适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题6函数与导数培优拓展十四极值点偏移问题课件

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题6函数与导数培优拓展十四极值点偏移问题课件，共13页。PPT课件主要包含了极值点左偏，极值点右偏等内容，欢迎下载使用。

极值点偏移问题可以很好地考查逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养,涉及函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想等,对思维要求较高,计算量较大,属于难题.
1.已知函数y=f(x)是连续函数,在区间(x1,x2)上有且只有一个极值点x0(即y=f(x)为单峰函数)且f(x1)=f(x2),若极值点左、右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点 的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”(如图2).
2.极值点偏移问题一般有以下四种基本题设形式:(1)若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点).(2)对于函数f(x),存在x1,x2且x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点).
3.解决极值点偏移问题,常用的有构造对称函数法和比(差)值换元法等.
类型一 构造对称和(差)函数
例1(2023陕西绥德中学模拟)已知f(x)=x3-ax2(a∈R),其极小值为-4.(1)求a的值;(2)若关于x的方程f(x)=t在(0,3)上有两个不相等的实数根x1,x2,求证:3(2)证明 由(1)知,在区间(-∞,0)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,在区间(0,2)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(2,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以不妨设0f(4-x2),又因为f(x1)=f(x2),所以只需证f(x2)>f(4-x2),即证f(x2)-f(4-x2)>0.
设g(x)=f(x)-f(4-x)(20,所以g(x)在区间(2,3)上单调递增,所以g(x)>g(2)=0,所以f(x2)-f(4-x2)>0.下面证3h(x);在区间(2,3)上,f(x)h(x1),所以h(x3)>h(x1),所以x3h(x4),所以x4类型二 比(差)值换元
①当a≤0时,g'(t)>0,g(t)单调递增,不可能有两个零点;②当a>0时,令g'(t)>0,得t>a,g(t)在区间(a,+∞)上单调递增,令g'(t)<0,得00,得00恒成立,没有零点;若g(a)=0,得a=e,此时g(t)有一个零点;若g(a)<0,得a>e,因为g(1)=1>0,g(e)=e-a<0,g(ea)=ea-a2>0,所以g(t)=t-aln t在(1,e),(e,ea)上各存在一个零点,符合题意.综上,a的取值范围为(e,+∞).