宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题（解析版）

这是一份宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 下列四个结论，其中正确的为， 下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟：满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题有且只有一个正确答案，每题5分，共40分）
1. 在等差数列中，，则（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列等差中项求解即可.
【详解】因为等差数列中，，
，
故选：.
2. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等轴双曲线即可求解.
【详解】的渐近线方程为，
故选：C
3. 已知等差数列中，，，求数列的前9项和（ ）更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. 64B. C. 63D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列中，，，
所以数列前9项和.
故选：C
4. 顶点为原点，焦点为的抛物线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点坐标可求得，注意焦点的位置，得到抛物线的标准方程．
【详解】∵焦点为，∴，解得，
又知抛物线的焦点在轴上，
故抛物线的方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程．由已知求解值是解决问题的关键，属于基础题．
5. 设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用求解.
【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.
故选：B
6. 若直线与圆 相切，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直线与圆相切，则有圆心到直线距离等于半径，列方程求实数的值.
【详解】圆 圆心坐标为，半径为1，
直线与圆 相切，则有圆心到直线距离等于半径，
即，解得.
故选：C
7. 南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，可得点坐标及抛物线的标准方程，设代入抛物线方程求出后可得答案.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依题意可得，设抛物线标准方程为，
则，解得，所以抛物线的标准方程为，
可设，代入抛物线方程，可得，
所以该杯盏的高度为cm.
故选：C.
8. 椭圆的两焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用题干可得，则，构建的等量关系即可求离心率.
【详解】由题可知等边的边的中点为，
所以可得，所以，
由椭圆定义可得，即，
则离心率.
故选：D
二、多选题（每题5分，共20分，多选错选得0分，少选得2分，全部选对得5分）
9. 下列四个结论，其中正确的为（ ）
A. 动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线
B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条
C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线
D. 点在圆内
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆、双曲线、抛物线相关知识进行辨析即可.
【详解】对于A，因为动点P到点，的距离之差的绝对值为2，但，所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误；
对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条，
一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确；
对于C，双曲线渐近线为，双曲线渐近线为，故C错误；
对于D，因为，所以点在圆内，故D正确.
故选：BD
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角为
C. ，，三点共线
D. 过点且在轴上的截距相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】结合直线截距的意义、直线倾斜角和斜率的概念以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.
【详解】A：直线在y轴上的截距为-3，故A错误；
B：，所以直线的斜率为，
则倾斜角，故B正确；
C：由可得，
所以，A、B、C三点共线，故C正确；
D：过点且在x、y轴截距相等的直线方程为或，故D错误.
故选：BC
11. 已知方程表示的曲线为，则（ ）
A. 当时，曲线表示椭圆
B. 存在，使得表示圆
C. 当或时，曲线表示双曲线
D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程分别判断各选项.
【详解】A、B选项：当时，，，当时，，
此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确；
C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，
当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，
则椭圆的焦距，D选项错误；
故选：BC.
12. 在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；
由公式，可得，.
详解】由题意得，设直线：即，
则点到直线的距离是，
所以，得，所以，
，，所以AC正确，
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知2，a，成等差数列，则a的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】用等差中项的性质求出即可.
【详解】因为2，a，成等差数列，
所以，
故答案为：3
14. 直线恒过定点_________.
【答案】
【解析】
【分析】把方程写成点斜式的形式，即可求出直线恒过的定点坐标.
【详解】由题得，所以直线过定点.
【点睛】本题考查了应用直线点斜式方程求直线恒过的定点问题，适当的合理变形是解题的关键.
15. 数列的前项和，则该数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先由求出，再求，进行验证，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
又也满足上式，
所以.
故答案为：
16. 若双曲线的焦距为，一条渐近线为，且点到的距离为，则双曲线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题中数据可先求得半焦距c，依据点(1,0)在双曲线的对称轴上，选用双曲线的任一渐近线方程结合点到直线的距离公式，即可得出a，b的关系，进而求解双曲线的方程
【详解】根据题意，双曲线的半焦距，且点到双曲线的两渐近线的距离相等
所以可选直线的方程为，则，
得，所以；所以双曲线的标准方程为．
故答案为：.
四、解答题（请写清楚答题步骤，共计70分）
17. 已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式：
（2）求数列前n项和的最大值，并求解此时的n为何值.
【答案】（1）；
（2）的最大值为78，此时或.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，再求出通项即得.
（2）由（1）判断数列的单调性，求出时的最大值，再求出前n项和即可.
【小问1详解】
等差数列中，，，公差，，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
由（1）知，等差数列的公差，当时，，
因此数列是递减等差数列，前12项均为正，第13项为0，从第14项起为负，
所以当或时，数列前n项和最大，.
18. 已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P为C上一点，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦距求出，再根据在椭圆上，求出，可得，由，求出，得到椭圆的标准方程；
（2）利用余弦定理和面积公式求解.
【小问1详解】
由是椭圆的焦点，
且，则，
因为点在椭圆上，所以
则
由，则由，
所以椭圆的标准方程：
【小问2详解】
因为在椭圆上，所以,
又,,
所以,
所以,
所以.
19. 已知数列满足，（），令.
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
【答案】19. ，
20. 证明见解析，
【解析】
分析】（1）采用迭代法，可求，;
（2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式.
【小问1详解】
因为，且，
当时，，
当时，.
【小问2详解】
因为，
所以，
两边同时取倒数有：，
令，有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
20. 已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
（1）求实数的值；
（2）若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可知，由此即可求出答案；
（2）由（1）可知焦点坐标为，则可设直线为，联立直线与抛物线，则可得，再利用，即可求出直线.
【小问1详解】
由题意可知：，
解得：.
【小问2详解】
由（1）知抛物线，则焦点坐标为，
由题意知直线斜率不为0，设直线为：，
联立直线与抛物线：，消得：，
则
则
所以，
解得，
所以直线为：或
21. 已知方程，
（1）若此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若的值为（1）中能取到的最大正整数，从而得到以为圆心的圆，已知动点为直线上的动点，由作圆的切线，切点为，试求的面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的一般式方程中的求解出的范围；
（2）先表示出，然后确定出面积取最小值时的值，结合点到直线的距离公式完成计算.
【小问1详解】
因为方程表示圆，所以，
所以，
即的取值范围是；
【小问2详解】
因为的值为（1）中能取到的最大正整数，所以，
所以，圆心，半径，
又因为，
所以取最小值时取最小值，且取最小值即为到直线的距离，
所以，
所以的最小值为.
22. 已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．
（1）求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；
（2）设不过坐标原点且不垂直于坐标轴的直线l与曲线C交于A、B两点，点M为弦AB的中点．
①求证：直线OM与直线l的斜率之积为定值；
②过点M作直线l的垂线交曲线C于D、E两点，点N为弦DE的中点．设直线ON与直线l交于点T，若有，求的最大值．
【答案】（1）点的轨迹方程为，曲线的方程为.
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得
（2）①设，代入椭圆方程利用点差法，即可求出直线OM与直线l的斜率之积为定值.
②结合①中的结论，结合两条直线的垂直条件求出点N的纵坐标，通过直线ON与直线联立方程，求出交点T的纵坐标，通过将转化，通过基本不等式，求得的最大值.
【小问1详解】
设点为轨迹上任意一点，由题意得，
则，，
，
故点的轨迹方程为，
所以点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程 为.
【小问2详解】
①设点，则，
即；
由题意知，故，
即，
所以，
因为，即（定值），直线OM与直线l的斜率之积为定值 .
②由①易知，故，
又因为，故，，
设，点在直线上，则 （i），
,.
又由①同理得，则 （ii），
联立（i）（ii）得，，
设，又由（ii）得，
则，,
联立，解得，