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2023-2024学年宁夏回族自治区银川市宁夏育才中学高一上学期第二次月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区银川市宁夏育才中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，计算题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得到集合，，然后求补集和交集即可.
【详解】，
，
或，
所以或.
故选：B.
2．已知角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值.
【详解】∵角的终边在直线上，∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
3．已知实数，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数单调性确定，即得b范围，再根据指数函数单调性以及幂函数单调性确定a， c范围，最后根据范围可比较大小.
【详解】因为
所以2+2ln2＞2，因此1＜＜2， 0＜＜1，
∴c＜a＜b．
故选：A．
【点睛】本题考查利用对数函数单调性、指数函数单调性以及幂函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图象关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，则方程的根落在区间上
【答案】B
【分析】利用零点的定义，零点存在性定理，反函数的定义及函数的单调性一一判定即可.
【详解】对于选项A，令，
易知在上是增函数，且，
所以方程的解在，所以，故A正确；
对于选项B，令得或，
故函数的零点为和，故B错误；
对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图象关于对称，故C正确；
对于选项D，令，易知在上是增函数，
由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确.
故选：B.
6．下列说法正确的有（ ）
A．与的终边相同B．小于的角是锐角
C．若为第二象限角，则为第一象限角D．钝角的终边在第一象限
【答案】A
【分析】根据锐角的定义、第二象限角、终边相同角的性质、钝角的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以与的终边相同，因此本说法正确；
B：显然小于，而不是锐角，因此本说法不正确；
C：因为为第二象限角，
所以，所以为第一象限角或第三象限，因此本说法不正确；
D：大于小于的角为钝角，所以钝角的终边在第二象限，因此本说法不正确，
故选：A
7．已知为第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项.
【详解】因为为第二象限角，
所以，，，
则，，，
而的取值不确定.
故选：C.
8．“绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（ ）（参考数据：）
A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】利用条件建立不等式，再转化成，再利用对数的运算法则和条件即可求出结果.
【详解】设至少需要循环使用该技术的次数为，则，所以，故取14.
故选：C.
二、多选题
9．已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据指数函数、对数函数和一次函数的图象性质，可得答案.
【详解】当时，单调递减，单调递增，与轴交点的纵坐标大于，ABCD均不满足；
当时，单调递增，单调递减，与轴交点的纵坐标介于和之间，可知只有B满足.
故选：ACD.
10．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值可能为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】BC
【分析】首先画出函数的图象，利用函数零点的定义，转化为函数和有3个交点，利用数形结合，即可求的取值范围.
【详解】如图，画出函数的图象，
若函数有3个零点，即有3个实数根，即函数和有3个交点，
结合图像，可知.
故选：BC.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上为减函数B．在上为增函数
C．函数定义域为D．函数的增区间为
【答案】ABC
【分析】令真数大于零，解不等式即可得到定义域，令，得到，结合复合函数的单调性即可分析出剩余选项.
【详解】令解得，即函数的定义域为，故C选项正确，结合定义域可知D选项错误，令，则，根据对数函数的单调性，关于单调递减，而函数在上关于是增函数，在上关于是减函数；由复合函数单调性可知，原函数在上是减函数，在上是增函数，故AB正确.
故选：ABC
12．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最小值为2；
B．已知函数（a＞0且）在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线y＝x对称；
D．若x，y，z为正数，且，则．
【答案】BCD
【分析】根据指数型复合函数判断单调性得最值，即可判断A；由对数复合函数的单调性分类讨论即可得实数a的取值范围，来判断B；根据互为反函数的图象性质即可判断C；由指对互化即对数函数的运算性质、换底公式的计算，即可判断D.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，由复合函数单调性可得该函数在上单调递增，
在上单调递减，所以函数有最大值，故A不正确；
对于B，已知函数且在上是减函数，
所以，解得，当时，成立，实数的取值范围是，故B正确；
对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，若x，y，z为正数，设，则，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、双空题（新）
13．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ；面积为 .
【答案】
【分析】求出扇形圆心角的弧度数，利用扇形的弧长和面积公式可求得结果.
【详解】扇形的弧度数为，设扇形的弧长为，则，
则扇形的弧长为，扇形的面积为.
故答案为：；.
四、填空题
14．当时，不等式恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】3
【详解】令，则由题意可知，
∵，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴，从而．
故实数的最大值是．
故答案为3.
点睛：本题考查了函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果.
【详解】由得：
，
解得：；
由得：
又因为,且,所以即
所以
则
故答案为：.
16．已知α为锐角，且，则 .
【答案】
【分析】先判断的范围，再用诱导公式求.
【详解】因为为锐角，所以，.
.
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）选择合适的公式进行化简计算.
五、计算题
17．求解下列问题：
(1)计算化简：
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合根式、指数运算求得正确答案.
（2）结合对数运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．化简或求值：
（1）；
（2）化简.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；
（2）利用同角三角函数的平方关系以及诱导公式化简计算可得出答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的平方关系和诱导公式化简求值，考查计算能力，属于基础题.
六、问答题
19．已知集合.
（1）分别求；
（2）已知集合，设命题，命题.已知是的必要不充分条件，求实数的取值围.
【答案】（1），或；（2）或.
【解析】（1）由指数函数与对数函数性质解不等式得，，再根据集合运算求解即可得答案；
（2）由题知，进而分和两种情况求解即可得答案.
【详解】解：（1）因为，
，
所以，或
（2）因为是的必要不充分条件，所以，当时，，即，
当时，则，即.
综上，实数的取值范围是或
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
七、计算题
20．已知函数．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，利用诱导公式化简的解析式即可求解．
（2）由题意，可得，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解．
【详解】（1）解：.
（2）解：，，即，，
故．
八、问答题
21．已知实数，且满足不等式.
（1）解不等式；
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【详解】分析：（1）由题意结合指数函数的单调性可得，结合函数的单调性和函数的定义域可得不等式的解集为.
（2），令，结合反比例函数的性质和对数函数的性质可得.
详解：（1）由题意得: ，∴，
∴，解得.
（2），
令，当时， ， ，
所以，所以.∵，
∴的对数函数在定义域内递减，
∴，∴.
点睛：本题主要考查指数函数的性质，对数函数的性质，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
(2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？
（参考数据：，）
【答案】(1)答案见解析
(2)选择函数模型更合适，2020年2月底
【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解．
（2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数的公式，即可求解．
【详解】（1）若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）把代入可得，，
把代入可得，，
，
选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
，
故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过．
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得到集合，，然后求补集和交集即可.
【详解】，
，
或，
所以或.
故选：B.
2．已知角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值.
【详解】∵角的终边在直线上，∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
3．已知实数，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数单调性确定，即得b范围，再根据指数函数单调性以及幂函数单调性确定a， c范围，最后根据范围可比较大小.
【详解】因为
所以2+2ln2＞2，因此1＜＜2， 0＜＜1，
∴c＜a＜b．
故选：A．
【点睛】本题考查利用对数函数单调性、指数函数单调性以及幂函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图象关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，则方程的根落在区间上
【答案】B
【分析】利用零点的定义，零点存在性定理，反函数的定义及函数的单调性一一判定即可.
【详解】对于选项A，令，
易知在上是增函数，且，
所以方程的解在，所以，故A正确；
对于选项B，令得或，
故函数的零点为和，故B错误；
对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图象关于对称，故C正确；
对于选项D，令，易知在上是增函数，
由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确.
故选：B.
6．下列说法正确的有（ ）
A．与的终边相同B．小于的角是锐角
C．若为第二象限角，则为第一象限角D．钝角的终边在第一象限
【答案】A
【分析】根据锐角的定义、第二象限角、终边相同角的性质、钝角的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以与的终边相同，因此本说法正确；
B：显然小于，而不是锐角，因此本说法不正确；
C：因为为第二象限角，
所以，所以为第一象限角或第三象限，因此本说法不正确；
D：大于小于的角为钝角，所以钝角的终边在第二象限，因此本说法不正确，
故选：A
7．已知为第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据第二象限角的三角函数值的正负分别判断各选项.
【详解】因为为第二象限角，
所以，，，
则，，，
而的取值不确定.
故选：C.
8．“绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（ ）（参考数据：）
A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】利用条件建立不等式，再转化成，再利用对数的运算法则和条件即可求出结果.
【详解】设至少需要循环使用该技术的次数为，则，所以，故取14.
故选：C.
二、多选题
9．已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据指数函数、对数函数和一次函数的图象性质，可得答案.
【详解】当时，单调递减，单调递增，与轴交点的纵坐标大于，ABCD均不满足；
当时，单调递增，单调递减，与轴交点的纵坐标介于和之间，可知只有B满足.
故选：ACD.
10．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值可能为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】BC
【分析】首先画出函数的图象，利用函数零点的定义，转化为函数和有3个交点，利用数形结合，即可求的取值范围.
【详解】如图，画出函数的图象，
若函数有3个零点，即有3个实数根，即函数和有3个交点，
结合图像，可知.
故选：BC.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上为减函数B．在上为增函数
C．函数定义域为D．函数的增区间为
【答案】ABC
【分析】令真数大于零，解不等式即可得到定义域，令，得到，结合复合函数的单调性即可分析出剩余选项.
【详解】令解得，即函数的定义域为，故C选项正确，结合定义域可知D选项错误，令，则，根据对数函数的单调性，关于单调递减，而函数在上关于是增函数，在上关于是减函数；由复合函数单调性可知，原函数在上是减函数，在上是增函数，故AB正确.
故选：ABC
12．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最小值为2；
B．已知函数（a＞0且）在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线y＝x对称；
D．若x，y，z为正数，且，则．
【答案】BCD
【分析】根据指数型复合函数判断单调性得最值，即可判断A；由对数复合函数的单调性分类讨论即可得实数a的取值范围，来判断B；根据互为反函数的图象性质即可判断C；由指对互化即对数函数的运算性质、换底公式的计算，即可判断D.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，由复合函数单调性可得该函数在上单调递增，
在上单调递减，所以函数有最大值，故A不正确；
对于B，已知函数且在上是减函数，
所以，解得，当时，成立，实数的取值范围是，故B正确；
对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，若x，y，z为正数，设，则，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、双空题（新）
13．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 ；面积为 .
【答案】
【分析】求出扇形圆心角的弧度数，利用扇形的弧长和面积公式可求得结果.
【详解】扇形的弧度数为，设扇形的弧长为，则，
则扇形的弧长为，扇形的面积为.
故答案为：；.
四、填空题
14．当时，不等式恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】3
【详解】令，则由题意可知，
∵，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴，从而．
故实数的最大值是．
故答案为3.
点睛：本题考查了函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果.
【详解】由得：
，
解得：；
由得：
又因为,且,所以即
所以
则
故答案为：.
16．已知α为锐角，且，则 .
【答案】
【分析】先判断的范围，再用诱导公式求.
【详解】因为为锐角，所以，.
.
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）选择合适的公式进行化简计算.
五、计算题
17．求解下列问题：
(1)计算化简：
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合根式、指数运算求得正确答案.
（2）结合对数运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．化简或求值：
（1）；
（2）化简.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；
（2）利用同角三角函数的平方关系以及诱导公式化简计算可得出答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的平方关系和诱导公式化简求值，考查计算能力，属于基础题.
六、问答题
19．已知集合.
（1）分别求；
（2）已知集合，设命题，命题.已知是的必要不充分条件，求实数的取值围.
【答案】（1），或；（2）或.
【解析】（1）由指数函数与对数函数性质解不等式得，，再根据集合运算求解即可得答案；
（2）由题知，进而分和两种情况求解即可得答案.
【详解】解：（1）因为，
，
所以，或
（2）因为是的必要不充分条件，所以，当时，，即，
当时，则，即.
综上，实数的取值范围是或
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
七、计算题
20．已知函数．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，利用诱导公式化简的解析式即可求解．
（2）由题意，可得，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解．
【详解】（1）解：.
（2）解：，，即，，
故．
八、问答题
21．已知实数，且满足不等式.
（1）解不等式；
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【详解】分析：（1）由题意结合指数函数的单调性可得，结合函数的单调性和函数的定义域可得不等式的解集为.
（2），令，结合反比例函数的性质和对数函数的性质可得.
详解：（1）由题意得: ，∴，
∴，解得.
（2），
令，当时， ， ，
所以，所以.∵，
∴的对数函数在定义域内递减，
∴，∴.
点睛：本题主要考查指数函数的性质，对数函数的性质，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
(2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？
（参考数据：，）
【答案】(1)答案见解析
(2)选择函数模型更合适，2020年2月底
【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解．
（2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数的公式，即可求解．
【详解】（1）若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）把代入可得，，
把代入可得，，
，
选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
，
故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过．
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