2023-2024学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）
4．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
5．下列运算结果正确的是（ ）
A．（a5）2＝a7B．a2•a4＝a6
C．x8÷x2＝x4D．（π﹣3.14）0＝3.14﹣π
6．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线B．中线
C．高线D．以上都不是
7．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（2x+1）＝2x2+xB．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2
8．计算0.524×（﹣2）25的值为（ ）
A．﹣2B．﹣0.5C．1D．2
9．若等腰三角形中有两边的长分别为5和8，则这个三角形的周长为（ ）
A．18B．21C．16或21D．18或21
10．若（2x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
11．将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝6，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分）
13．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
14．如图所示为第四套人民币中的1角硬币，该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ．
15．因式分解：3x2﹣3＝ ．
16．已知2m+n＝2，则1﹣2m﹣n＝ ．
17．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，8），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为 ．
三．解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣a2）3+2a2•a4．
（2）（x+1）（x+3）﹣（x+2）（x﹣2）．
20．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣5，3），C（﹣1，2）．
（1）请作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）若点P（a，b）是△ABC内一点，则点P关于x轴的对称点P1的坐标为 ；
（3）△ABC与△A2B2C2关于直线x＝1（直线上各点的横坐标都是1）对称，则AA2＝ ．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD＝DC．
23．生活中的数学：
（1）某中学计划为新生军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是 ；
（2）图2是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度AD设计为30cm，求撑开时的凳腿间距CB；
（3）为了节省空间，凳子不用时折叠起来摆放，如图3是折叠凳折叠时的侧面示意图，在（2）的条件下，已知撑开时凳面与凳腿的夹角∠A为60°，求折叠时的凳子高度AB．
24．阅读与思考：
【感知】已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52＝25，即a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19．
【探究】参考上述过程，解答下列问题：
（1）若x+y＝4，x2+y2＝2，则xy＝ ；
（2）若a满足（m+3）2+（5﹣m）2＝56，求（m+3）（5﹣m）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．若长方形CEPF的面积为50，求图中阴影部分的面积和．
25．综合与实践：
【问题情境】已知OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上的一点，点D，E分别在射线OA，OB上，连接PD，PE．
【初步探究】（1）如图1，当PD⊥OA，PE⊥OB时，PD与PE的数量关系是 ；
【深入探究】（2）如图2，若∠PDO+∠PEO＝180°，（1）中PD与PE的数量关系还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，BD＝2，求△ABD的面积．
26．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．
2023-2024学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）
1．解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
2．解：A、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
C、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：点A（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标为（1，2），
故选：D．
4．解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，
故选：C．
5．解：A．（a5）2＝a10，原式错误，不合题意；
B．a2•a4＝a6，计算正确，符合题意；
C．x8÷x2＝x6，原式错误，不合题意；
D．（π﹣3.14）0＝1，原式错误，不合题意；
故选：B．
6．解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
7．解：A、x（2x+1）＝2x2+x，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、1﹣a2＝（1+a）（1﹣a），是因式分解，故本选项符合题意；
D、a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．解：0.524×（﹣2）25
＝
＝
＝
＝（﹣1）24×（﹣2）
＝﹣2．
故选：A．
9．解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、8，
能组成三角形，
周长＝5+5+8＝18，
5是底边长时，三角形的三边分别为5、8、8，
能组成三角形，
周长＝5+8+8＝21，
综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21．
故选：D．
10．解：（2x﹣m）（x+1）
＝2x2+2x﹣mx﹣m
＝2x2+（2﹣m）x﹣m，
∵结果中不含x的一次项，
∴2﹣m＝0，
解得：m＝2．
故选：A．
11．解：图2中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为（a﹣b）的正方形，如图1，因此面积为（a﹣b）2，
图2中，四个阴影小正方形的面积和，可以看作从边长为a的大正方形中减去空白部分的面积，即a2﹣2ab+b2，
因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：A．
12．解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴E点在AC上，
∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，
由对称性可知，AE＝AB，
∵AB＝6，
∴AE＝6，
在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝30°，
∴AN＝3．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分）
13．解：∵分式有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
14．解：正九边形的一个外角的度数为360°÷9＝40°，
故答案为：40°．
15．解：原式＝3（x2﹣1）＝3（x﹣1）（x+1），
故答案为：3（x﹣1）（x+1）．
16．解：1﹣2m﹣n
＝1﹣（2m+n）
＝1﹣2
＝﹣1
故答案为：﹣1．
17．解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故答案为：110°．
18．解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，
∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝2，
∴A1O1＝OA1＝2×2×，点A1纵坐标是2×，
∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，
∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝2×，
∴A2O2＝O1A2＝2×，点A2的纵坐标是2×，即2×（）2，
∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，
同理，得点A3的纵坐标是2×（）3，
按此规律继续作下去，得：点A2023的纵坐标是2×（）2023，即（）2022，
故答案为：（）2022．
三．解答题（本大题共8小题，共72分）
19．解：（1）（﹣a2）3+2a2⋅a4
＝﹣a6+2a6
＝a6；
（2）（x+1）（x+3）﹣（x+2）（x﹣2）
＝x2+4x+3﹣x2+4
＝4x+7．
20．解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y．
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．
21．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）∵点P（a，b），
∴点P关于x轴的对称点P1的坐标为（a，﹣b）．
故答案为：（a，﹣b）．
（3）∵△ABC与△A2B2C2关于直线x＝1对称，
∴点A2的坐标为（4，5），
∴AA2＝6．
故答案为：6．
22．【解答】（1）解：如图，DE为所作；
（2）证明：连接AD，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝CD，
∴BD＝CD．
23．解：（1）这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）∵O是AB和CD的中点，
∴AO＝BO，CO＝DO，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴BC＝AD＝30cm．
（3）∵△AOD≌△BOC，
∴AO＝BO，CO＝DO，
∵AB和CD的长相等，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠A为60°，
∴△AOD是等边三角形，AO＝BO＝AD＝30cm．
∴AB＝60cm．
24．解：（1）∵x+y＝4，
∴（x+y）2＝42＝16，即x2+2xy+y2＝16，
∵x2+y2＝2，
∴，
故答案为：7；
（2）∵[（m+3）+（5﹣m）]2＝（m+3）2+2（m+3）（5﹣m）+（5﹣m）2＝82＝64，且（m+3）2+（5﹣m）2＝56，
∴2（m+3）（5﹣m）＝64﹣56＝8，
∴（m+3）（5﹣m）＝4；
（3）设BE＝DF＝x，
∵长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，
∴CD＝10，
∴CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，
∵长方形CEPF的面积为50，
∴CF⋅CE＝（10﹣x）（6﹣x）＝50，
∵[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2＝（10﹣x）2﹣2（10﹣x）（6﹣x）+（6﹣x）2＝42＝16，
∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝16+2×50＝116，
∵正方形CFGH和CEMN的面积和为CF2+CE2＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝116，
∴阴影部分的面积和为116．
25．解：（1）∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
故答案为：PD＝PE；
（2）（1）中PD与PE的数量关系还成立，理由如下：
如图2，过点P作PF⊥OA于F，PH⊥OB于H，则∠PFD＝∠PHE＝90°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴PF＝PH，
又∵∠PDO+∠PEO＝180°，∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PDF＝∠PEO，
∴△PDF≌△PEH（AAS），
∴PD＝PE；
（3）∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴∠BDA＝∠DBC+∠C＝75°，
∴∠A＝∠BDA，
∴AB＝BD＝2，
如图3，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，则DM＝DN，
∵∠DBC＝30°，
∴DN＝BD＝1，
∴DM＝DN＝1，
∴S△ABD＝AB•DM＝×2×1＝1．
26．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，
∴∠BCO＝∠CAO；
（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB＝∠AOC＝90°，
在△CDB和△AOC中，
，
∴△CDB≌△AOC（AAS），
∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，
∴OD＝5﹣2＝3，
又∵点B在第三象限，
∴B（﹣2，﹣3）；
（3）OP的长度不会发生改变．
理由：如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则
∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵点C（0，3），S△CQA＝18，
∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18，
∴AQ＝12，
∴CH＝12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝6，
又∵CO＝3，
∴OP＝3+6＝9（定值），
即OP的长度始终是9．