2023-2024学年广西柳州八中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西柳州八中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是( )
A. 乒乓球B. 跳远
C. 举重D. 武术
2.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，5C. 3，4，8D. 3，4，5
3.如图，△ABC≌△EDC，B、C、D在同一直线上，且CE=2cm，CD=3cm，则BD的长为( )
A. 1.5cm
B. 2cm
C. 4.5cm
D. 6cm
4.下列不是利用三角形的稳定性的是( )
A. 三角形房架B. 照相机的三脚架C. 伸缩门D. 大桥斜拉铁索
5.正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
6.如图，已知∠DAB=∠CAB，添加下列条件不能判定△DAB≌△CAB的是( )
A. ∠DBE=∠CBE
B. ∠D=∠C
C. DA=CA
D. DB=CB
7.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是
( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
8.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，其中说明△O′C′D′≌△OCD的依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
9.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC令进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标(1,2)，则经过第2023次变换后点A的对应点的坐标为( )
A. (1,−2)B. (−1,−2)C. (−1,2)D. (1,2)
10.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，ADA. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数为______．
12.一个多边形的内角和等于1800°，它是______边形．
13.等腰三角形的一边是4cm，另一边是7cm，则它的周长是______cm．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若CD=3cm，则点D到AB的距离为 cm．
15.如图，△ABC的周长为20，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE=3，则△ADB的周长是______．
16.如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC=4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知：如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF=DC，∠B=∠E，∠A=∠D.求证：△ABC≌△DEF．
18.(本小题6分)
如图，已知△ABC的三个顶点在格点上，网格上最小的正方形的边长为1，且A(−2,3)．
(1)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
(2)直接写出点A关于y轴的对称点的坐标______．
(3)求出△ABC的面积．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点若AD=3cm，求AB的长．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
(1)尺规作图：作△ABC的角平分线AE，交CD于点F(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)已知∠ABC=38°，求∠AEC的度数．
21.(本小题8分)
已知：在△ABC中，AE=CF，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接BD.求证：BD平分∠ABC．
22.(本小题8分)
如图，△ABC为等边三角形，DE/​/AC，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO=FO．
(1)求证：△BDE是等边三角形；
(2)若AC=7，FC=3，求OC的长．
23.(本小题10分)
阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，则CD与BE的数量关系是______；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=2.5cm，DE=1.6cm，求BE的长；
(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A(−1.5,0)，C(1.5,3.5)，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求B点坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3=5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4=7<8，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、4+3=7>5，能组成三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△EDC，
∴BC=DC=3cm，
∴BD=BC+CD=6cm，
故选：D．
根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
4.【答案】C
【解析】解：A、三角形的房架，是利用三角形的稳定性，本选项不符合题意；
B、照相机的三脚架，是利用三角形的稳定性，本选项不符合题意；
C、伸缩门，不是利用三角形的稳定性，本选项符合题意；
D、大桥斜拉铁索，是利用三角形的稳定性，本选项不符合题意；
故选：C．
根据三角形具有稳定性判断即可．
本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查正多边形的外角，熟知多边形外角和为360°是解题关键．
由正多边形的外角和为360°，及正多边形的一个外角等于60°，可得结论．
【解答】
解：∵正多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边长为：360°÷60°=6．
6.【答案】D
【解析】解：A.添加∠DBE=∠CBE，根据三角形外角的性质，得∠D=∠DBE−∠DAB，∠C=∠EBC−∠CAB，那么∠D=∠C，从而根据AAS判定△DAB≌△CAB，故A不符合题意．
B.添加∠D=∠C，根据AAS判定△DAB≌△CAB，故B不符合题意．
C.添加DA=CA，根据SAS判定△DAB≌△CAB，故C不符合题意．
D.添加DB=CB，无法判定△DAB≌△CAB，故D符合题意．
故选：D．
根据全等三角形的判定方法(SSS、SAS、AAS、ASA)解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积．
【解答】
解：∵AD是BC上的中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC．
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴DE=AE，
∴S△ABE=S△BED=12S△ABD，
∴S△ABE=14S△ABC．
∵△ABC的面积是16，
∴S△ABE=14×16=4．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：A．
我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．
9.【答案】A
【解析】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4=505……3，
∴经过第2023次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第四象限，坐标为(1,−2)．
故选：A．
观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．
本题考查图形规律及轴对称坐标点的规律，解题的关键是找出循环的规律及关于坐标轴对称点的坐标特点：关于谁对称谁不变另一个互为相反数．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=∠DAE=49°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，故①符合题意；
∴∠ABD=∠ACE，
如图，记AC，BF的交点为O，
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BFC=∠BAO=49°，故③符合题意；
∵D在BF上可以是个动点，仍然满足△ADE中AD=AE，∠DAE=49°，
∴AD不一定等于BD，故②不符合题意；
如图，作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H．
∵△BAD≌△CAE，
∴由全等三角形的对应高相等可得：AK=AH，
∵AF=AF，∠AKF=∠AHE=90°，
∴Rt△AFK≌Rt△AFH，
∴∠AFD=∠AFE，
∴FA平分∠BFE，故④符合题意；
故选：B．
先证明∠BAD=∠CAE，可得△BAD≌△CAE，则BD=CE，故①符合题意；如图，记AC，BF的交点为O，结合∠AOB=∠COF，可得∠BFC=∠BAO=49°，故③符合题意；D在BF上可以是个动点，仍然满足△ADE中AD=AE，∠DAE=49°，可得AD不一定等于BD，故②不符合题意；如图，作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H.由全等三角形的对应高相等可得：AK=AH，证明Rt△AFK≌Rt△AFH，可得∠AFD=∠AFE，则FA平分∠BFE，故④符合题意．
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11.【答案】60°
【解析】解：∵在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=70°，
∴∠C=180°−50°−70°=60°
故答案为：60°．
三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
12.【答案】十二
【解析】解：设多边形的边数为n，
则(n−2)⋅180°=1800°，
解得：n=12，
即该多边形为十二边形，
故答案为：十二．
利用多边形的内角和公式计算即可．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
13.【答案】15或18
【解析】解：当4cm为等腰三角形的腰长时，则4+4=8>7，满足三边关系，
4+4+7=15(cm)
故三角形的周长为15cm；
当7cm为等腰三角形的腰长时，满足三边关系，
4+7+7=18(cm)
故三角形的周长为18cm；
综上，它的周长是15cm或18cm．
故答案为：15或18．
本题应分为两种情况：①4为底，7为腰，②7为底，4为腰．注意还要考虑三角形的三边关系．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，先分类讨论，然后用三角形的三边关系进行检查，即可作答．
14.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解．
【解答】
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm，
即点D到AB的距离为3cm．
故答案为：3．
15.【答案】14
【解析】解：∵△ABC的周长为20，
∴AB+BC+AC=20，
∵DE是线段AC的垂直平分线，AE=3，
∴DA=DC，AC=2AE=6，
∴AB+BC=14，
∴△ADB的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=14．
故答案为：14．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2AE=6，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，如图：
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且平分AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴CM=AM，
∴CM+MN=AM+MN，
根据“垂线段最短”得：AM+M≥AD，
即当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，
∵△ABC的面积为6，BC=4，
∴S△ABC=1/2BC⋅AD=6，
∴AD=2×6/4=3，
∴CM+MN的最小值为3．
故答案为：3．
首先连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，再根据等腰三角形的性质得BD是线段AC的垂直平分线，从而得CM=AM，则CM+MN=AM+MN，然后根据“垂线段最短”得AM+M≥AD，据此可得出当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，最后根据三角形的面积求出AD即可．
此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键．
17.【答案】证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+CF．
∴AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
【解析】由AF=DC，可得AC=DF.再结合已知条件∠B=∠E，∠A=∠D，利用ASA即可证明△ABC≌△DEF．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
18.【答案】(2,3)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)点A(−2,3)关于y轴的对称点的纵坐标为3，横坐标为−(−2)=2，
∴点A关于y轴的对称点的坐标为(2,3)．
故答案为：(2,3)．
(3)△ABC的面积为12×(1+2)×2−12×1×1−12×2×1=3−12−1=32．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
(3)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=30°，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∵AD=3cm，
∴AB=2AD=6(cm)，
∴AB的长为6cm．
【解析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B=∠C=30°，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADB=90°，然后在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图线段AE即为所求；

(2)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=38°，
∴∠CAB=90°−38°=52°，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠EAB=12∠CAB=26°，
∴∠AEC=∠AEB+∠ABC=26°+38°=64°，
【解析】(1)根据题意作△ABC的角平分线AE，交CD于点F；
(2)根据直角三角形的两个锐角互余得出∠CAB，根据角平分线的定义得出∠EAB，继而根据三角形的外角的性质即可求解．
本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，掌握基本作图以及三角形的内角和定理是解题的关键．
21.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°．
又∵D为AC的中点，
∴AD=CD．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
AD=CDAE=CF．
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
∴DE=DF．
又DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC．
【解析】根据HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分线的性质可证明结论．
本题主要考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB，
∵DE/​/AC，
∴∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，
∴∠B=∠BDE=∠DEB，
∴△BDE是等边三角形；
(2)∵DE/​/AC，
∴∠EDO=∠CFO，
在△DOE和△FOC中，
∠EDO=∠CFODO=FO∠DOE=∠FOC，
∴△DOE≌△FOC(ASA)；
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC=7，
得：BE=DE=CF=3，EO=CO，
∴EC=BC−BE=4，
∴OC=12EC=2．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
(1)根据等边三角形的性质和判定解答即可；
(2)证明△DOE≌△FOC，再根据等边三角形的性质解答即可．
23.【答案】CD=BE
【解析】解：(1)∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE；
(2)∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE=2.5cm，CD=BE，
∴BE=CD=CE−DE=2.5−1.6=0.9(cm)，
即BE的长为0.9cm；
(3)如图3，过点C作直线l//x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则∠AEC=∠CFB=∠ACB=90°，
∵A(−1.5,0)，C(1.5,3.5)，
∴EG=OA=1.5，CG=1.5，FH=AE=OG=3.5，
∴CE=EG+CG=3，
∵∠ACE+∠EAC=90°，∠ACE+∠FCB=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=CB，
∴△AEC≌△CFB(AAS)，
∴AE=CF=3.5，BF=CE=3，
∴FG=CG+CF=1.5+3.5=5，BH=FH−BF=3.5−3=0.5，
∴B点坐标为(5,0.5)．
(1)证∠DAC=∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
(2)证△ADC≌△CEB(AAS)，得AD=CE=2.5cm，CD=BE，即可解决问题；
(3)过点C作直线l//x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB(AAS)，得AE=CF=3，BF=CE=2，则FG=CG+CF=4，BH=FH−BF=1，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．