当028.(本小题8分)
如图1.等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD延长线上．且AB=AE，CF=EF．
(1)在图1中，证明：∠BFC=∠BAC；
(2)若∠BAC=60∘，如图2.探究线段AF、BF、EF之间的数量关系，并证明；
(3)若∠BAC=90∘且BD平分∠ABC，如图3，求EFBD的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：3的平方根是 ± 3 ．
故选：D．
直接根据平方根的概念求解．
本题主要考查了求一个数的平方根，熟知平方根的定义是解题的关键：对于一个正数b，如果 a2=b ，那么a就叫做b的平方根，0的平方根是0，注意一个正数的平方根有两个．
3.【答案】C
【解析】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
此题主要考查角平分线的性质，注意区别三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，此处容易混淆．
4.【答案】B
【解析】解：A选项， 2.5 ， 6.5 不是正整数，不符合题意；
B选项， 92=81 ， 402=1600 ， 412=1681 ，92+402=412符合题意；
C选项， 2 不是正整数，不符合题意；
D选项， 22=4 ， 32=9 ， 42=16 ，22+32≠42不符合题意；
故选： B ．
勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．根据直角三角形中斜边的长度大于另外两条直角边中任意一条边的长度，且斜边的平方等于两条直角边平方的和，即可求出答案．
本题主要考查勾股定理的逆定理，根据两条较短边的平方和等于较长边的平方，则这三条边能组成直角三角形，理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得， 1−a≥0 ，
a≤1 ，
故选：D．
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可得 1−a≥0 ，进行计算即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件并正确计算．
6.【答案】B
【解析】【分析】由三边分别相等可证明 △COM≌△CON(SSS) ，推出 ∠AOC=∠BOC ，即这种作法的道理是 SSS ．
【详解】解：由题意可知： CM=CN ，
在 △COM 和 △CON 中，
CM=CNOM=ONOC=OC ，
∴ △COM≌△CON(SSS) ，
∴ ∠AOC=∠BOC ，
∴射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，
可知这种作法的道理是 SSS ．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法．
7.【答案】A
【解析】【分析】将式子等号两边同时乘以2再化简得(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，根据非负数的性质得到a=b=c，即可得到答案．
【详解】解：∵ a2+b2+c2=ab+bc+ac ，
∴ 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac ，
∴ a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0 ，
∴(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，
解得：a=b=c，
则△ABC为等边三角形．
故选A．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，完全平方公式与非负数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
8.【答案】D
【解析】【分析】先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图， A′ 点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 A′B 的长度，然后根据勾股定理计算 A′B 的长即可．
【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图， A′ 点为点A展开后的对应点，
作BH⊥MN于H，BH= 12 ×48=24，MH=1， A′N=1 ，
∴ A′H=20−1−1=18 ，
在 Rt▵A′BH 中， A′B= A′H2+BH2 =30cm．
故选D．
【点睛】此题考查平面展开−最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键．
9.【答案】B
【解析】【详解】解：①实数和数轴上点一一对应，本小题错误；
②π不带根号，但π是无理数，故本小题错误；
③负数有立方根，故本小题错误；
④ − 17 是17的平方根，本小题正确，
正确的只有④一个．
故选B．
10.【答案】A
【解析】【分析】如图，首先把 ▵ADF 旋转到 ▵ABG ，然后利用全等三角形的性质得到 DF=BG ， ∠DAF=∠BAG ，然后根据题目中的条件，可以得到 △EAG≅△EAF ，再根据 DF=3 ， AB=6 和勾股定理，可以求出 BE 的长，本题得以解决．
【详解】解：如图，把 ▵ADF 绕A逆时针旋转90°得到 ▵ABG ，
∴ △ADF≅△ABG ，
∴ ∠ADF=∠ABG=∠ABE=90∘ ，
∴ ∠ABG+∠ABE=180∘ ，
∴G、B、E三点共线，
∴ DF=BG,∠DAF=∠BAG ，
∵ ∠DAB=90∘,∠EAF=45∘ ，
∴ ∠DAF+∠EAB=45∘ ，
∴ ∠BAG+∠EAB=45∘ ，
∴ ∠EAF=∠EAG ，
在 ▵EAG 和 ▵EAF 中，
AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE ，
∴ ▵EAG≅▵EAF(SAS) ，
∴ GE=FE ，
设 BE=x ，
∵ CD=6,DF=3 ，
∴ CF=3 ，
则 GE=BG+BE=3+x,CE=6−x ，
∴ EF=3+x ，
∵ ∠C=90∘ ，
∴ (6−x)2+32=(3+x)2 ，
解得， x=2 ，
∴ BE 的长为2．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
11.【答案】−2
【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵−2<− 2 <0<3，
∴四个实数−2，0，− 2 ，3中，最小的实数是−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查实数大小比较，掌握实数比较大小法则“正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小”是解题的关键．
12.【答案】12.60
【解析】【分析】把近似数精确度百分位，即按照四舍五入的方法把千分位上的数处理即可得到答案．
【详解】解：有理数 12.6013 精确到百分位的近似数为： 12.60 ．
故答案为： 12.60 ．
【点睛】本题考查的是近似数的精确度问题，掌握“利用四舍五入的方法确定近似数”是解本题的关键．
13.【答案】书
【解析】【分析】根据轴对称的性质得出这个单词，进而得出答案．
【详解】如图所示：
这个单词是BOOK，所指的物品是书．
故答案为书．
【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出单词的名称是解题关键．
14.【答案】± 12
【解析】【分析】由平方根的概念即可求解．
【详解】解：12的平方根为 ± 12 ，
故答案为： ± 12 ．
【点睛】本题考查平方根的概念，关键是掌握：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
15.【答案】2 3−5
【解析】【分析】根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解： 12−−12−2−3−π0
=2 3−4−1
=2 3−5 ，
故答案为： 2 3−5 ．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简的知识，掌握实数的混合运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】8cm
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可知 AD=BD ，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可．
【详解】解：∵ ▵DBC 的周长为 18cm ，
∴ BD+DC+BC=18cm ，
又∵ DE 垂直平分 AB ，
∴ AD=BD ，
∴ AD+DC+BC=18cm 即 AC+BC=18cm
∵ AB=AC=10cm ，
∴ BC=18−10=8cm ．
故答案为： 8cm ．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质：中垂线上的点到线段两端点的距离相等．
17.【答案】2 2−2
【解析】【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长分别是 2 和2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】由相邻两个正方形的面积分别为2和4，得到边长为 2 和2，
则阴影部分面积 S= 2×2− 2=2 2−2 ．
故答案为： 2 2−2 ．
【点睛】本题考查了由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的长．
18.【答案】32−16 3
【解析】【分析】如图将 ▵ABP 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 ▵AMG .连接 PG,CM .首先证明当 M,G,P,C 共线时， PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段 CM 的长，由等腰直角三角形求得 AC 的长，进而求得 BN、CN ，由勾股定理求得结果．
【详解】解：如图将 ▵ABP 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 ▵AMG .连接 PG,CM ，
则 AB=AC=AM,MG=PB,AG=AP,∠GAP=60∘ ，
∴▵GAP 是等边三角形，
∴PA=PG ，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM ，
∴当 M,G,P,C 共线时， PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段 CM 的长，
∵AP+BP+CP 的最小值为 4 2 ，
∴CM=4 2 ，
∵∠BAM=60∘,∠BAC=30∘ ，
∴∠MAC=90∘ ，
∴AM=AC=4 ，
作 BN⊥AC 于 N .则 BN=12AB=2,AN=2 3,CN=4−2 3
∴BC2=BN2+CN2=22+4−2 32=32−16 3．
故答案为： 32−16 3．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】【小题1】
解：∵ 4x−1=100 ，
∴ x−1=25 ，
∴ x=26 ；
【小题2】
解：∵ x+23=−27 ，
∴ x+2=−3 ，
∴ x=−5 ．

【解析】1. 方程两边同时除以4，然后移项可得答案；
2. 根据立方根的性质求解即可．
本题考查了解一元一次方程，立方根的性质，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根是解题的关键．
20.【答案】【小题1】
12 12−3 13+ 6÷ 3
=12×2 3−3× 33− 2
= 3− 3− 2
=− 2
【小题2】
3+ 22− 2+1+ 22
=4− 2+1+2 2+2
=7+ 2

【解析】1. 先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．
2. 利用完全平方公式，然后去括号，再合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，混合运算，以及完全平方公式的应用，熟练运用二次根式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】【小题1】
解：∵正数x的两个平方根是6−a和2a+3，
∴6−a+(2a+3)=0，
解得：a=−9；
【小题2】
∵a=−9，
∴6−a=15，2a+3=−15，
∴这个正数是 ±152=225 ，
即x=225，
∴9−x=9−225=−216，
∴−216的立方根是−6，
即9−x这个数的立方根为−6．

【解析】1. 根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即可解答；
2. 由(1)求出x，再根据立方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根的性质和开立方运算，解题的关键是熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根；求一个数的立方根的运算就是开立方．
22.【答案】【小题1】
解：∵直角三角形较短的直角边 =12×2a=a ，
较长的直角边 =2a+3 ，
∴小正方形的边长 =2a+3−a=a+3 ；
【小题2】
解：小正方形的面积 =(a+3)2=36 ，
∴ a+3=6 或 a+3=−6 ，
∴ a=3 ，或 a=−9 (舍去)，
∴ 2a+3=9 ，
∴大正方形的面积 =92+32=90 ．

【解析】1. 用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
2. 先根据小正方形的面积求出a的值，再根据正方形的面积=边长的平方求解即可．
本题考查了以弦图为背景的计算，整式的加减，利用平方根的定义解方程，数形结合是解题的关键．
23.【答案】【小题1】
证明： ∵BE 平分 ∠ABC ，
∴ ∠ABE=∠DBE ，
在 ΔABE 和 ΔDBE 中， AB=DB∠ABE=∠DBEBE=BE ，
∴ ΔABE≅ΔDBESAS ；
【小题2】
∵ ∠A=100∘ ， ∠C=50∘ ，
∴ ∠ABC=30∘ ，
∵ BE 平分 ∠ABC ，
∴ ∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15∘ ，
在 ΔABE 中， ∠AEB=180∘−∠A−∠ABE=180∘−100∘−15∘=65∘ ．

【解析】1. 由角平分线定义得出 ∠ABE=∠DBE ，由 SAS 证明 ΔABE≅ΔDBE 即可；
2. 由三角形内角和定理得出 ∠ABC=30∘ ，由角平分线定义得出 ∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15∘ ，在 ΔABE 中，由三角形内角和定理即可得出答案．
24.【答案】【小题1】
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE // CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF ，
∴△BDE≌△CDF(ASA)；
【小题2】
解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE−AF=13−7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．

【解析】1. 利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
2. 由题意可得EF=AE−AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
25.【答案】【小题1】
过点 B′ 作 B′C′//BC ，且 B′C′=5 ，再沿着 B′ 向右移动两个单位，再向上移动五个单位，就可得到点 A′ ，连接 A′B′ ， A′C′ ，即可得到 ▵A′B′C′
【小题2】
设从点 B 的位置向右两个单位的点为 D ，连接 AD ，则 AD 就是所求的高
【小题3】
设 AC 交 BB′ 于点J．
在 △ADC 和 ▵BCB′ 中，
AD=BC ， ∠ADC=∠BCB′=90∘ ， DC=CB′ ，
∴ ▵ADC≌▵BCB′ ，
∴ ∠DAC=∠CBB′ ，
∵ ∠ACD+∠DAC=90∘ ，
∴ ∠CBB′+∠ACB=90∘ ，
∴ ∠BJC=90∘ ，
∴ BB′⊥AC ．

【解析】1. 利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 A′ ， B′ ， C′ 即可；
2. 根据三角形的高的定义画出图形即可；
3. 证明 ▵ADC≌▵BCB′ ，可得结论．
26.【答案】【小题1】
解：∵ ∠B=60∘ ，
∴当 BD=BP 时， ▵BDP 为等边三角形，
∵ AB=20cm ，点 D 为线段 AB 的中点，
∴ BD=10cm ，
∵ BD=BP ，
∴ BP=10cm ，
∵动点 P 以2cm/s的速度运动，
∴动点 P 的运动时间为： 102=5 (秒)，
即出发5秒后， ▵BDP 为等边三角形；
【小题2】
解：设运动时间为x秒，
①当 ∠BPD=90∘ 时，
∵ ∠B=60∘ ，
∴ ∠BDP=30∘ ，
∵ AB=20cm ，点 D 为线段 AB 的中点，
∴ BD=10cm ，
∴ 2BP=BD=10cm ，
∴ BP=5cm ，
∵动点 P 以2cm/s的速度运动，
∴ 2x=5 ，
解得， x=2.5 ；
②当 ∠BDP=90∘ 时，
∵ ∠B=60∘ ，
∴ ∠BPD=30∘ ，
∵ AB=20cm ，点 D 为线段 AB 的中点，
∴ BD=10cm ，
∴ BP=2BD=20cm ，
∵动点 P 以2cm/s的速度运动，
∴ 2x=20 ，
解得， x=10 ；
∴当 P 出发2.5秒或10秒后， ▵BPD 为直角三角形；
【小题3】
解：设运动时间为t秒，
∵ AB=AC ，
∴ ∠B=∠C ，
∵ AB=20cm ， D 是 AB 的中点，
∴ BD=10cm ，
①当 BD=QC ， BP=CP 时， △BDP≌△CQP ，
则有， BP=CP ，
∵ BC=16cm ，
∴ BP=CP=8cm ，
∵动点 P 以2cm/s的速度运动，
∴ BP=2t ，
∴ t=4 ，
∵点 Q 以 acm/s 的速度从 C 点出发在线段 CA 上运动，
∴ CQ=at=4a ．
∵ CQ=BD ，
∵ AB=20cm ， D 是 AB 的中点，
∴ BD=10cm ，
∴ CQ=BD=10cm ，
∴ 4a=10 ，
解得， a=52 cm/s，
②当 BD=PC ， BP=CQ 时， △BDP≌△CPQ ，
∵ BC=16cm ，动点 P 以2cm/s的速度运动，
∴ BP=2t ，
∴ CP=BC−BP=16−2t ，
∵ AB=20cm ， D 是 AB 的中点，
∴ BD=10cm ，
∵ BD=PC ，
∴ 16−2t=10
解得， t=3 ，
∴ BP=6 ， CQ=at=3a=6 ，
∴ a=2cm/s ，
综上所述，当 a=52 cm/s或 a=2cm/s 时， ▵BPD 和 ▵CQP 全等．

【解析】1. 根据等边三角形的判定求解即可；
2. 设运动时间为x秒，分两种情况进行讨论：①当 ∠BPD=90∘ 时，由 ∠B=60∘ ，得到 ∠BDP=30∘ ，求得 2BP=BD=10cm ，求出 x=2.5 ；②当 ∠BDP=90∘ 时，根据三角形的内角和定理得到 ∠BPD=30∘ ，求出 x=10 ；即可得到当 P 出发2.5秒或10秒后， ▵BPD 为直角三角形；
3. 根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点 P 运动的时间，再求得点 Q 的运动速度．
27.【答案】【小题1】
作点C关于 AB 的对称点F，连接 DF 交 AB 于点P，连接 PC ，点P即为所求；
作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于E．
在 Rt△DEF 中，∵ DE=AB=200 米， EF=AD+BC=80+70=150 米，
∴ DF= DE2+EF2= 2002+1502=250 (米)，
∴ PD+PC 的最小值为250米；
【小题2】
17

【解析】1. 作点C关于 AB 的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；根据勾股定理可得DF的长，从而解答即可；
2.
先作出点C关于 AB 的对称点F，连接 DF ，作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于E.使 AB=15 ， AD=5 ， BC=BF=3 ，DF的长就是代数 x2+9+ 15−x2+25 的最小值，
∵ DF= DE2+EF2= 152+82=17
∴代数式的最小值为17．
故答案为：17．
28.【答案】【小题1】
解：如图1中，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AC=AE，
∵AF=AF，CF=EF，
∴ △CAF≌△EAF (SSS)，
∴∠E=∠ACF，
又∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF，
又∵∠ADB=∠FDC，
∴∠BFC=∠BAC．
【小题2】
解：结论：AF+EF=BF．
理由：如图2中，在BF上取点G，使FG=FC，连接CG．
∵ ∠BAC=60∘ ，
∴ ∠BFC=60∘ ，
∵FG=FC，
∴△GFC为等边三角形，
又∵AB=AC， ∠BAC=60∘ ，
∴△ABC为等边三角形，
∴ ∠ACB=∠GCF=60∘ ，
∴∠BCG=∠ACF，
又∵BC=AC，GC=FC，
∴ ▵BGC≌▵AFC (SAS)，
∴AF=BG，
由(1)得 ▵ACF≌▵AEF ．EF=CF，
∵CF=GF，
∴EF=GF．
∵BF=BG+GF，
∴BF=AF+EF．
【小题3】
如图3中，延长BA，CF交于点H．
∵ ∠BFC=∠BAC=90∘ ，
∴∠BFC=∠BFH= 90∘ ，BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
又∵BF=BF，
∴△HBF ≅ △CBF(ASA)，
∴CF=HF= 12CH ，
又∵∠BAC=∠HAC= 90∘ ，AB=AC，∠ABD=∠ACH，
∴ ▵ABD≌▵ACH (ASA)，
∴BD=CH=2CF，
∵CF=EF，
∴BD=2EF，
∴ EFBD=12 ．

【解析】1. 证明 △CAF≌△EAF (SSS)，利用全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可解决问题．
2. 结论：AF+EF=BF.如图2中，在BF上取点G，使FG=FC，连接CG.证明 ▵BGC≌▵AFC (SAS)，推出AF=BG，可得结论．
3. 如图3中，延长BA，CF交于点H.证明 ▵HBF≌▵CBF (ASA)， ▵ABD≌▵ACH (ASA)，可得结论．