广西南宁市武鸣区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份广西南宁市武鸣区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）下列属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：A、属于最简二次根式；
B、，故本项不是最简二次根式；
C、，故本项不是最简二次根式；
D、，故本项不是最简二次根式．
故选：A．
2．（3分）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，5B．1，，4C．2，3，4D．3，4，5
解析：解：A、12+22≠52，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、12+（）2≠42，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、22+32≠42，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、32+42＝52，能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，则∠C的度数是（ ）
A．50°B．150°C．140°D．130°
解析：解：在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，
∴∠C＝∠A＝130°．
故答案为：D．
4．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（ ）
A．2B．4C．8D．10
解析：解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE，
∵DE＝4，
∴BC＝2×4＝8．
故选：C．
5．（3分）如果一个平行四边形相邻两边的长分别为5和3，那么它的周长是（ ）
A．6B．10C．16D．20
解析：解：∵平行四边形的两组对边相等，且相邻两边的长分别为5和3
∴平行四边形的四边为5，3，5，3
∴平行四边形的周长＝16
故选：C．
6．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：A、原式＝＝，所以A选项的计算正确；
B、原式＝＝，所以B选项的计算正确；
C、与不能合并，所以C选项的计算错误；
D、原式＝2，所以，D选项的计算正确．
故选：C．
7．（3分）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ）
A．8cmB．4cmC．16cmD．16cm
解析：解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，
∵∠D＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC＝16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm，
故选：C．
8．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．如果a•b＞0，那么a＞0且b＞0
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．四边相等的四边形是菱形
解析：解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误，不符合题意；
如果a•b＞0，那么a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故B错误，不符合题意；
如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，故C错误，不符合题意；
四边相等的四边形是菱形，故D正确，符合题意；
故选：D．
9．（3分）已知四边形ABCD，下列条件中，不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD且AD∥BCB．AB∥CD且 AB＝CD
C．AB∥CD且AD＝BCD．AB∥CD且∠A＝∠C．
解析：解：A、“AB∥CD且AD∥BC”是两组对边分别平行，可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意；
B、“AB∥CD且 AB＝CD”是一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意；
C、“AB∥CD且AD＝BC”不可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意．
D、∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°．
又∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意；
故选：C．
10．（3分）小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2.2米B．2.4米C．2.6米D．2.8米
解析：解：如图，过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝＝（米），
∵AD＝1.2米，
∴AB＝AC＝＝1.3（米），
∴绳长为1.3×2＝2.6（米）；
故选：C．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（ ）
A．171B．79C．100D．81
解析：解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝125﹣46＝79，
故选：B．
12．（3分）正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：
①EC＝FC；②∠AED＝75°；③CF＝AF；④EF的垂直平分线是直线AC．
正确结论个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
解析：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°，
∵AD＝AB，AF＝AE，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴BF＝DE，
∴BC﹣BF＝CD﹣DE，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，∠C＝90°；
∴EF＝CE，∠CEF＝45°；
∴AF＝CE，
∴CF＝AF，故③错误；
∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF；
∴∠AED＝75°；故②正确；
∵AE＝AF，CE＝CF；
∴AC垂直平分EF；故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）要使二次根式有意义，x应满足的条件是 x≥1 ．
解析：解：由题可知，
x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
14．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝ 50° ．
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
15．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是 5cm ．
解析：解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为30°，
∴△ABC的最长边是斜边，最短边是30度角所对的直角边，长是5cm，
∴斜边长＝2×5＝10（cm）
∴最长边上的中线是×10＝5（cm）．
故答案为：5cm．
16．（2分）如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E点，已知AB＝4，AD＝6，则DE长为 2 ．
解析：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
17．（2分）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 10 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
解析：解：由题意可得：AB＝＝＝5（m），
则AC+BC﹣AB＝7﹣5＝2（m），
故他们仅仅少走了：2×2＝4（步）．
故答案为：4．
18．（2分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝4，∠BCD＝120°．点P是边BC上一动点（不与点B，点C重合），PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，则EF的最小值为 ．
解析：解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且∠BCD＝120°，
∴，
∵PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴OP＝EF，
∵当OP取得最小值时，EF也最小，
∴当OP⊥BC时，OP最小，
∵AB＝4，∠BCD＝120°，，
∴BC＝4，，，
∴，
∴，
∴EF的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：．
解析：解：
＝
＝．
20．（6分）计算：．
解析：解：
＝3+2﹣
＝3+2﹣2
＝3．
21．（10分）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝90°，AB＝13米，BC＝12米，CD＝3米，AD＝4米．
（1）求线段AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
解析：解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝＝＝5（米），
即线段AC的长为5米；
（2）∵32+42＝52，CD＝3米，AD＝4米，AC＝5米，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AC•BC+CD•AD＝×5×12+×3×4＝36（平方米）．
22．（10分）在四边形ABCD中，AD＝4，OA＝OC＝5，BD＝6，∠ADB＝90°，求证四边形ABCD是平行四边形．
解析：证明：∵AD＝4，OA＝OC＝5，∠ADB＝90°，
∴DO＝＝＝3，
∵BD＝6，
∴DO＝OB＝3，
∴四边形ABCD为平行四边形．
23．（10分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
解析：解：（1）如图所示；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF＝∠AFC，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠AFC，
∴EA＝EF，
∵AE＝AD，
∴AD＝EF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
24．（10分）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝ 5 米，用含有x的式子表示AC为 （x+1） 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
解析：解：（1）根据题意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．
故答案为：5；（x+1）；
（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AB2＝AC2，
即52+x2＝（x+1）2．
解得x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝5，OC＝4．在AB上取一点D，沿CD折叠，点B恰好落在AO上的点E处．
（1）点E的坐标为 （3，0） ；
（2）求△AED的周长；
（3）动点P从点C出发沿边CB以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．另一动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度，在OA上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请求出t的值．
解析：解：（1）∵矩形OABC沿CD折叠，
∴BC＝CE，
∵BC＝OA＝5，BA＝OC＝4，
∴CE＝5，
∴OE＝＝3，
∴E（3，0）；
故答案为：（3，0）；
（2）由题意得：BC＝CE＝5，BD＝ED，
由（1）知OE＝3，
∴AE＝2，
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE＝AB+AE＝4+2＝6；
（3）由题意可知PB＝OQ，
当点Q没有到达点A时，2t＝5﹣t，
∴t＝，
当点Q到达点A后，返回时，10﹣2t＝5﹣t，
∴t＝5，
此时点P与点B重合，不合题意舍去．
综上所述，t＝时，以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形．
26．（10分）探究与证明（八下教材63页《丰富多彩的正方形》）
【课本再现】
（1）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ．
【类比迁移】
（2）如图，等腰三角形ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB的中点，点D又是直角三角形DEF的直角顶点，DF＞DE＞AC，△DEF绕点D转动，DE、DF分别与AC、BC交于M、N，若AC＝2，请直接写出两个三角形重叠部分的面积 1 ．
【探索发现】
（3）小刚发现（1）在转动过程中，若边OA1，OC1能与边AB、BC交于点E、F，线段BE、BF、OB都存在一定的数量关系，请写出数量关系式，并加以证明．
解析：解：（1）①当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然S两个正方形重叠部分＝S正方形ABCD，
②当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB＝∠OBF＝45°，OA＝OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB＝90°，
又∵四边形A′B′C′O为正方形，
∴∠A′OC′＝90°，即∠BOF+∠EOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S两个正方形重叠部分＝S△BOE+S△BOF，
又S△AOE＝S△BOF，
∴S两个正方形重叠部分＝S△ABO＝S正方形ABCD．
综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．
故答案为：；
（2）连接CD，
∵∠C＝90°，D是斜边AB的中点，
∴CD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN，
∵∠B＝45°，
∴∠MCD＝∠B，
∴△CDM≌△BDN（ASA），
∴S△CDM＝S△BDN，
∴两个三角形重叠部分的面积S四边形DMCN＝S△CDM+S△CDN＝
＝
＝
＝1．
故答案为：1；
（3）BE2+BF2＝2OE2．
证明：连接EF，
由（1）知△AOE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∴EF2＝OE2+OF2＝2OE2，
∵∠EBF＝90°，
∴BE2+BF2＝EF2，
∴BE2+BF2＝2OE2．