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适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习专题检测6函数与导数课件
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这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习专题检测6函数与导数课件，共47页。PPT课件主要包含了BCD，ACD等内容，欢迎下载使用。
5.(2023福建漳州三模)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度(单位:℃)变化的冷却模型.如果物体的初始温度是θ1,环境温度是θ0,则经过t min物体的温度θ将满足θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90 ℃的物体,若放在10 ℃的空气中冷却,经过10 min物体的温度为50 ℃,则若使物体的温度为20 ℃,需要冷却( )A.17.5 minB.25.5 minC.30 minD.32.5 min
6.(2023全国乙,文8)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)
当0≤x<2时,x2≤2x⇒1+2x+x2≤1+2x+2x,即(1+x)2≤1+4x,∴g'(x)≥0在区间(0,2)内成立,且g'(x)不恒为0.∴g(x)在区间[0,2)内单调递增,∴g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,∴a>c.综上可得,a>c>b.故选B.
9.(2023山东临沂一模)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则函数g(x)的解析式可以为( )
解析 因为f(x)=x3g(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即g(-x)=-g(x),所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A,定义域为(-1,1),所以不满足题意;对于B,定义域为R,g(-x)=3-x-3x=-g(x),符合题意;
解析 设圆台的上底面的圆心为O1,下底面的圆心为O,点A为上底面圆周上任意一点,圆台的高为h,球的半径为R,如图所示,
易知r2∈(0,2),且当r∈(0,r2)时,f'(r)>0;当r∈(r2,2)时,f'(r)<0,f(r)在(0,r2)内单调递增,在(r2,2)内单调递减,由f(0)=8,f(1)=5,f(2)=-24,∃r0∈(1,2),使得f(r0)=0,当r∈(0,r0),f(r)>0,即V'>0,当r∈(r0,2),f(r)<0,即V'<0,所以当r在区间(0,2)内逐渐增大时,V先增大,后减小,则B,D正确,C错误.故选BD.
12.(2023山东滨州二模)函数y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,且满足f(3+x)-f(3-x)+6x=0,函数f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,则( )A.f(x)的图象关于点(1,1)对称B.8是f(x)的一个周期C.f(x)一定存在零点D.f(101)=-299
解析 对于A,由于f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,所以f(1-2x)+f(1+2x)=2,故f(1-x)+f(1+x)=2,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,故A正确;由f(3+x)-f(3-x)+6x=0,得f(3+x)+3x=f(3-x)-3x,令g(x)=f(3+x)+3x,所以g(-x)=f(3-x)-3x,所以g(x)=g(-x),故g(x)为偶函数,又f(x)的图象关于点(1,1)对称,所以f(x)+f(-x+2)=2,又f(x)=g(x-3)-3(x-3),从而g(x-3)-3(x-3)+g(-x+2-3)-3(-x+2-3)=2,所以g(x-3)+g(-x-1)=-10,所以g(x)的图象关于点(-2,-5)对称.对于C,在f(1-x)+f(1+x)=2中,令x=0,f(1)=1>0,所以g(-2)=f(1)-6=-5,所以g(2)=-5=f(5)+6,所以f(5)=-11<0,由于y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,由零点存在定理可得f(x)在区间(1,5)内有零点,故C正确;
对于D,由于g(x)的图象关于点(-2,-5)对称,以及g(x)=g(-x),得g(x)+g(-x-4)=-10,即g(x)+g(x+4)=-10.又g(x+8)+g(x+4)=-10,所以g(x)=g(x+8),所以g(x)是周期为8的周期函数,f(101)=g(98)-3×98=g(2)-294=-5-294=-299,故D正确;对于B,f(1)=1,f(9)=g(6)-18=g(-2)-18=g(2)-18=-5-18=-23≠f(1),所以8不是f(x)的周期.故选ACD.
解析 由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cs x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cs(-x)+1=x2+(2-a)x+cs x+1,∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cs x+1=x2+(2-a)x+cs x+1,解得a=2.
14.(2023广东湛江一模)若函数f(x)=ex-ax2-a存在两个极值点x1,x2,且x2=2x1,则a=__________.
17.(10分)(2023陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=xln x+x3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≥1对任意的x≥m恒成立,求实数m的取值范围.
18.(12分)(2021全国甲,文20)设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.
(1)求a,b的值;(2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元?(参考数据:ln 10≈2.303,ln 5≈1.609)
方法二:令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,则g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).∵x+1>1,∴ln(x+1)>0.当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,∴f'(x)<0,f(x)单调递减,不符合题意;当a>0时,令h(x)=2ax-ln(x+1),x>0,
21.(12分)(2023山东潍坊二模)已知函数f(x)=λln(x+1)-sin x.(1)若f(x)在(0,+∞)上周期为2π,求λ的值;
(3)已知f(x)≥2(1-ex)在x∈[0,π]上恒成立,求实数λ的取值范围.
解 (1)由题意,在x∈(0,+∞)上f(x)=f(x+2π),所以λln(x+1)-sin x=λln(x+1+2π)-sin(x+2π),即λ[ln(x+1)-ln(x+1+2π)]=0在x∈(0,+∞)上恒成立,又ln(x+1)
5.(2023福建漳州三模)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度(单位:℃)变化的冷却模型.如果物体的初始温度是θ1,环境温度是θ0,则经过t min物体的温度θ将满足θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90 ℃的物体,若放在10 ℃的空气中冷却,经过10 min物体的温度为50 ℃,则若使物体的温度为20 ℃,需要冷却( )A.17.5 minB.25.5 minC.30 minD.32.5 min
6.(2023全国乙,文8)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)
当0≤x<2时,x2≤2x⇒1+2x+x2≤1+2x+2x,即(1+x)2≤1+4x,∴g'(x)≥0在区间(0,2)内成立,且g'(x)不恒为0.∴g(x)在区间[0,2)内单调递增,∴g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,∴a>c.综上可得,a>c>b.故选B.
9.(2023山东临沂一模)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则函数g(x)的解析式可以为( )
解析 因为f(x)=x3g(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即g(-x)=-g(x),所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A,定义域为(-1,1),所以不满足题意;对于B,定义域为R,g(-x)=3-x-3x=-g(x),符合题意;
解析 设圆台的上底面的圆心为O1,下底面的圆心为O,点A为上底面圆周上任意一点,圆台的高为h,球的半径为R,如图所示,
易知r2∈(0,2),且当r∈(0,r2)时,f'(r)>0;当r∈(r2,2)时,f'(r)<0,f(r)在(0,r2)内单调递增,在(r2,2)内单调递减,由f(0)=8,f(1)=5,f(2)=-24,∃r0∈(1,2),使得f(r0)=0,当r∈(0,r0),f(r)>0,即V'>0,当r∈(r0,2),f(r)<0,即V'<0,所以当r在区间(0,2)内逐渐增大时,V先增大,后减小,则B,D正确,C错误.故选BD.
12.(2023山东滨州二模)函数y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,且满足f(3+x)-f(3-x)+6x=0,函数f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,则( )A.f(x)的图象关于点(1,1)对称B.8是f(x)的一个周期C.f(x)一定存在零点D.f(101)=-299
解析 对于A,由于f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,所以f(1-2x)+f(1+2x)=2,故f(1-x)+f(1+x)=2,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,故A正确;由f(3+x)-f(3-x)+6x=0,得f(3+x)+3x=f(3-x)-3x,令g(x)=f(3+x)+3x,所以g(-x)=f(3-x)-3x,所以g(x)=g(-x),故g(x)为偶函数,又f(x)的图象关于点(1,1)对称,所以f(x)+f(-x+2)=2,又f(x)=g(x-3)-3(x-3),从而g(x-3)-3(x-3)+g(-x+2-3)-3(-x+2-3)=2,所以g(x-3)+g(-x-1)=-10,所以g(x)的图象关于点(-2,-5)对称.对于C,在f(1-x)+f(1+x)=2中,令x=0,f(1)=1>0,所以g(-2)=f(1)-6=-5,所以g(2)=-5=f(5)+6,所以f(5)=-11<0,由于y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,由零点存在定理可得f(x)在区间(1,5)内有零点,故C正确;
对于D,由于g(x)的图象关于点(-2,-5)对称,以及g(x)=g(-x),得g(x)+g(-x-4)=-10,即g(x)+g(x+4)=-10.又g(x+8)+g(x+4)=-10,所以g(x)=g(x+8),所以g(x)是周期为8的周期函数,f(101)=g(98)-3×98=g(2)-294=-5-294=-299,故D正确;对于B,f(1)=1,f(9)=g(6)-18=g(-2)-18=g(2)-18=-5-18=-23≠f(1),所以8不是f(x)的周期.故选ACD.
解析 由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cs x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cs(-x)+1=x2+(2-a)x+cs x+1,∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cs x+1=x2+(2-a)x+cs x+1,解得a=2.
14.(2023广东湛江一模)若函数f(x)=ex-ax2-a存在两个极值点x1,x2,且x2=2x1,则a=__________.
17.(10分)(2023陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=xln x+x3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≥1对任意的x≥m恒成立,求实数m的取值范围.
18.(12分)(2021全国甲,文20)设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.
(1)求a,b的值;(2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元?(参考数据:ln 10≈2.303,ln 5≈1.609)
方法二:令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,则g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).∵x+1>1,∴ln(x+1)>0.当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,∴f'(x)<0,f(x)单调递减,不符合题意;当a>0时,令h(x)=2ax-ln(x+1),x>0,
21.(12分)(2023山东潍坊二模)已知函数f(x)=λln(x+1)-sin x.(1)若f(x)在(0,+∞)上周期为2π,求λ的值;
(3)已知f(x)≥2(1-ex)在x∈[0,π]上恒成立,求实数λ的取值范围.
解 (1)由题意,在x∈(0,+∞)上f(x)=f(x+2π),所以λln(x+1)-sin x=λln(x+1+2π)-sin(x+2π),即λ[ln(x+1)-ln(x+1+2π)]=0在x∈(0,+∞)上恒成立,又ln(x+1)
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