四川省达州市高级中学校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份四川省达州市高级中学校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题：（每小题4分，共40分；每小题选出正确答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑．否则不得分．）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：A、是分式方程，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，即是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
2. 已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，四边形是菱形B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形D. 当时，四边形是矩形
答案：D
解析：
详解：解：如图：
A、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形；A选项正确；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形；B选项正确；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；C选项正确；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
不能证明四边形是矩形，D选项错误，
故选：D．
3. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：根据概率的定义，一共有10只粽子，其中红豆粽有2个，
所以吃到红豆粽的概率是．
故选B．
4. 如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A. 2
B. 4
C.
D.
答案：C
解析：
详解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为C．
5. 已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：∵由图可知，，
∴，，
A．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为，不与相似；
B．选项中三角形各角的度数分别是，，不与相似；
C．选项中三角形各角的度数分别为，，不与相似；
D．选项中三角形各角的度数分别为，，与相似；
故选：D．
6. 若且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：，
，
，
，
解，得，

，
故选：D．
7. 某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意得，
故选：B．
8. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（），解得，这时矩形的周长最小，因此（）的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子（）的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：∵，
∴在原式中分母分子同除以，
即；
在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，
矩形的周长是；
当矩形成为正方形时，就有（），
解得：，
这时矩形的周长最小，
因此（）的最小值是．
故选：A．
9. 如图，点是线段的黄金分割点（），下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；
AC2=AB•BC，故B错误，
，故C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意．
故选B．
10. 如图，在中，于点M，于点N，P为边的中点，连接，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：D
解析：
详解：解：①∵于点M，于点N，P为边的中点，
∴点P是和的斜边的中点，
∴，
故①正确；
②∵于点M，于点N，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故②正确；
③∵于点M，于点N，P为边的中点，
∴点P是和的斜边的中点，
∴，
∴点M，N，B，C共圆，
∴，
中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故③正确；
④当时，为以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
故④正确；
故选：D．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填写在答题卷上，否则不得分．）
11. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______．
答案：24
解析：
详解：解：x2﹣14x+48=0，
则有（x-6）(x-8)=0
解得：x=6或x=8．
所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．
菱形的面积为：24．
故答案为：24．
12. 已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=___，另一个根是___．
答案： ①. 1 ②. -3
解析：
详解：根据题意，得
4+2m −6=0，即2m−2=0，
解得，m =1，
由韦达定理，知：，
∴
解得：
故答案为：1，−3.
13. 关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
答案：k＜1且k≠0．
解析：
详解：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即(﹣2）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故答案为：k＜1且k≠0．
14. 如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
答案：18.
解析：
详解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵，
∴，
∴．
故选：18．
15. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是_______．

答案：##
解析：
详解：解：，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为．延长交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形1…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为______
答案：
解析：
详解：解：∵正方形的点A的坐标为，点D的坐标为．
∴，，由勾股定理得，，，
∵，，
∴，
由题意得，
则，
∴，
∵，
∴，
则第二个正方形的面积为，
同理可得第三个正方形的面积为，
依此类推，
第n个正方形的面积为，
则第2014个正方形的面积为：．
故答案为：．
第Ⅱ卷
三、解答题：（本大题4个小题，共86分）解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步骤．
17. 解方程：
（1）
（2）
答案：（1），
（2），
解析：
小问1详解：
原方程变形为
配方得，
即，
∴，
∴，．
小问2详解：
原方程可以变形为，
∴或，
∴，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
答案：（1）见解析；（2）见解析.
解析：
详解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）如图：△A2B2C2即为所求.
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；
（2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值．
答案：（1）有两个不相等实数根
（2）
解析：
小问1详解：
解：，
有两个不相等的实数根；
小问2详解：
由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
，
，解得：．
20. 第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．
答案：见解析
解析：
详解：解：根据题意，用表示红球，表示绿球，列表如下：
由此可知，共有种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有种结果，
都是红球，红绿球．
都是红球红绿球，
这个规则对双方是公平的．
21. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若商场只要求保证每天的盈利为4320元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？
（2）若该商场经理想让这种水果每天的盈利为4600元，商场经理的想法能实现吗？如果能请求出每千克应涨价多少元，如果不能请说明理由．
答案：（1）2元 （2）不能，见解析
解析：
小问1详解：
设每千克应涨价x元，则，
解得或，
为了使顾客得到实惠，所以，
所以每千克应涨价2元．
小问2详解：
该商场经理想法不能实现．
设每千克应涨价x元，则，
整理，得
，
∵，
∴该方程无解，
∴不可能．
22. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
答案：（1）证明见解析；（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由见解析．
解析：
详解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD矩形；
（2）当∠BAC=90°时，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
23. 如图，在中，，是的平分线，，垂足为点E．求证：．

答案：见详解
解析：
详解：证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 阅读理解：
如图1，在四边形的边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，，试判断点E是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（2）如图2在矩形中，，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处．若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，当时，试求出的值．
答案：（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）2
解析：
详解：（1）点E是四边形边上的相似点．
理由：，
，
，
．
，
，
，
∴点E是四边形的边上的相似点．
（2）作图如下：点E即为所求（下图中二选其一即可）
（3）∵点E是四边形的边上的一个强相似点，
，
,
由折叠可知
，
，
．
在中，设为，为，
根据勾股定理，，
可得，
解得，
，
，
，即．
25. 如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．

（1）求直线的解析式；
（2）当t为何值时，与相似．
（3）当t为何值时，的面积为个平方单位．
答案：（1）y＝－＋6
（2）秒或秒
（3）1秒或4秒
解析：
小问1详解：
解：设直线的解析式为
由题意，得，
解得
所以，直线的解析式为．
小问2详解：
解：由得，
∴，
①当时，．
∴，
解得
②当时，．
∴，
解得
∴当t为秒或秒时，与相似；
小问3详解：
解：过点Q作垂直于点E．
在中，
在中，
，
解得，（秒）或（秒）
∴当秒或秒时，的面积为个平方单位．