2023-2024学年天津市第九十五中学益中学校高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市第九十五中学益中学校高二上学期12月月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=−8x的焦点坐标为(    )A. −2,0 B. 2,0 C. 0,−2 D. −4,02.已知过点M(−2,a),N(a,4)的直线的斜率为−12，则MN等于A. 10 B. 180 C. 6 3 D. 6 53.已知数列an满足an+1=11−an，若a1=12，则a5=．(    )A. 2 B. −2 C. −1 D. 124.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB+AD−CC1=(    )A. A1C B. CA1 C. BD1 D. DB15.已知过点P2,2的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0平行，则a=(    )A. 2 B. 1 C. −12 D. 126.下列圆中与圆C:x2+y2+2x−4y+1=0相外切的是(    )A. (x+2)2+(y+2)2=9 B. (x−2)2+(y+2)2=9C. (x−2)2+(y−2)2=25 D. (x−2)2+(y+2)2=47.国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为cm(    )A. 12 B. 24 C. 10 D. 10 38.已知定点A(3,4)，点P为圆x2+y2=4上的动点，点Q为直线x+y−4=0上的动点.当PQ取最小值时，设▵PAQ的面积为S，则S=(    )A. 4+ 22 B. 4− 22 C. 2+ 22 D. 2− 229.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若CD= 2|AB|.则双曲线的离心率为(    )A. 2 B. 3 C. 2 D. 3二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线与A，B两点．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB等于          ．11.已知直线l:x−y−m=0被圆C:x2+y2−4x−2y−1=0截得的弦长为2 2，则m=           ．12.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为          ．13.点A是椭圆C1:x225+y216=1与双曲线C2:x24−y25=1的一个交点，点F1,F2是椭圆C1的两个焦点，则|AF1|⋅|AF2|的值为          ．14.若直线y=x+b与曲线y=3− 4x−x2有公共点，则b的取值范围是          ．15.已知线段AB的端点B的坐标为1,3，端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动．(1)线段AB的中点M的轨迹方程          ；(2)已知点Px,y为(1)所求轨迹上任意一点，则x2+y2的最大值为          ．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知等差数列an满足：a5=9，a10=19．(1)求数列an的通项公式an以及前n项和Sn；(2)求a2+a4+a6+⋯+a20的值．17.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的焦距为2，离心率为 22．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆交于M，N两点，点F2为椭圆的右焦点，求▵F2MN的面积．18.(本小题12分)已知圆C的圆心在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y=1相切．(1)求圆C的方程；(2)求圆C关于直线6x−4y−1=0对称的圆的方程．19.(本小题12分)如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB/​/CD，PQ/​/CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．(1)求证：EF//平面MPC；(2)求平面PQM与平面PMC夹角的正弦值；(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为π6，求线段QN的长．20.(本小题12分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，已知A1F=3,A2F=1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】直接使用焦点坐标公式求解即可．【详解】易知 p=4 ，焦点坐标为 −p2,0由焦点坐标公式得焦点坐标为 −2,0故选：A2.【答案】D 【解析】【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再利用两点间的距离公式计算 |MN| 的值．【详解】 ∵ 过点 M(−2,a) ， N(a,4) 的直线斜率为 k=4−aa+2=−12 ，解得 a=10 ，∴|MN|= (a+2)2+(4−a)2= (10+2)2+(4−10)2=6 5 ．所以D选项是正确的．【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题．3.【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式，结合首项，运用代入法进行求解即可．【详解】数列 an 满足 an+1=11−an ， a1=12 ，a2=11−12=2,a3=11−2=−1,a4=11−(−1)=12 ， a5=11−12=2 ，故选：A4.【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．【详解】  ∵ABCD−A1B1C1D1 为平行四面体，∴AB+AD−CC1=DC+AD+C1C=AC+C1C=A1C1+C1C=A1C.故选：A．5.【答案】C 【解析】【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果．【详解】因为切线与直线 ax−y+1=0 平行，所以切线方程可设为 ax−y+m=0因为切线过点P(2,2)，所以 2a−2+m=0∴m=2−2a因为与圆 x−12+y2=5 相切，所以 |a−0+2−2a| a2+1= 5∴4a2+4a+1=0∴a=−12故选：C6.【答案】B 【解析】【分析】根据圆心距等于半径之和可判断．【详解】圆 C 方程可化为： x+12+y−22=4 ，可得：圆心 C −1,2 ，半径 r=2 ．对A：圆心距 = −1+22+2+22= 17 ，半径之和 =2+3=5 ，故两圆不外切；对B：圆心距 = −1−22+2+22=5 ，半径之和 =2+3=5 ，故两圆外切；对C：圆心距 = −1+22+2−22=1 ，半径之和 =2+5=7 ，故两圆不外切；对D：圆心距 = −1−22+2+22=5 ，半径之和 =2+2=4 ，故两圆不外切．故选：B7.【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的扁平程度可知两椭圆离心率相同，即可求得小椭圆的长轴长为 2a=24 ．【详解】由扁平程度相同可知其离心率相同，设大小椭圆的离心率为 e1,e2 ；对于大椭圆可得 e1=c1a1= 1−b1a12= 32 ，设小椭圆的长轴长为 2a ，则 e2= 1−122a2= 32 ，解得 2a=24 ．故选：B8.【答案】D 【解析】【分析】圆上的点到直线上的点的距离最小时为圆心到直线的距离减去半径，由此确定 P ， Q 两点的位置，然后求出点 A(3,4) 到直线 x−y=0 的距离作为底边 PQ 上的高，求出三角形面积即可．【详解】圆 x2+y2=4 的圆心为原点，半径为2，  过原点且与直线 x+y−4=0 垂直的直线方程为 x−y=0 ，则点 A(3,4) 到直线 x−y=0 的距离为 |3−4| 2= 22 ．又因为原点到直线 x+y−4=0 的距离为 −4 2=2 2 ，所以 PQ 的最小值为 2 2−2 ，则 S=12×2 2−2× 22=2− 22 ，故选：D9.【答案】A 【解析】【分析】设公共焦点为 c,0 ，进而可得准线为 x=−c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 a2=12c2 ，再由双曲线离心率公式即可得解．【详解】设双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 与抛物线 y2=2px(p>0) 的公共焦点为 c,0 ，则抛物线 y2=2px(p>0) 的准线为 x=−c ，令 x=−c ，则 c2a2−y2b2=1 ，解得 y=±b2a ，所以 AB=2b2a ，又因为双曲线的渐近线方程为 y=±bax ，所以 CD=2bca ，所以 2bca=2 2b2a ，即 c= 2b ，所以 a2=c2−b2=12c2 ，所以双曲线的离心率 e=ca= 2 ．故选：A．10.【答案】8 【解析】【分析】利用过抛物线焦点的弦长公式： x1+x2+p ，可直接求解．【详解】设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，因为 AB 中点的横坐标为3，所以： x1+x2=6又直线 l 过抛物线的焦点，所以 AB=x1+x2+p=6+2=8 ．故答案为：811.【答案】 1+2 2 或 1−2 2 【解析】【分析】先用几何法求出圆心到直线的距离，再结合点到直线距离公式求参数 m 的值．【详解】圆 C 的方程可化为： x−22+y−12=6 ，所以圆 C 的圆心是 C2,1 ，半径为  6 ．又弦长为 2 2 ，所以圆心到直线的距离为：  6−2=2 ．由 2−1−m 2=2 ⇒ 1−m=2 2 ，所以 m=1−2 2 或 m=1+2 2 ．故答案为： 1+2 2 或 1−2 2 ．12.【答案】 66 【解析】【解析】以 D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面 D1EC 的一个法向量，利用 d=n⋅EBn 即可求解．【详解】∵在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AD=AA1=1 ， AB=2 ，点 E 为 AB 的中点，以 D 为原点，建立空间直角坐标系，如图：∴ B(1,2,0) ， C(0,2,0) ， E(1,1,0) ， D1(0,0,1) ，即 EC=−1,1,0 ， D1C=0,2,−1 ， EB=0,1,0设平面 D1EC 的法向量 n=(x,y,z) ，则 {n⇀⋅EC⇀=0n⇀⋅D1C⇀=0 ，即 −x+y=02y−z=0 ，令 y=1 ，则 x=1,z=2 ，所以 n=(1,1,2)∴点 B 到平面 D1EC 的距离：d=n⋅EBn=1 6= 66  故答案为：  6613.【答案】21 【解析】【解析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设 |AF1|=m,|AF2|=n ，不妨设 0