2022-2023学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁十四中八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年北京冬奥会冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一个三角形的两边长为和，第三边长为奇数，则第三边长是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

5. 下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列计算中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的周长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，和的角平分线交于点，，，的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知，，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为若，则、满足(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，过边长为的等边三角形的顶点作直线，然后作关于直线对称的，为线段上一动点，连接，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有______．

14. 分式有意义，则应满足的条件是______．
15. 分解因式：______．
16. 如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，则的度数为______

17. 如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为______度．

18. 如图，在中，，，为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动；当点运动速度为______时，能够在某一时刻使使与全等．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
    画出关于轴的对称图形；
    求的面积；
    若点在轴上，且点到点，的距离相等，请直接写出点的坐标．

22. 本小题分
    如图，中，，，垂足为．
    求作的角平分线，分别交，于点，两点．要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    若，，求的长．

23. 本小题分
    如图，中，，点、、分别在边、、上，且，．
    求证：≌；
    若，求的度数．

24. 本小题分
    数学课上，老师用图中的一张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片和张宽与长分别为与的长方形纸片，拼成了如图所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
    
    由图和图可以得到的等式为用含，的等式表示；
    莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需，，三种纸片各多少张；
    如图，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在一条直线上，，求图中阴影部分的面积．
25. 本小题分
    已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
    
    求证：；
    求的度数；
    求证：是等边三角形．
26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
    如图，若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______；
    如图，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
    如图，设，的平分线过点，直接写出的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是分式，故A符合题意；
B、是单项式，故B不符合题意；
C、是单项式，故C不符合题意；
D、是多项式，，故D不符合题意．
故选：．
由分式的概念即可判断．
本题考查分式的概念，关键是掌握分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，则由三角形三边关系定理得，即．
因此，本题的第三边应满足，符合题意的有：．
故选：．
已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围．
此题考查了三角形的三边关系，是求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
由等腰三角形的性质可求，由平行线的性质可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确得出是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，垂直平分，
，
的周长，
故选：．
由的周长即可求得的周长．
本题主要考查了作图基本作图，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，解题关键是根据线段垂直平分线的性质得到，此题难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，于点，如图，
平分，
，
：：，

故选：．
过点作于点，于点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到：：．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：当，，时，






，
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的除法，幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
整理，得，
，
．
故选：．
先用、的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

与关于直线对称，
≌，
，，
，
在和中，
，，，
≌，
，
，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点与点重合，即点，，共线时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为．
故选：．
连接，先根据轴对称性得出也是边长为的等边三角形，再根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出取得最小值时，点的位置，由此即可得出答案．
本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短等知识点，依据题意，正确找出取得最小值时，点的位置是解题关键．
 

13.【答案】稳定性 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性．  

14.【答案】 

【解析】解：分母不等于，分式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
利用分母不等于，分式有意义，列出不等式求解即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于，分式有意义，列出不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，

，
，
，
故答案为：．
根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得，再由邻补角得出，结合图形代入求解即可．
本题主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，连接、，

，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
≌，
，
点在的垂直平分线上，
又是的垂直平分线，
点是的外心，
，
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，．
故答案为：．

18.【答案】或 

【解析】解：设点的运动速度为，运动的时间为 ，则，，，
点为的中点，
，
，
，
当，时，≌，
即，，解得，；
当，时，≌，
即，，解得，，
综上所述，点的运动速度为或．
故答案为或．
设点的运动速度为，运动的时间为 ，则，，，根据等腰三角形的性质得到，再利用全等三角形的判定方法得到当，时，≌，即，；当，时，≌，即，，然后分别解方程即可．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．
 

19.【答案】解：；

；


． 

【解析】先计算乘方，再计算单项式乘以单项式可解答；
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项求解即可．
此题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘多项式的混合运算运算能力，关键是能准确运用对应法则和运算顺序进行正确的计算．
 

20.【答案】解：原式


，
当，时，
原式

． 

【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

的面积；
点坐标为． 

【解析】利用关于轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
用一个正方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
利用网格特点作的垂直平分线交轴于点，从而得到点坐标．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．
 

22.【答案】解：如图，为所作；

平分，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用基本作图作的平分线即可；
先由平分得到，再利用垂直的定义得到，则可计算出，所以，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
解：，且，，
，
，
≌，
，
，
，
的度数是． 

【解析】由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
先根据等腰三角形的两底角相等求得，再由≌，得，即可推导出，进而推导出．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
 

24.【答案】解：或．


．
需纸片张，纸片张，纸片张．
由题意得，，．
，
．
．
． 

【解析】图形整体面积等于各部分面积之和．
根据多项式乘多项式的乘法解决此题．
根据多项式乘多项式的乘法解决此题．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
≌
．

解：≌，
，
等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
答：的度数是．

证明：≌，
，，
又点、分别是线段、的中点，
，，
，
在和中
，
≌
，
，
又，
，
，
，
是等边三角形． 

【解析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强．
根据等边三角形性质得出，，，求出，证≌即可；
根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
求出，根据证≌，推出，求出即可．
 

26.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
，，
、，
，，
过点作轴于，如图所示：
则，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
故答案为：；
证明：过作轴于，如图所示：
则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
≌，
，，，
，
，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
解：过作轴于，轴于，交的延长线于，
，
，
平分，，，
，
又，
≌，
，
同理：≌，
，
，，，
，
即．
由偶次方和算术平方根的非负性质求出，，则，，再证≌，得，，则，即可求解；
过作轴于，证≌，得，，，再证是等腰直角三角形，得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
过作轴于，轴于，交的延长线于，则，由角平分线的性质得，再证≌，得，同理≌，得，进而求解即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、偶次方和算术平方根的非负性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．