北师大版（知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化）六年级上册数学讲义 第6单元 比的认识（学生版+教师版）

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北师大数学六年级上册第六单元 比的认识知识点01：生活中的比（1）解答这部分关于比的题目时可以运用分数的意义进行解答。如阴影部分是大圆面积的，即大圆面积是8份。（2）比、分数、除法的区别：除法是一种运算，分数是一种数，比表示两个数之间的关系。知识点02：比的化简化简比的方法：①比的前后项都是整数，前后项同时除以它们的最大公因数；②比的前后项都是分数，前后项同时乘分母的最小公倍数，再按方法①进行化简；③比的前后项都是小数，先同时乘10，100，…化成整数，再按方法①进行化简。知识点03：比的应用1.按比分配先求出总量一共平均分成了几份，再用相应的分数来表示各部分量，最后用分数乘法来解答。2.解答比的应用问题的一般方法：①把比看成份数来解答；②把比转化成求一个数的几分之几来解答。易错点01：比的意义和化简1. 一个比的前、后两个数位置不能颠倒。2.比值和比是有区别的，比值是一个具体的数，可以是分数、小数、整数，而比表示两个数的关系。3.比、分数、除法三者是有区别的，它们之间不是“等于”的关系，而只能是“相当于”的关系。4.体育比赛中的“比”不是数学意义上的比。5. 求两个不同单位的同类量的比或比值时，要先统一两个量的单位。6. 比的基本性质不是指同时加或减相同的数，也不是指同时乘或者除以不同的数（0除外）。7. 一般情况下，小数比的化简要先把前、后项扩大相同的倍数化成整数比，再化成最简单的整数比。易错点02：比的应用1. 解按比分配的问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少，已知量÷已知量对应的份数=一份量。2. 解答按一定的比进行分配的问题时，不但要找准分配的比，还要找准被分配的量。考点一：比的意义【典例精讲】（2023秋•息县期中）如图中平行四边形的面积是20m2，甲和乙面积的比是 　2：3　，甲和丙面积的比是 　2：5　。（填最简整数比）【思路点拨】根据三角形面积＝底×高÷2，设平行四边形的高是h，那么甲、乙、丙的高也是h，求出甲、乙、丙的面积，再分别写出它们的比并化简，即可解答。【规范解答】解：（2h÷2）：（3h÷2）＝1：＝2：3（2h÷2）：[（（2+3）h÷2]＝1：＝2：5答：甲和乙面积的比是2：3，甲和丙面积的比是2：5。故答案为：2：3，2：5。【考点评析】本题考查的是比的意义，理解和应用比的意义是解答关键。【变式训练1-1】（2023秋•阳东区期中）把1g盐放入99g水中，盐与盐水的质量比是（　　）A．1：99 B．1：100 C．100：1【变式训练1-2】（2023秋•天门期中）任意一个圆的周长和它的直径之比是 　 　；正方形的边长和周长的比是 　。【变式训练1-3】（2023秋•台江区期中）一项工程，甲队单独做要8天完成，乙队单独做要10天完成。甲乙两队的工作效率之比是（　　）A．8：10 B．5：4 C．10：8 D．4：5【变式训练1-4】（2021•高坪区）男生人数的与女生人数的同样多，男生人数与女生人数的比是 　 　，女生人数占全班人数的。【变式训练1-4】（2022•招生）小轿车和大轿车同向而行，如图表示它们的行驶情况。（1）　 分钟它们相距12km；（2）小轿车和大轿车的速度之比是 ；（3）当小轿车和大轿车都行驶到离起点180km时，小轿车比大轿车提前了多少分钟？【变式训练1-6】（2021秋•乐清市期中）从学校到书店，乐乐步行需要8分钟，莉莉步行需要11分钟，乐乐与莉莉所用的时间比是多少？【变式训练1-7】（2023秋•龙湾区期中）六（1）班男生人数是女生人数的，则男、女生的人数比是 ，男生人数是全班总人数的，如果全班生有45人，那么女生有 　 　人。考点二：比的读法、写法及各部分的名称【典例精讲】（2023秋•渝北区校级月考）8：　10　＝　12　＝　80　%＝　八　折。【思路点拨】根据分数的基本性质、分数与除法、比之间的关系，分数化百分数的方法和折扣问题。【规范解答】解：＝4÷5＝0.8＝80%＝八折所以8：10＝12＝80%＝八折。故答案为：10；12；80；八。【考点评析】本题考查了分数的基本性质、分数与除法、比之间的关系、分数化百分数的方法和折扣问题。【变式训练2-1】（2021秋•铁西区期末）10克盐溶于40克水中，盐与水的比是（　　）A．5：1 B．4：1 C．1：5 D．1：4【变式训练2-2】．（2020秋•滦州市期中）有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的8倍，小圆与大圆周长的比是　 　，大圆与小圆面积的比是 。【变式训练2-3】（2022春•丹江口市期中）一杯果汁，喝了。已喝的和剩下的果汁的比是2：3。 　 　（判断对错）考点三：比与分数、除法的关系【典例精讲】（2023•楚雄市）12：　16　＝：＝1.2÷　1.6　＝＝　75　%＝　0.75　（填小数）【思路点拨】根据比的基本性质：的前、后项都乘4是3：4，3：4的前、后项都乘4就是12：16；根据比与除法的关系12：16＝12÷16，再根据商不变的性质被除数、除数都乘除以10就是1.2÷1.6；根据比与分数的关系3：4＝，再根据分数的基本性质，分子、分母都乘3就是；12÷16＝0.75；把0.75的小数点向右移动两位添上百分号就是75%。【规范解答】解：12：16＝：＝1.2÷1.6＝＝75%＝0.75故答案为：16，1.6，12，75，0.75。【考点评析】此题主要是考查小数、分数、除法、比、百分数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。【变式训练3-1】（2022秋•云岩区校级月考）＝　 　÷6＝　 　：18＝30：　 　≈　 　（填小数，保留两位小数）【变式训练3-2】（2023•平坝区）　 　：20＝＝　 　（填小数）＝　 　%【变式训练3-3】（2023•桂平市）0.07：0.35＝＝1÷　 　＝14：　 　＝　 　%。【变式训练3-4】（2023•滨城区）3÷　 　＝0.6＝　 　÷30＝＝　 　折【变式训练3-5】（2023秋•鄂城区期中）20÷　 　＝＝25：　 ＝＝　 　：56＝　 　（填小数）考点四：比的性质【典例精讲】（2023秋•威县期中）在12：15中，如果比的前项增加36，要使比值不变，后项应增加 　45　；若比的后项缩小为原来的，要想比值不变，前项应减少 　8　。【思路点拨】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此解答。【规范解答】解：在12：15中，如果比的前项增加36，即12+36＝48，48÷12＝4，相当于前项乘4，要使比值不变，后项应增乘4，即15×4＝60，60﹣15＝45，相当于后项增加45；若比的后项缩小为原来的，要想比值不变，前项也要缩小为原来的，即12×＝4，12﹣4＝8，相当于前项减少8。故答案为：45；8。【考点评析】熟练掌握比的基本性质是解题的关键。【变式训练4-1】（2023秋•礼县期中）5：9中的前项加20，要使比的大小不变，后项应该加（　　）A．20 B．9 C．36.【变式训练4-2】（2023秋•德城区校级期中）比的前项扩大到原来的10倍，后项缩小到原来的，比值就（　　）A．扩大到原来的15倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的50倍 D．缩小到原来的【变式训练4-3】（2023秋•瑞安市期中）如果，那么（M×35）：（N×35）＝　　；如果N＝56，那么M＝　 　。【变式训练4-4】（2023秋•武安市期中）4：7的前项扩大到原来的2倍，要使比值不变，后项也应扩大到原来的2倍。 　 　（判断对错）【变式训练4-5】（2023•耒阳市）一个比的前项乘3，要使比值不变，后项也要乘3。 　 　（判断对错）【变式训练4-6】　 　÷32＝＝24：　 ＝【变式训练4-7】在4：15中，如果前项加上8，要使比值不变，后项加上多少？如果后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项要加上多少？考点五：求比值和化简比【典例精讲】（2023秋•历城区期中）某校六年级有学生150人，未达到《国家体育锻炼标准》的有4人，未达到《国家体育锻炼标准》的人数与已达到的人数最简整数比为 　2：73　，比值是 　　。【思路点拨】某校六年级有学生150人，未达到《国家体育锻炼标准》的有4人，那么达到标准的有150﹣4＝146（人），未达到《国家体育锻炼标准》的人数与已达到的人数的比为4：：146，化成最简比为2：73，比值求出来即可。【规范解答】解：150﹣4＝146（人）4：146＝2：73＝答：达到《国家体育锻炼标准》的人数与已达到的人数最简整数比为2：73，比值是。故答案为：2：73；。【考点评析】解答本题需明确：化简比的结果是一个最简整数比，求比值的结果是一个值。【变式训练5-1】（2023秋•东莞市期中）把0.8千米：250米化成最简整数比是（　　）A．8：25 B．16：5 C．2：625 D．4：25【变式训练5-2】（2023秋•瑞安市期中）把“30分：小时”化成最简整数比是（ 　 　：　 　），比值是 　　。【变式训练5-3】（2023秋•平度市期中）一个正方体的体积是A立方分米，棱长是B分米，那么，A与B的比值表示 　 　。【变式训练5-4】（2023秋•呼伦贝尔期中）已知a是b的，则a：b＝ 　。（填最简单的整数比）（1）若a是15，则b是 ；若b是14，则a是 　 　。（2）若a与b的和是40，则a是 　 　，b是 　 　。【变式训练5-5】（2022秋•广州期中）化成最简单的整数比。【变式训练5-6】（2023春•惠来县期末）1.2的倒数是 　　，化成最简单的整数比是 　 　。考点六：比的应用【典例精讲】（2023秋•威县期中）丫丫从家到学校要走756米，其中上坡路、平路和下坡路的长度之比为2：3：4，丫丫从家到学校这段路中，上坡路有 　168　米，平路有 　252　米，下坡路有 　336　米。【思路点拨】把756米按2：3：4进行分配，即可解答。【规范解答】解：756×＝756×＝168（米）756×＝756×＝252（米）756×＝756×＝336（米）答：上坡路有168米，平路有252米，下坡路有336米。故答案为：168，252，336。【考点评析】本题考查的是比的应用，掌握按比例分配的方法是解答关键。【变式训练6-1】（2023秋•历城区期中）合唱团女生人数与男生人数的比为2：5，最近又转进11名女生，这时女生人数是全班人数的，现在合唱团有（　　）人。A．35 B．84 C．660 D．60【变式训练6-2】．（2023•仙居县）下面四句话中，说法正确的有（　　）句。①用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积不变；②一个三角形的三个内角度数之比是3：2：1，这是一个直角三角形；③A比B多，那么B比A少；④将10g糖溶入100g水中，此时含糖率是10%。A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练6-3】（2023秋•五华区期中）甲、乙两数的比是2：5，甲数比乙数少5.4，乙数是 　 　。【变式训练6-4】（2023秋•五华区期中）在一个等腰三角形中，一个底角和顶角的度数比是1：4，它的顶角是 　°，其中一个底角是 　 　°。【变式训练6-5】（2023秋•息县期中）思维能力：指在学习、生活中每逢遇到问题，通过分析、综合、概括、抽象、比较、具体化和系统化等一系列过程，对感性材料进行加工并转化为理性认识及解决问题的一种能力。下面是一道思维训练题，来挑战一下吧。如图，这个正方形被分成了4个部分，其中，A和B的面积比是2：3，B和C的面积比是2：1。如果D的面积是35平方厘米，那么正方形的面积是多少平方厘米？【变式训练6-6】（2023秋•滕州市期中）六年级二班有男生25人，男生与女生的人数比是5：4。女生有多少人？【变式训练6-7】（2023秋•威县期中）2022年卡塔尔世界杯带给我们一场体育盛宴，而中国手艺人不用一根钉子，不用一滴胶水，全靠木头之间巧妙的桦卯结构制成的“桦卯”足球尽显中华传统技艺的璀璨夺目。据制作木质足球的阿木爷爷介绍，“桦卯”足球完全按照真实的足球比例进行设计，足球表面一般是由正五边形皮和正六边形皮拼接而成的，正五边形皮和正六边形皮块数的比是3：5，且正五边形皮比正六边形皮少8块。为了制作这个足球，阿木爷爷两种形状的球皮各做了多少块？【变式训练6-8】（2023秋•历城区期中）调制巧克力奶，巧克力与奶的质量比是2：9，巧克力的质量是奶的，奶的质量占巧克力奶的，若巧克力比奶少140克，巧克力奶有 　 　克。【变式训练6-9】（2023秋•安溪县期中）甲乙共同运送一批货物，甲计划运送这批货物的，当他完成任务后，又帮乙运送了8吨，这时甲、乙运送货物的质量比是5：3。这批货物一共有多少吨？：6.3：0.94m：18cm