第4章一元函数的导数及其应用 第2节利用导数研究函数的单调性 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.体会导数与单调性的关系.
函数的单调性与其导数的关系
微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件?
提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.
微点拨利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.
常用结论1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解.3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)在其定义域上有f'(x)<0,则f(x)在定义域上单调递减.(　　)2.若函数f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递增.(　　)3.一个函数在某一范围内变化得越快,其导数就越大.(　　)4.若函数f(x)=x3+ax2+bx在R上单调递增,则a2-3b<0.(　　)
题组二回源教材5.(人教B版选择性必修第三册6.2.1节练习A第2题改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=2x-1,则f(x)的单调递增区间是　　　　　　　　. 
6.(人教A版选择性必修第二册5.3.1节例1(2)改编)函数f(x)=sin x-x在(0,π)内的单调递减区间是　　　　. 
解析 由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cs x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).
题组三连线高考7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(　　)A.e2D.e-2
8.(2023·全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是　　　　　. 
解析 由题意得f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对∀x>0恒成立.
考点一 求不含参数函数的单调区间
例1(1)(2024·吉林长春模拟)函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(　　)A.(-∞,1)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)
(2)(2024·北京海淀模拟)已知函数f(x)= +1,则函数f(x)的单调递减区间为　　　　　　　　. 
(-∞,-1)和(1,+∞)
解析 函数f(x)的定义域为R,f'(x)= ,令f'(x)<0,解得x>1或x<-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
(3)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=e-xcs x,x∈(0,π)的单调递增区间为　　　　　　　. 
(4)(2024·福建宁德模拟)函数f(x)=x2ex-e(x+2ln x)的单调递增区间是　 . 
考点二 讨论含参数函数的单调性
例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=(x-2)(aex-x).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.
解 (1)因为f(x)=(x-2)(aex-x),所以f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).当a=4时,f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y+8=-2x,即2x+y+8=0.
(2)由(1)知,f'(x)=(x-1)(aex-2).①当a≤0时,aex-2<0,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.
[对点训练1](2024·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R),试讨论函数f(x)的单调性.
解 因为f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx,所以f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6(x+1)(x+m).①若m=1,则f'(x)=6(x+1)2≥0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.②若-m<-1,即m>1,当x∈(-∞,-m)∪(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上单调递增;当x∈(-m,-1)时,f'(x)<0,f(x)在(-m,-1)内单调递减.③若-m>-1,即m<1,当x∈(-∞,-1)∪(-m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上单调递增;当x∈(-1,-m)时,f'(x)<0,f(x)在(-1,-m)内单调递减.综上,当m=1时,f(x)在R上单调递增;当m>1时,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上单调递增,在(-m,-1)内单调递减;当m<1时,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上单调递增,在(-1,-m)内单调递减.
考点三 与导数有关的函数单调性的应用(多考向探究预测)
考向1辨析图象问题例3(1)(2024·陕西西安联考)已知定义在[-3,4]上的函数f(x)的大致图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式xf'(x)>0的解集为(　　)
(2)(2024·浙江绍兴模拟)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,若f(2)=0,则y=f(x)的图象大致为(　　)
解析 由y=f'(x)的图象可知,当03时,f'(x)>0,所以函数y=f(x)的图象上各点处切线的斜率在区间(0,1)内,在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,3)内单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,而函数y=f(x)的图象均符合这些性质,故D正确.故选D.
考向2解不等式或比较大小问题
(2)(2024·福建南平模拟)已知函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f'(x)g(a)B.f(a)g(a)+f(b)D.f(a)+g(b)c=f(1.5),则(　　)A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c
考向3根据单调性求参数的值或取值范围例5(2024·陕西西安模拟)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是(　　)A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[3,e2-1]
变式探究1(变条件变结论)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x的单调递减区间是( ,1)”,则实数a的值等于　　　　. 
变式探究2(变条件)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是　　　　　　　　. 
变式探究3(变条件)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内不单调”,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 
规律方法根据函数单调性求参数的值或取值范围的类型及解法
[对点训练3](2024·福建福州模拟)设函数f(x)= x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]