四川省成都市成华区成都市第四十九中学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份四川省成都市成华区成都市第四十九中学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A卷（100分）
一、选择题（每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是长方形的是( )
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2＋＝0B．2x﹣3y＋1＝0C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2D．（3x﹣1）（3x＋1）＝3
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
4．如图，△ABC中，DE∥BC，，DE＝3，则BC的长为（ ）
A．7.5B．4.5C．8D．6
5．近年来某市加大了对教育经费的投入，2023年投入2500万元，2025年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
8．小明将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，由于四边形具有不稳定，可拉动这个四边形，使它形状改变．如图1，当时，测得，若拉动此四边形至图2，即当时，则的长为（ ）

A．B．3C．D．6
二、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1，x2，且x1+x2＝4，则m的值为 ．
10．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
11．如图，在矩形中，垂直平分于点，若，，则线段的长度是 ．
12．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ．
三、解答题（共48分）
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．
(1)请画出；
(2)请直接写出各顶点的坐标；
(3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是______．
16．中秋节期间，某商场销售四种不同口味的月饼，分别是火腿、蛋黄、豆沙、五仁四种口味（分别记作A、B、C、D），商场为了了解顾客对这几种月饼的喜爱情况，随机调查了部分顾客，要求顾客从这四种不同的月饼中选出一种自己喜欢的月饼．现将调查结果绘制成如下统计表和统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)________，参与本次调查的顾客共有________人；
(2)补全条形统计图；
(3)小明的妈妈买了3个月饼装在了一个不透明的袋中，3个月饼包含1个火腿月饼、1个蛋黄月饼、1个豆沙月饼，若小明从袋中随机摸出两个月饼，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的概率．
17．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为，，
(1)用含t的代数式表示；
(2)当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值；
(3)是否存在t的值使得的面积是面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长度．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．若＝＝，则＝ ．
20．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
21．在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换．如图，BD为的对角线，M、N分别在AD、AB上，且，若，则 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则B4的坐标是 ．
23．如图，在平行四边形中，，，，点为上一点，且，点为线段上的一动点，将四边形沿翻转得到对应的四边形，当最小时，的长为 ．
二、解答题（共30分）
24．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
25．如图1，直线：与坐标轴分别交于点A，B，与直线：交于点C．
(1)求的面积；
(2)如图2，若有一条垂直于x轴的直线以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线，及x轴于点M，N和Q．设运动时间为，连接．
①当时，求t的值；
②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
26．（1）如图1，在中，，，过点B在同侧作且，点E为的中点，连结、，分别交于点F、G．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若，求的长；
（2）如图2，在等腰中，，点D为线段上一点，．过点A作，连结，且，求的值．
参考答案与解析
1．B
【详解】A、C、D的主视图都是长方形，不符合题意，
B的主视图是等腰三角形，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题关键.
2．D
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、3x2＋＝0分母有未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、2x﹣3y＋1＝0为二元一次方程，故此选项错误；
C、（x﹣3）（x﹣2）＝x2是一元一次方程，故此选项错误；
D、（3x﹣1）（3x＋1）＝3是一元二次方程，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题型．
3．D
【详解】试题分析：A. 平行四边形的对角线互相平分，说法正确；
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；
C．菱形的对角线互相垂直，说法正确；
D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误.
故选D.
考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定.
4．A
【分析】先判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比求BC的长．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了等腰三角形的性质．
5．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该市2023年及2025年投入教育经费的金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：C．
6．B
【分析】根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下．
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法求概率，熟练掌握该知识点是解题关键．
7．D
【分析】根据位似图形的概念得到，，得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，而，
∴ ，
∴与的面积之比是，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．B
【分析】先证四边形是菱形，当时，菱形是正方形，则是等腰直角三角形，求出边长；当时，是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：，
四边形是菱形，
如图1，当时，连接，

则菱形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
如图2，连接，

当时，
，
是等边三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
9．-1
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，再解方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1和x2，且x1+x2＝4，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
10．6
【详解】分析：直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．
详解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×=6．
故答案为6．
点睛：此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
11．
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得出，，，由勾股定理得出，得出，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，得出，在中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵垂直平分，
，，，
四边形是矩形，
，，
由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
12．5.5
【详解】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
13．（3，2）
【分析】先利用位似的性质得到，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
，即，
或，
．
（2）解：，
，
或，
．
15．(1)见解析
(2)，，．
(3)
【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）由图可得，，，．
（3）由题意可得，点的坐标为．
故答案为：．
16．(1)；200
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、条形统计图，能够读懂条形统计图和频数（率）分布表，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
（1）用统计表中B的频数除以频率可得参与本次调查的顾客人数，再用统计表中C的频数除以参与本次调查的顾客人数可求得a的值；
（2）求出b的值，再补全条形统计图即可；
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：参与本次调查的顾客共有（人），
∴．
故答案为：；200；
（2）解：，
补全条形统计图如下．
；
（3）解：列表如下：
由表可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的结果有：，共2种，
∴摸出的这两个月饼是火腿月饼和蛋黄月饼的概率为．
17．(1)
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得；
（2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得；
（3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
垂直平分，
，
由题意得：，
．
（2）解：由题意得：，
①当时，
则，即，
解得；
②当时，
则，即，
解得，
综上，的值为或．
（3）解：的面积为，
的面积是面积的，
，
如图，过点作于点，
，
，
，即，
解得，
，即，
这个方程根的判别式为，没有实数根，
所以不存在的值使得的面积是面积的．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到；
（3）由已知可得到，的长，又因为，从而求得的长，则根据就得到了线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
延长到点，使，
，，
四边形是平行四边形；
（2）证明：是矩形，且，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（3）解：四边形为平行四边形，，相交点，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
．
19．
【分析】设＝＝＝k（k≠0），用k表示出a、b、c，然后代入求值即可.
【详解】解：设＝＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝4k，c＝7k，
所以，＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题是考查了比例的基本性质，题中用到的设未知数的方法，是经常用到的．
20．x3＝0，x4＝﹣3．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知整体法的应用.
21．7
【分析】根据相似三角形的判定与性质得到线段和高的比例关系，利用等积法即可求解．
【详解】解：设在AD边上的高为h，在AB边上的高为H，
∵，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
，
∴7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等积变换，利用相似得到线段和高线的比例关系是解题的关键．
22．（19，4）．
【分析】根据题意和图形可以求得前几个菱形的边长，然后根据锐角三角函数即可求得点的坐标．
【详解】解：∵直线y＝，
∴当y＝0时，x＝﹣1，
设直线y＝与x轴的交点为D，则点D的坐标为（﹣1，0），
∴DA1＝2，
∵OC1＝OA1＝1，OC1∥A1，
∴C2A1＝2＝2OA1＝2，
同理可得，
C3A2＝4，C4A3＝8，C5A4＝16，
∵∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴B4的横坐标是：（16﹣1）+8•cs60°＝15+8×＝19，
纵坐标是：8•sin60°＝8×，
故答案为：（19，4）．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例、菱形与锐角三角函数的综合运用，熟练掌握平行线截线段成比例的性质、菱形的性质及正余弦的定义并灵活运用是解题关键．
23．##
【分析】当点D、、E在一条直线上时，最小，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，由勾股定理，得到，，，，由折叠和平行的性质，推出，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，当点D、、E在一条直线上时，最小，
过点D作交于点G，
四边形是平行四边形，，，，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，，
在中，，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，利用相关知识找出线段之间的数量关系是解题关键．
24．（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元
【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；
(2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得
；
解得：，（舍去）
答：这个降价率为10%
（2）设每千克水果应涨价元，
依题意得方程：，
整理，得，
解这个方程，得，．
要使顾客得到实惠，应取．
答：每千克水果应涨价5元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程．
25．(1)3
(2)①或②存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形，此时的值为2或4或
【分析】（1）先根据一次函数的解析式分别求出，，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）①先求出，，，从而可得，再根据建立方程，解方程即可得；
②先求出，再分三种情况：、和，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：对于直线：，
当时，，即，
当时，，解得，即，
联立，解得，即，
则的面积为．
（2）解：①由题意可知，，
，
，即，
，
，
，
解得或；
②，
，
如图，要使以、、、为顶点的四边形构成菱形，则有三种情况：、和，
当时，则，解得，
当时，则，解得或（此时点与点重合，舍去），
当时，则，解得，
综上，存在点，使得以、、、为顶点的四边形构成菱形，此时的值为2或4或．
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的判定、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，较难的是题（2）②，正确分三种情况讨论是解题关键．
26．（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；（2）10
【分析】（1）（ⅰ）先求出，再利用定理即可得证；
（ⅱ）过点作，交延长线于点，先利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质求解即可得；
（2）过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】证明：（1）（ⅰ）点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
．
（ⅱ）如图，过点作，交延长线于点，
，，点为的中点，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即，
解得．
（2）如图，过点作，交于点，
，
，即，
解得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
在和中，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
月饼种类
频数（人）
频率
A
b
0.3
B
80
0.4
C
40
a
D
20
0.1
开关一
开关二
S1
S2
S3
S1
S2，S1
S3，S1
S2
S1，S2
S3，S2
S3
S1，S3
S2，S3
A
B
C
A
B
C