广西南宁市第三中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广西南宁市第三中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）2022年国庆黄金周非比寻常，七天长假期间，全国共接待国内游客约422000000人次（ ）
A．4.22×108B．42.2×107C．4.22×109D．0.422×108
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（a2）2＝a4C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
4．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
5．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．15°
6．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，连接AD，若△ABC的周长为15，则△ADC的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，且BD＝1（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
9．（3分）若2a＝3，2b＝4，则2a+b等于（ ）
A．7B．12C．48D．32
10．（3分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
11．（3分）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a﹣b）6的展开式中，含a5项的系数是（ ）
A．15B．﹣6C．6D．﹣15
12．（3分）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．（2分）4的平方根是 ．
14．（2分）计算：a3÷a2＝ ．
15．（2分）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则AB＝ cm．
16．（2分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝20°，∠2＝25° ．
17．（2分）已知：，则＝ ．
18．（2分）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，则△AEF周长的最小值是 （用含a，b的式子表示）．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣2|+π0﹣+27+3．
20．（6分）先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
21．（10分）如图，已知△ABC的顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣4，5），C（﹣5，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是 ．
（3）在x轴上找一点P，使得AP+CP最小（画出图形，找到点P的位置）．
22．（10分）我校开展了“美丽校园”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ；并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m＝ ，“D”主题对应扇形的圆心角为 度；
（3）我该校共有3000名学生，请根据上述调查结果，估计学校参与“校园安全”主题的学生人数．
23．（10分）如图，点D，E分别在AB，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，OB＝OC．
求证：∠1＝∠2．
小虎同学的证明过程如下：
（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
24．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．
25．（10分）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形（0，1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，并延长CA交x轴于点E．
（1）求证：OB＝AC；
（2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，请求出点Q的坐标；若不存在
2023-2024学年广西南宁三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）2022年国庆黄金周非比寻常，七天长假期间，全国共接待国内游客约422000000人次（ ）
A．4.22×108B．42.2×107C．4.22×109D．0.422×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤‖a＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：422000000＝4.22×108，
故选：A．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（a2）2＝a4C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a4＝a7，故A不符合题意；
B、（a2）2＝a4，故B符合题意；
C、（2a）3＝3a3，故C不符合题意；
D、a10÷a2＝a4，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
【分析】利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA、SSS对△MOC和△NOC进行分析，即可作出正确选择．
【解答】解：∵OM＝ON，CM＝CN，
∴△MOC≌△NOC（SSS）．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
5．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．15°
【分析】先求出∠2和∠3的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：由三角板的性质可得：∠2＝30°，∠3＝45°，
∴∠3＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，连接AD，若△ABC的周长为15，则△ADC的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
【解答】解：∵根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为15，AB＝6，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝15﹣6＝2．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
7．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC，
当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，
当AC＝AB＝6时．满足三角形三边关系定理，
∴AC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，且BD＝1（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【分析】先求出∠A＝∠BCD＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【解答】解：∵CD是△ABC的高，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝2×7＝2，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝3﹣1＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
9．（3分）若2a＝3，2b＝4，则2a+b等于（ ）
A．7B．12C．48D．32
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：2a+b＝2a×7b＝3×4＝12．
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
10．（3分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8B．3C．4.2D．5
【分析】过点D作DH⊥OB于H，根据角平分线的性质，证明DE＝DH，再根据已知条件和垂线的性质进行解答即可．
【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，
∴DF的长度不可能小于3，
∴DF的长度不可能是4.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线的性质．
11．（3分）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a﹣b）6的展开式中，含a5项的系数是（ ）
A．15B．﹣6C．6D．﹣15
【分析】根据上面规律，先找出（a+b）5的展开式中各项系数，再确定（a+b）6展开后的各项系数，即可确定（a﹣b）6展开后的各项系数，从而得出答案．
【解答】解：根据上面的规律，得（a+b）5＝a5+4a4b+10a3b5+10a2b3+4ab4+b5，各项系数为：8，5，10，5，2
∴（a+b）6展开后的各项系数为：1，8，15，15，6，1，
∴（a﹣b）8展开后的各项系数为：1，﹣6，﹣20，﹣5，1．
∵含a5项的b是奇数次方，
∴含a8项的系数是﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键．
12．（3分）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D（ ）
A．B．2C．D．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝5，
∴DE＝2．
故选：B．
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．（2分）4的平方根是 ±2 ．
【分析】一个数x的平方等于a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝3，
∴4的平方根是±2，
故答案为：±8．
【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．（2分）计算：a3÷a2＝ a ．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减即可求解．
【解答】解：a3÷a2＝a．
故答案为：a．
【点评】本题考查同底数幂的除法法则，一定要记准法则才能做题．
15．（2分）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则AB＝ 4 cm．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△ABD是等腰三角形，从而可得AB＝AD，即可解答．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
16．（2分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝20°，∠2＝25° 45° ．
【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，再利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠5+∠ABD＝25°+20°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE．
17．（2分）已知：，则＝ 7 ．
【分析】把已知的式子两边平方，即可求解．
【解答】解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝9，
即+3＝9，
则＝7．
故答案为：6．
【点评】本题考查了完全平方公式，理解（x+x﹣1）的平方与所求的式子之间的关系是关键．
18．（2分）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，则△AEF周长的最小值是 a+b （用含a，b的式子表示）．
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：|﹣2|+π0﹣+27+3．
【分析】直接利用算术平方根的定义、绝对值的性质、有理数的混合运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+1﹣4+30
＝29．
【点评】本题主要考查了实数运算，掌握实数运算法则是关键．
20．（6分）先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
【解答】解：3a（2a3﹣4a+3）﹣2a2（3a+7）
＝6a3﹣12a6+9a﹣6a5﹣8a2
＝﹣20a4+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×6﹣9×2＝﹣98．
【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
21．（10分）如图，已知△ABC的顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣4，5），C（﹣5，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是 （﹣a，b） ．
（3）在x轴上找一点P，使得AP+CP最小（画出图形，找到点P的位置）．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据关于y轴对称点的坐标特点求解即可；
（3）连接A1C，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C4即为所求，点B1的坐标为（﹣4，﹣8）；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣a，b），
故答案为：（﹣a，b）；
（3）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
22．（10分）我校开展了“美丽校园”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 60 ；并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m＝ 30 ，“D”主题对应扇形的圆心角为 54 度；
（3）我该校共有3000名学生，请根据上述调查结果，估计学校参与“校园安全”主题的学生人数．
【分析】（1）用“A”的人数除以所占比例即可得出样本容量，求出“C”的人数，补全条形统计图即可；
（2）用总人数除以“C”的人数即可求出m的值，用360°乘以“D”所占的比例即可；
（3）学校总人数×参与“校园安全”主题的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是15÷25%＝60，
“C”的人数为60﹣15﹣18﹣9＝18（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：60；
（2）∵m%＝×100%＝30%，
∴m＝30，
在扇形统计图中，“D”所在扇形的圆心角＝360°×；
故答案为：30，54．
（3）3000×30%＝900（人），
答：估计学校参与“校园安全”主题的学生人数有900人．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图；读懂题意，正确的找出各个主题活动所对应的数据图是解题的关键．
23．（10分）如图，点D，E分别在AB，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，OB＝OC．
求证：∠1＝∠2．
小虎同学的证明过程如下：
（1）小虎同学的证明过程中，第 二 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断；
（2）证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2．
【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二；
（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（AAS），
∴OD＝OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
24．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设乙型头盔m个，根据所需费用＝数量×单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m的最大值；
（3）根据利润＝单件利润×数量，列不等式，求出乙型头盔m的取值范围，结合（2）中答案确定m的取值范围，即可得出可选方案．
【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（200﹣m）个，
根据题意，得：65m+30（200﹣m）≤10200，
解得：m≤120，
∴m的最大值为120；
答：最多可购进乙型头盔120个；
（3）能，
根据题意，得：（58﹣30）（200﹣m）+（98﹣65）m≥6190；
解得：m≥118；
∴118≤m≤120；
∵m为整数，
∴m可取118，119或120，81或80；
因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；
②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；
③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
【点评】本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数．
25．（10分）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
【分析】（1）由图形得出完全平方公式即可；
（2）①根据完全平方公式计算出ab的值即可；
②利用完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）由图2可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）3＝a2+2ab+b4；
（2）①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a3+2ab+b2＝49，
∵a4+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（3﹣x）+（x﹣2）]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）（x﹣2）+（x﹣2）6＝36，
∵（8﹣x）2+（x﹣5）2＝20，
∴2（6﹣x）（x﹣2）＝16，
∴（8﹣x）（x﹣4）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形（0，1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，并延长CA交x轴于点E．
（1）求证：OB＝AC；
（2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，请求出点Q的坐标；若不存在
【分析】（1）根据等边三角形性质得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，证出△PBO≌△PCA，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）∠EAO＝60゜，求出∠AEO＝30゜，得出AE＝2AO，求出即可；
（3）①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，求得OQ＝AE+AO＝3，②当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，求得OQ＝AQ﹣AO＝1，③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，求得OQ＝AO＝1，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，
∴OP＝AP，BP＝PC，
∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，
即∠OPB＝∠APC，
在△PBO和△PCA中，
，
∴△PBO≌△PCA （SAS），
∴OB＝AC．
（2）解：当B点运动时，AE的长度不发生变化，
理由是：∵∠EAO＝∠BAC＝60゜，∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝30゜，
∴AE＝2AO＝2，
即当B点运动时，AE的长度不发生变化．
（3）解：存在，
∵AE＝4AO＝2，
∴①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，
∴OQ＝AE+AO＝6，
∴Q（0，3），
②当AQ＝AE＝8时，△AEQ为等腰三角形，
∴OQ＝AQ﹣AO＝1，
∴Q（0，﹣8），
③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，
∴OQ＝AO＝1，
∴Q（2，﹣1）．
综上所述：在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，3），﹣2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，熟练正确坐标与图形的性质是解题的关键．证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C．……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO．……第二步
∴∠1＝∠2．……第三步
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C．……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO．……第二步
∴∠1＝∠2．……第三步