北师大版（知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化）六年级上册数学讲义 第1单元 圆（学生版+教师版）

这是一份北师大版（知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化）六年级上册数学讲义 第1单元 圆（学生版+教师版），文件包含第1单元圆教师版知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化数学讲义docx、第1单元圆学生版知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化数学讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
北师大版数学六年级上册第一单元 圆讲义内容:思维导图+考点分类知识讲解+易错知识点汇总+典例精讲+举一反三变式训练试题难度：选自2022-2023年最新真题，难度中等及偏上，适合所有学生 建议学习时长：1.5-2小时 适合场景：新知学习预习，复习巩固拔高！ 模块一 圆的认识 模块二 圆、圆环的周长模块三 圆、圆环的面积 模块四 圆与组合图形1、圆的各部分名称。 （1）圆心。画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心，圆心一般用字母O表示。（2）半径。用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径，半径一般用字母r表示。（3）直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，直径一般用字母d表示。2、圆的特征。（1）圆是由一条曲线围成的封闭图形，无顶点。（2）在同一圆内，有无数条半径且长度都相等；有无数条直径且长度都相等。（3）在同圆或等圆中，直径是半径的２倍，半径是直径的一半，用字母表示为ｄ＝2ｒ或ｒ＝ｄ÷２。3、圆的画法。（1）手指画圆法。以拇指为固定点，食指与拇指间的距离不变，将食指绕拇指旋转一周，食指的运动轨迹就形成了一个圆。（2）实物画圆法。把圆形物体放在纸上固定不动，用笔沿实物的边缘描一周，就画成了一个圆。（3）系绳画圆法。用一个图钉、一根线(没有弹力)和一支笔画圆的方法:用图钉将线的一端固定在一点上，用笔将线拉直并绕这个固定的点旋转一周，就画成了一个圆。（4）圆规画圆法。第一步：确定半径。把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。第二步：确定圆心。把圆规有针尖的一脚固定在一点。第三步：旋转一周。把圆规装有铅笔的那只脚旋转一周就画出一个圆。4、圆的轴对称性及常见的轴对称图形。（1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴。（2）等腰三角形、等腰梯形和半圆都有1条对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条称轴。5、欣赏与设计图案。欣赏图案就是运用观察、分析的方法理解图案的设计过程。设计图案就是根据基本图形的特点，运用平移、旋转和轴对称的知识设计图案。1、直径必须过圆心。2、圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。3、在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。【典例精讲01】李老师想在操场上画一个圆圈，让全班40位同学都能站在边上做游戏。选择下面（　　）组工具最合适。A． B． C． D．【思路点拨】根据生活实际及圆的性质在操场上画一个圆圈需要用到米尺、钉子和绳子。据此解答。【规范解答】解：李老师想在操场上画一个圆圈，需要用到米尺、钉子和绳子。故选：B。【考点评析】解答此题的关键是根据生活实际及理解圆的性质。【典例精讲02】把一个直径是8分米的圆剪成一个最大的正方形，正方形的面积是 　32　平方米。【思路点拨】在圆内画一个最大的正方形，这个最大正方形的对角线的长度应等于圆的直径，已知圆的直径，所求正方形的面积可以看作是两个三角形的面积之和，据此完成解答。【规范解答】解：8÷2＝4（分米）8×4÷2×2＝32÷2×2＝16×2＝32（平方分米）答：正方形的面积是32平方米。故答案为：32。【考点评析】解答本题的关键是明确这个最大正方形的对角线等于圆的直径。【典例精讲03】用下面的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径，为什么呢？请说明理由。【思路点拨】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，如图测量圆中的线段，其中最长的线段即为圆的直径。【规范解答】解：在同一个圆内有无数条直径，直径是圆中最长的线段，如图所示，测量出圆中最长的线段就是圆的直径。【考点评析】本题解题的关键是明确直径的含义。【典例精讲04】（2023•沙河口区）如图，要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须要以 　B　为圆心；如果三个点都要在圆上，请在图上标注圆心O的位置。【思路点拨】根据圆上的点到圆心的距离相等，因为点B到点A和点C的距离都是2小格，距离相等，所以要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须要以B为圆心；如果三个点都要在圆上，则圆心到A、B、C的距离相等，AC的中点正好是AC的对称轴，及BC的对称轴的交点，即是圆心。【规范解答】解：如图，要画一个以三角形的其中一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆上的圆，必须要以B为圆心；如果三个点都要在圆上，标注圆心O的位置，如图：。故答案为：B。【考点评析】此题考查圆认识及画法。1.（2022秋•怀柔区期末）如图，将半径为R的圆形纸片剪拼成近似长方形后，长方形的周长是（　　）A．2πR+2R B．2πR C．πR+R D．πR+2R【思路点拨】由“半径为R厘米的圆形纸片分成若干等份，沿半径剪拼成一个近似的长方形”，得出长方形的周长是圆的周长再加上圆的直径，据此解答即可。【规范解答】解：长方形的周长是：（2πR+2R）厘米。故选：A。【考点评析】解答本题的关键是知道拼成的近似长方形与圆之间的关系，进而解决问题。2.（2023春•襄汾县月考）在钉子板上 　不能　围出圆。（选填“能”或“不能”）【思路点拨】钉子板上围出的图形都是由直直的线段围成的图形，如三角形、正方形，而圆是曲线围成的，由此判断即可。【规范解答】解：钉子板上围出的图形都是直线图形，不能围出曲线图形，所以钉子板上不能围出圆。故答案为：不能。【考点评析】本题主要考查了圆的认识，解题的关键是钉子板上围出的图形都是直线图形，不能围出曲线图形。3.（2022秋•城固县期末）如图，长方形的长是 　20　cm，宽是 　10　cm。【思路点拨】认真看图，已知圆的半径是5厘米，则直径是5×2＝16（厘米），长方形的长是2个圆的直径的长度，宽等于圆的直径。据此解答。【规范解答】解：长方形的长：5×2×2＝20（厘米）宽：5×2＝10（厘米）答：长方形的长是20cm，宽是10cm。故答案为：20，10。【考点评析】解答本题的关键是认真看图，弄清圆与长方形的位置关系。4.在篝火晚会中，同学们总会自然而然地围成一个圆，这是因为 　在同一个圆中，半径都相等　。【思路点拨】根据圆的特点，在同一个圆中，半径都相等，同学们总会自然而然地围成一个圆，则每位同学到篝火的距离是一样的，据此填空即可。【规范解答】解：由分析可知：在篝火晚会中，同学们总会自然而然地围成一个圆，这是因为在同一个圆中，半径都相等。故答案为：在同一个圆中，半径都相等。【考点评析】本题考查圆的特点，明确圆的特点是解题的关键。5.如图所示，公园的人工湖上建了一个风车形的小岛，已知小岛中间是边长为20m的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形，整个小岛的面积是多少平方米？绕这个小岛走一圈是多少米？【思路点拨】整个小岛的面积＝正方形的面积+以正方形的边长为半径的圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出这个小岛的面积；绕这个小岛走一圈的长度是4个圆弧的长度（也就是一个圆的周长）加上圆的4条半径，由此求解即可。【规范解答】解：20×20+3.14×202＝400+1256＝1656（平方米）2×3.14×20+4×20＝125.6+80＝205.6（米）答：整个小岛的面积是1656平方米，绕这个小岛走一圈是205.6米。【考点评析】解答此题的关键是弄清楚，这个图形由哪些图形组成，利用规则图形的面积和以及周长和，即可得解。6.在2300多年前的战国时期，我国古代思想家墨子所著的《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也。”你是怎样理解这句话的？【思路点拨】本题是关于圆的题目，根据圆的定义即可完成解答。【规范解答】解：圆，一中同长也，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径。【考点评析】本题侧重考查知识点的记忆能力。培养对知识点的记忆能力。7.（2023春•灌云县期中）婷婷想要一个圆，可以用的方法是（　　）A．用小棒摆 B．在钉子板上围 C．沿着圆片边缘画【思路点拨】根据圆的特征，想要一个圆，可以用的方法是沿着圆片边缘画，用小棒摆、在钉子板上围都不能作出圆形，据此解答即可。【规范解答】解：结合选项分析可知，想要一个圆，可以用的方法是沿着圆片边缘画。故选：C。【考点评析】本题考查了圆的特征，结合题意分析解答即可。8.（2023春•江都区期中）如图所示的图形不能用小棒摆出的是哪一个？（　　）A． B． C．【思路点拨】三角形和长方形是直线边，可以用小棒摆出来；圆的边是圆滑曲线，所以不能用小棒摆出来，据此解答即可。【规范解答】解：不能用小棒摆出来的图形是。故选：B。【考点评析】此题考查了长方形、三角形和圆的特征，要熟练掌握。12．（2022秋•大田县期末）如图圆中的四个角，是圆心角的是（　　）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【思路点拨】根据圆心角的含义：顶点在圆心的角是圆心角；由此进行判断即可。【规范解答】解：圆中的四个角，是圆心角的是∠3。故选：C。【考点评析】明确圆心角的含义，是解答此题的关键。9.（2023•寒亭区）如图中小圆的半径是 　1　cm。​【思路点拨】根据图示，小圆的直径是10﹣8＝2（厘米），然后根据r＝d÷2，解答即可。【规范解答】解：（10﹣8）÷2＝2÷2＝1（厘米）答：小圆的半径是1厘米。故答案为：1。【考点评析】本题考查了圆的直径和半径的认识，结合题意分析解答即可。10．在一个圆中画有一条线段，怎样可以判断这条线段是否是所在圆的半径？（至少写出两种方法）【思路点拨】根据圆的半径的定义去判断，圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段．【规范解答】解：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的线段；方法①：把圆规的两脚放在线段的端点上，固定一端，看另一端旋转是否与圆重合；方法②：这条线段从圆心出发，另一端是否在圆周上．方法③把圆形纸片沿着线段AB对折，再对折，如果圆的边沿能够完全重合，且展开后，观察，如果B点在两条相互垂直的折痕的交点上，这条线段就为所在圆的半径，否则不是所在圆的半径．【考点评析】此题主要考查的是圆的半径的定义，注意两个关键处“从圆心出发”和“另一端必须在圆周上”即可很容易判断是否是圆的半径．11．如图，圆的半径是5厘米，你知道长方形的长和宽吗？【思路点拨】由图形可知：5个圆的半径的长等于长方形的长，2个圆的半径的长即长方形的宽，依此可求长方形的长和宽．【规范解答】解：长方形的长：5×5＝25（厘米）长方形的宽：5×2＝10（厘米）答：长方形的长是25厘米，宽是10厘米．【考点评析】考查了圆的半径和长方形的长和宽的关系．1、圆的周长。围成圆的曲线的长是圆的周长，一般用字母C表示。圆的周长的大小与半径的长短有关。2、圆周率。任意一个圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率，用字母 π 表示。它是一个无限不循环小数，π的值在３.１４１５９２６和３.１４１５９２7之间。计算时，π通常取它的近似值３.1４。用公式表示圆周率：圆周率=圆的周长÷半径=π。3、圆周长的测量方法。方法一　用滚动法测量圆的周长。在圆形硬纸板的边缘上点一点A，使点A对准直尺的0刻度，然后使圆形硬纸板在直尺上向右滚动一周，点A所指的新刻度就是这个圆形硬纸板的周长。方法二　用绕线法测量圆的周长。在圆形硬纸板的边缘上点一点A，使点A对准线的一个点，然后用线从点A开始绕圆形硬纸板一周，做好标记，再拉直并测量绕圆形硬纸板一周的线的长度，该长度就是圆形硬纸板的周长。4、圆的周长计算公式。圆的周长 ＝直径×圆周率或圆的周长 ＝半径×２×圆周率。如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。5、圆的周长计算公式的应用。（1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。（2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。（3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷π÷2。（4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷π。1、圆周率是任意一个圆的周长除以它的直径的商，这个比值是一个固定的数，与圆的大小无关。2、圆周率是一个无限不循环小数，在实际应用中取它的近似值。3、半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。4、计算时如果单位不统一，一定要先统一单位，然后再计算。【典例精讲01】（2023•陵城区）在一个长10cm，宽为6cm的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（　　）A．31.4cm B．30.84cm C．25.7cm D．15.7cm【思路点拨】根据题意可知，在这个长方体里画一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长公式：C＝πd÷2+d，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×10÷2+10＝15.7+10＝25.7（cm）答：这个半圆的周长是25.7cm。故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解半圆周长的意义，掌握半圆的周长公式及应用，关键是熟记公式。【典例精讲02】（2023•耒阳市）一个小圆和一个大圆的半径之比是1：3，如果小圆的周长是3.14厘米，那么大圆的周长是 　9.42厘米　。【思路点拨】根据圆的周长公式：C＝2πr，因为圆周率是一定的，所以大小圆周长的比等于半径的比，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×3＝9.42（厘米）答：大圆的周长是9.42厘米。故答案为：9.42厘米。【考点评析】此题主要考查圆周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。【典例精讲03】（2023•莱阳市）明明用圆规和直尺画了一个半圆，圆规两脚间的距离是3厘米，这个半圆的周长是 　15.42厘米　，面积是　14.13平方厘米　。【思路点拨】根据圆的周长＝π×半径×2，圆的面积＝π×半径×半径，解答此题即可。【规范解答】解：3.14×3+3×2＝9.42+6＝15.42（厘米）3.14×3×3÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）答：这个半圆的周长是15.42厘米，面积是14.13平方厘米。故答案为：15.42厘米；14.13平方厘米。【考点评析】知道圆规两脚间的距离是圆的半径，是解答此题的关键。【典例精讲04】（2022秋•昆明期末）求出其中一个圆的周长。【思路点拨】通过观察图形可知，一个圆的半径是（9÷3）厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。【规范解答】解：2×3.14×（9÷3）＝2×3.14×3＝18.84（cm）答：其中一个圆的周长是18.84cm。【考点评析】此题考查了长方形内最大圆的特点以及圆的周长公式的计算应用，求出圆的半径是解答本题的关键。1．（2023•光山县）如图，大圆的周长与两个小圆的周长和比较（　　）A．大圆的周长长 B．两个小圆的周长和长 C．一样长 D．无法判定【思路点拨】根据题意，设大圆的半径是R，两个小圆的半径都为r，根据圆的周长公式（C＝2πr）分别表示出大圆和两个小圆的周长，再计算两个小圆的周长的和，然后与大圆的周长比较，即可做出选择．【规范解答】解：大圆的周长是：C＝2πR，两个小圆的周长的和是：2πr+2πr＝π（2r+2r），根据图知道，2R＝2r+2r，所以2πR＝2πr+2πr，即：图中的两个小圆的周长的和与大圆的周长相等．故选：C．【考点评析】解答此题的关键是，根据圆的周长公式，设出半径，表示出三个圆的周长，再根据图，找出半径之间的关系，即可作答．2．（2023•黄浦区模拟）如果一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，那么这个圆的周长增加了（　　）A．3.14厘米 B．2π厘米 C．8π厘米 D．4π厘米【思路点拨】圆的周长计算公式是C＝2πR，如果半径增加n厘米，根据周长的计算公式可知周长增加2nπ，列式进行计算即可．【规范解答】解：3.14×（4﹣2）×2＝3.14×4＝12.56（厘米）．答：这个圆的周长增加12.56厘米，即4π．故选：D．【考点评析】本题考查圆的周长的计算，在圆中，如果是圆的半径增加n，则其周长增加2nπ，周长增加的值与原来圆的半径大小无关．3．（2023•增城区模拟）如图中圆的周长是（　　）cm。A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56【思路点拨】根据圆周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。【规范解答】解：直径：4﹣2＝2（厘米）3.14×2＝6.28（厘米）故选：B。【考点评析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。4．（2023•锡山区）一个直径2厘米的小圆在半径4厘米的大圆中沿着圆周滚动一圈又回到出发位置（如图），这个小圆的圆心移动了 　18.84　厘米。【思路点拨】通过观察图形可知，这个小圆的圆心移动的距离等于半径为（4﹣1）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。【规范解答】解：2÷2＝1（厘米）2×3.14×（4﹣1）＝6.28×3＝18.84（厘米）答：这个小圆的圆心移动了18.84厘米。故答案为：18.84。【考点评析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．（2021秋•黄州区期末）求阴影部分的周长。（单位：cm）【思路点拨】观察图形可知，阴影部分的周长就是这个半径为6厘米和9厘米的半圆的弧长再加上大半圆的直径，据此利用圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。【规范解答】解：2×3.14×6÷2+2×3.14×9÷2+9×2＝18.84+28.26+18＝65.1（厘米）答：阴影部分的周长是65.1厘米。【考点评析】解答求组合图形的周长，关键是观察分析图形是由哪几部分周长的，是求各部分的周长和、还是求各部分的周长差，重点是明确：阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+大半圆的直径。6．（2021秋•汤阴县期末）求如图阴影部分的周长和面积．【思路点拨】根据观察可知把左面阴影半圆同右面空白半圆是同样的，据此可知这个阴影部分的周长等于长为10米的线段与直径为6米的圆的周长的和，面积可根据长方形的面积公式：S＝ab可求出它的面积，据此解答．【规范解答】解：10×2+3.14×6＝20+18.84＝38.84（米）10×6＝60（平方米）答：阴影部分的周长是38.84米，阴影部分的面积是60平方米．【考点评析】本题的关键是让学生理解阴影部分的周长是两条长10米的线段与直径为6米的圆的周长的长，面积等于长是10米，宽是6米的长方形的面积．7．（2023•通榆县开学）计算图形的周长。【思路点拨】根据半圆环周长的意义，半圆环的周长等于大小圆周长的一半加上直径差的长度，根据半圆弧的周长公式：C＝πd÷2，把数据代入公式解答。【规范解答】C＝8π÷2+10π÷2+（10﹣8）＝4π+5π+2＝9×3.14+2＝28.26+2＝30.26 （cm）答：图形的周长是30.26cm。【考点评析】此题考查的目的是理解半圆环周长的意义，掌握半圆环的周长公式及应用。8．（2021秋•鹿城区期末）如图所示，两只蜗牛都从点A爬到点B。甲爬路线①花了5分钟，乙爬路线②花了4分钟。（1）甲、乙蜗牛爬行的路程相等吗？请你简单说明理由。（2）请你在图中再画一条路线，要求与路线②一样长。（3）甲蜗牛的速度比乙蜗牛慢 　20　%。【思路点拨】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出甲、乙爬行的距离，然后进行比较即可。（2）画法不唯一，只要与路线②一样长即可。（3）因为路程一定，速度和时间成反比，甲、乙所用时间的比的5：4，那么甲、乙速度的比是4：5，把乙的速度看作单位“1”，根据求一个数比一个数少百分之几，用除法解答。【规范解答】解：（1）甲爬行的路程：3.14×（2+4）÷2＝3.14×6÷2＝9.42（cm）乙爬行的路程：3.14×2÷2+3.14×4÷2＝3.14+6.28＝9.42（cm）答：甲、乙爬行的路线相等。（2）画法不唯一，作图如下： （3）甲、乙所用时间的比的5：4，那么甲、乙速度的比是4：5，（5﹣4）÷5＝1÷5＝0.2＝20%答：甲蜗牛的速度比乙蜗牛慢20%。故答案为：20。【考点评析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用，百分数的意义及应用。9．（2021秋•普宁市校级月考）求图形中阴影部分的面积。【思路点拨】（1）根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式求出半环形面积即可。（2）阴影部分的面积可以通过旋转拼成一个三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据分别代入公式解答【规范解答】解：（1）5÷2＝2.5（厘米）2.5+1＝3.5（厘米）3.14×（3.52﹣2.52）÷2＝3.14×（12.25﹣6.25）÷2＝3.14×6÷2＝9.42（平方厘米）答：阴影部分的面积是9.42平方厘米。（2）8×8÷2＝64÷2＝32（平方分米）答：阴影部分的面积是32平方分米。【考点评析】此题主要考查环形面积公式、三角形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。1、圆的面积。圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积，一般用字母S表示。圆的面积的大小与半径的长短有关。2、圆的面积计算公式。如果用S表示圆的面积，那么S =πr2或S = π（d÷2）2。方法一　用数格子的方法估算出圆的面积。在圆内画方格数一数，得到圆的面积。此方法无法得到圆的面积的精确值。方法二　转化法:将圆转化成平行四边形。(1)将一个圆形纸片分别分成8等份、16等份后剪切、拼接。等分圆时，要沿着半径剪开;拼接时，也要使半径重合。发现:把圆分成8等份、16等份后，可以拼成近似的平行四边形。(2)将一个圆形纸片分成32等份后剪切、拼接。发现:把圆平均分成的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就越接近平行四边形。3、圆的面积计算公式的应用。（1）已知圆的半径，求圆的面积：S = π r2。（2）已知圆的直径，求圆的面积：S = π（d÷2）2。（3）已知圆的周长，求圆的面积：S = π（C÷π ÷2）2。4、圆环。两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫作环形。5、圆环的面积计算公式。外圆的半径是R，内圆的半径是r，圆环的面积 ＝外圆面积－内圆面积，用字母表示为S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）。1、在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。2、圆环必须是由两个同心圆形成的。3、求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。4、在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽【典例精讲01】（2022秋•五华区期末）把一张圆形纸片平均分成若干（偶数）等份，剪开后拼成一个近似的长方形，在这个转化过程中（　　）A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．周长变了，面积没变 D．不能确定【思路点拨】把一个圆形平均分成16份，剪开拼成一个近似的长方形，这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆的周长的一半，所以这个转化过程中圆的面积不变，周长增加了两个半径的长度；此解答即可。【规范解答】解：把一个圆形平均分成16份，剪开拼成一个近似的长方形，这个转化过程圆的面积不变，周长发生变化，周长增加了两个半径的长度，所以本题选项C正确。故选：C。【考点评析】解答此题的关键是明白：将圆拼成一个近似的长方形后，这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆周长的一半。【典例精讲02】（2023•城阳区）如图，平行四边形的面积是18cm2，则圆的面积是 　28.26　cm2。​【思路点拨】通过观察图形可知，平行四边形的底等于圆的直径，平行四边形和高等于圆的半径，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：设圆的半径为r厘米。2r×r＝182r2＝18r2＝93.14×9＝28.26（平方厘米）答：圆的面积是28.26平方厘米。故答案为：28.26。【考点评析】此题主要考查平行四边形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【典例精讲03】（2022秋•西乡县期末）城市住建局在一个直径为16米的圆形喷水池的周围修一条宽2米的石子小路，请算一算这条路的面积是多少平方米？【思路点拨】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。【规范解答】解：16÷2＝8（米）8＝2＝10（米）3.14×（102﹣82）＝3.14×（100﹣64）＝3.14×36＝113.04（平方米）答：这条路的面积是113.04平方米。【考点评析】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。1．（2023春•江岸区期中）如图，两个大圆的面积相等，关于两个图形中阴影部分的说法正确的是（　　）​A．周长相等，面积也相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积也不相等【思路点拨】从图中可以看出前面图形阴影部分的面积＝大圆面积的一半，周长等于小圆周长的2倍加上大圆周长的一半；后面图形阴影部分的也等于大圆面积的一半，周长等于2个小圆的周长加上大圆周长的一半。所以面积和周长都相等。【规范解答】解：前面图形阴影部分的面积＝大圆面积的一半，周长等于小圆周长的2倍加上大圆周长的一半；后面图形阴影部分的也等于大圆面积的一半，周长等于2个小圆的周长加上大圆周长的一半。所以面积和周长都相等。故选：A。【考点评析】此题考查了面积及等积变换，将阴影面积转化为易求的图形的面积的差或和是解题的常用方法。1．（2023•大石桥市）用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4cm，所画出圆面积是 　50.24　cm²。【思路点拨】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4cm，即圆的半径是4厘米，利用圆的面积公式：S＝πr2计算其面积即可。【规范解答】解：3.14×42＝50.24（平方厘米）答：所画出圆面积是50.24cm²。故答案为：50.24。【考点评析】本题主要考查圆的面积公式的应用。3．（2023•涟源市）在一个边长2cm的正方形内画一个最大的圆，它的直径的是 　2　cm，它的周长是 　25.12　cm，面积是 　50.24　cm2。【思路点拨】在一个边长2cm的正方形中，画一个最大的圆，则这个最大的圆的直径就是这个正方形的边长即2厘米，由此利用圆的周长公式C＝πd，S＝πr2解答。【规范解答】解：3.14×2＝6.28（厘米）3.14×（2÷2）2＝3.14×1＝3.14（平方厘米）答：这个圆的直径是2cm，周长6.28厘米，面积是3.14平方厘米。故答案为：2，6.28，3.14。【考点评析】考查了圆的周长和面积的计算，在正方形中画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。4．（2023•淅川县）将一张长是4厘米，宽是3厘米的长方形硬纸剪成一个最大的半圆，这个半圆的周长是 　10.28　厘米，面积是 　6.28　平方厘米。【思路点拨】根据题意可知，在这张长方形硬纸剪成一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长公式：C＝πd÷2+d，半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×4÷2+4＝6.28+4＝10.28（厘米）3.14×（4÷2）2÷2＝3.14×4÷2＝12.56÷2＝6.28（平方厘米）答：这个半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。故答案为：10.28，6.28。【考点评析】此题主要考查半圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是明确：在这张长方形硬纸剪成一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长。5．（2018秋•白云区期末）一个圆的周长是1256m，半径增加了1m后，面积增加了3.14m2．　×　（判断对错）【思路点拨】先根据圆的半径＝周长÷π÷2求出原来的半径，即1256÷3.14÷2＝200米；增加后的半径是200+1＝201米，然后根据圆的面积＝πr2，增加的面积＝后来的面积﹣原来的面积，代入数据即可解答．【规范解答】解答：原来周长半径为：1256÷3.14÷2＝200（m）原来面积为：3.14×200×200＝125600（m2）增加后的半径是200+1＝201（米）增加的面积为：3.14×201×201﹣3.14×200×200＝3.14×（201×201﹣200×200）＝3.14×401＝1259.14（m2）答：面积增加了1259.14m2．所以原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题考查了圆的周长和面积公式的灵活应用，关键是求出原来的半径．6．圆转化成长方形后，面积不变，周长不变．　×　（判断对错）【思路点拨】把一个圆沿半径平均分成若干份后组成长方形（严格说是近似长方形），面积不变，周长比原周长多了两条半径．【规范解答】解：如图圆转化成长方形后，面积不变，周长比原周长多了两条半径的长度．原题的说法名错误．故答案为：×．【考点评析】圆转化成长方形后，面积不变，这就是圆面积计算公式的推导依据．7．（2022秋•湖北期末）（如图）已知图中的近似的长方形是由它左边的圆拼成的，且圆的半径是3厘米，求阴影部分面积．【思路点拨】由题意知，近似的长方形的面积等于圆的面积，阴影部分面积就等于圆面积的，要求阴影面积可用圆的面积乘即可，据此根据圆的面积公式：S＝πr2解答．【规范解答】解：3.14×32×＝3.14×9×＝21.195（平方厘米）答：阴影部分的面积是21.195平方厘米．【考点评析】解答此题的关键是：弄清阴影部分的面积等于圆面积的．8．（2022秋•阳新县期末）如图，院子的两堵墙分别为5m和8m，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米。如果将小羊A和小羊B分别拴在图1、图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示）【思路点拨】通过观察图形可知，图1中，小羊A吃到草的面积等于半径为4米的圆的面积的四分之三，图2中，小羊B能吃到草的面积等于半径为4米的半圆面积加上半径为（4﹣2）米，圆心角为90度的扇形面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：小羊A吃到草的面积：π×42÷4×3＝π×16÷4×3＝12π（平方米）小羊B吃到草的面积：π×42÷2+π×（4﹣2）2÷4＝π×16÷2+π×4÷4＝8π+π＝9π（平方米）12π﹣9π＝3π（平方米）答：小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。【考点评析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【典例精讲01】（2022秋•龙岗区期末）甲、乙两图中阴影部分的面积相比较，（　　）A．甲的面积大 B．乙的面积大 C．面积一样大 D．无法判断【思路点拨】甲图阴影部分的面积等于边长是4厘米的正方形面积减去半径为（4÷2）厘米的圆面积；乙图阴影部分的面积等于边长是4厘米的正方形面积减去半径为（4÷2）厘米的圆的4个圆面积。【规范解答】解：甲阴影面积＝4×4﹣（4÷2）2×3.14＝3.44（平方厘米）乙阴影面积＝4×4﹣（4÷2）2×3.14××4＝3.44（平方厘米）甲阴影＝乙阴影故选：C。【考点评析】熟悉正方形与圆的面积计算公式及图形的组合关系是解决本题的关键。【典例精讲02】（2023•夏邑县）如图中，已知圆的半径是1cm，正方形面积是 　2　cm2，阴影部分的面积是 　1.14　cm2．【思路点拨】（1）正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形分成两个完全一样的三角形，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答．（2）阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，根据正方形的面积公式、圆的面积公式，把数据代入公式解答．【规范解答】解：（1）1×2＝2（厘米）1×2×1÷2×2＝2×1＝2（平方厘米）答：正方形的面积是2平方厘米．（3）3.14×12﹣2＝3.14﹣2＝1.14（平方厘米）答：阴影部分的面积是1.14平方厘米．故答案为：2；1.14．【考点评析】解答有关求组合图形的面积，关键是观察分析图形是有哪几部分组成的，是求各部分的面积和还是求各部分的面积差，然后利用相应的面积公式解答即可．【典例精讲03】（2020秋•南海区期末）公园里有一个用瓷砖铺成的八卦图案（如图），铺白色瓷砖的面积是多少平方米？【思路点拨】做一条过两个小圆圆心的直线，可以发现，白色部分的面积就是整个大圆面积的一半，据此计算即可。【规范解答】解：如图分割：可以发现，白色部分的面积是大圆面积的一半，3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×52÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（平方米）答：白粉瓷砖的面积是39.25平方米。【考点评析】本题主要考查了圆与组合图形，合理的割补是本题解题的关键。1.（2022秋•彭州市期末）用一块长24cm、宽14cm的长方形铁皮剪半径为3cm的圆，最多可以剪（　　）个。A．32 B．16 C．8【思路点拨】长方形中剪圆，也就是剪边长为圆的直径的正方形。沿长剪可以剪[24÷（3×2）]个，沿宽剪可以剪14÷（3×2）个。总共数即可求。【规范解答】解：24÷（3×2）＝414÷（3×2）＝2……24×2＝8（个）答：最多可以剪8个。故答案为：C。【考点评析】理解剪圆的方法是解决本题的关键。2．（2021秋•瑞安市期末）如图，如果每个圆的半径都是3cm，那么每个圆的面积是 　28.26　cm2，长方形的周长是 　42　cm。【思路点拨】（1）根据圆的面积公式：S＝πr²，代入数据求解即可；（2）观察图形可知，这个长方形的长是（5×3）cm，宽是（3×2）cm，根据长方形的周长公式：C＝2（a+b）解答即可。【规范解答】解：（1）3.14×3²＝28.26（cm2）答：每个圆的面积是28.26cm2。（2）（5×3+3×2）×2＝21×2＝42（cm）答：长方形的周长是42cm。故答案为：28.26；42。【考点评析】此题考查了圆的面积及长方形的周长计算，解题的关键是确定长方形的长和宽。3．（2020秋•和平区期末）一个公园是圆形布局（如图），公园共有四个门，每两个相邻的门之间有一条直的水泥路相通，南门与东门之间的阴影部分是一片草地，草地的面积是2.28公顷．整个公园的占地面积是　25.12　公顷，每两个相邻的门之间的水泥路长　400　米【思路点拨】（1）要求整个公园的占地面积，实际求的是圆的面积，阴影部分＝圆面积﹣底和高都等于圆的半径的三角形面积，求出半径的平方即可求出；（2）方法1：用正方形的面积等于四个小直角三角形的面积求解；方法2：要求每两个相邻的门之间的水泥路的长，可根据勾股定理求出．【规范解答】解：（1）2.28公顷＝22800平方米设圆的半径为r米，根据题意得：3.14r2×﹣r2＝228000.785r2﹣0.5r2＝228000.285r2＝228000.285r2÷0.285＝22800÷0.285r2＝800003.14×80000＝251200（平方米）251200＝25.12公顷答：整个公园的占地面积是 25.12公顷．（2）方法1：80000÷2×4＝160000160000＝400×400方法2：设三角形的斜边为a米，根据勾股定理得：80000+80000＝a2 a2＝160000 a＝400答：每两个相邻的门之间的水泥路长400米．故答案为：25.12；400．【考点评析】此题主要考查的是圆的面积公式S＝πr2和 勾股定理a2+b2＝c2的灵活应用，以及解决问题的能力．4．（2021•曲阜市）如图中，半圆的半径是3厘米，中间是一个顶点在半圆上的等腰直角三角形．阴影部分的面积是多少平方厘米？【思路点拨】阴影部分的面积＝半圆的面积﹣等腰直角三角形的面积，然后根据圆和三角形的面积公式解答即可．【规范解答】解：3.14×32÷2﹣3×2×3÷2＝14.13﹣9＝5.13（平方厘米）答：阴影部分的面积是5.13平方厘米．【考点评析】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．5．（2020•雨花区）草原上有一等边三角形建筑物边长是6米，一只羊被拴在建筑物的一个角上.已知绳子长8米，这只羊能吃到草的总面积是多少平方米？（π取3.14，结果精确到小数点后一位）【思路点拨】根据题意可知，羊可以吃到草的面积是以8米为半径、圆心角为：360°﹣60°＝300°的扇形的面积，加上2个半径是：8﹣6＝2（米）、圆心角是180°﹣60°＝120°的扇形面积的和。利用扇形面积公式计算即可。【规范解答】解：如图：360°﹣60°＝300°180°﹣60°＝120°×3.14×82+×3.14×（8﹣6）2×2＝×3.14+×3.14＝56×3.14≈175.8（平方米）答：这只羊能吃到草的总面积是175.8平方米。【考点评析】本题主要考查组合图形的面积，关键是利用扇形面积公式计算。6．（2022秋•沂水县期末）求图中阴影部分的面积。【思路点拨】阴影部分的面积＝梯形的面积﹣圆的面积，根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，圆的面积＝πr2×，代入数据进行计算即可。【规范解答】解：梯形的面积：（4+12）×4÷2＝16×4÷2＝64÷2＝32圆的面积：3.14×42×＝3.14×16×＝50.24×＝12.56阴影部分的面积：32﹣12.56＝19.44【考点评析】解答此题的关键是：将阴影部分的面积转化成规则图形的面积和或差，问题即可得解。7．（2017•重庆）如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小23平方厘米，求BC的长．（π取3.14）【思路点拨】因为阴影部分①的面积比②的面积小23平方厘米，则阴影①和阴影②分别加上空白部分的面积，则面积仍然相差23平方厘米，即三角形ABC的面积﹣半圆的面积＝23平方厘米，又因半圆的直径已知，从而可以利用三角形和圆的面积公式求解；【规范解答】解：BC的长度为x厘米， ×20×x﹣3.14×÷2＝23 10x﹣3.14×100÷2＝23 10x﹣314÷2＝23 10x﹣157＝23 10x＝180 x＝18答：BC的长度是18厘米．【考点评析】由题意得出“三角形ABC的面积﹣半圆的面积＝23平方厘米”是解答本题的关键．8．（2023•成都模拟）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC．连接AF、CF、AF与BC交于点H，试求图中阴影部分的面积．【思路点拨】设正方形BGFE的边长是a，根据题意得出阴影部分的面积是S＝S△CEF+S正方形BGFE+S扇形BAC﹣S△AGF，代入数据求出即可．【规范解答】解：设正方形BEFG的边长是a厘米，则阴影部分的面积是S＝S△CEF+S正方形BGFE+S扇形BAC﹣S△AGF＝a（4﹣a）+a2+•π•42﹣（4+a）a＝4π（平方厘米）答：图中阴影部分的面积是4π平方厘米．【考点评析】本题考查了扇形面积，三角形面积，正方形性质的应用，解此题的关键是能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．9．（2020•仙桃）如图，长方形内有一个最大的半圆，求阴影部分的面积．（单位：厘米）【思路点拨】观察图形可知，阴影部分的面积等于长为10厘米，宽为半圆的半径即10÷2＝5厘米的长方形的面积减去直径为10厘米的半圆的面积，依据长方形和圆的面积公式代入数据计算即可．【规范解答】解：10×（10÷2）﹣3.14×（10÷2）2÷2＝10×5﹣3.14×25÷2＝50﹣39.25＝10.75（平方厘米）答：阴影部分的面积是10.75平方厘米．【考点评析】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可