2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A. {x|22.把5π4化成角度是( )
A. 45°B. 225°C. 300°D. 135°
3.sin15°cs45°+cs15°sin45°=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
4.下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A. y=e−xB. y=x3C. y=lnxD. y=|x|
5.若a=lg32,b=lg0.53,c=20.8，则a，b，c的大小关系为( )
A. b6.函数f(x)=2x+3x−4的零点所在的大致区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.已知sinα=2 23，则cs2α的值为( )
A. 19B. 79C. −19D. −79
8.已知函数f(x)=2sinxcsx−2 3cs2x+ 3给出下列结论：
①f(x)的周期为π；
②x=π6+kπ(k∈Z)时f(x)取最大值；
③f(x)的最小值是−2；
④f(x)在区间[−π6,π3]内单调递增；
⑤把函数f(x)的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数g(x)=2sin2x的图象．
其中所有正确结论的序号题( )
A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中存在零点的函数有( )
A. y=1xB. y=x+1C. y=lg2xD. y=2x
10.已知θ∈(0,π)，sinθ+csθ=−15，则下列结论正确的是( )
A. θ∈(0,π2)B. csθ=−35C. tanθ=−34D. sinθ−csθ=75
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x−x2，则下列结论中正确的是( )
A. f(−2)=−2B. f(x)的最大值为14
C. f(x)在(−1,0)上是增函数D. f(x)+2x≥0的解集为[0,3]
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图(1)所示，函数g(x)=A1cs(ω1x+α)(A1>0,ω1>0,|α|<π)的部分图象如图(2)所示，下列说法正确的是( )
A. 函数y=f(x)的周期为π2
B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=19π12对称
C. 函数y=f(x)−1在区间[0,2π]上有4个零点
D. 将函数y=f(x)的图像向左平移2π3可使其图像与y=g(x)图像重合
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若csθtanθ<0，则θ是第______象限角．
14.已知函数f(x)=lg2(x2+a)，若f(3)=1，则a= ．
15.函数f(x)=−2cs2x−3csx+1的最小值为______．
16.函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R)，且在区间(−2,2]上，f(x)=csπx2,0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=−x2+1,x<1lg2x,x≥1．

(1)在如图所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)写出函数y=f(x)的单调增区间及零点．
18.(本小题12分)
已知角α的终边经过点P(−3,4)．
(1)求sinα，csα的值；
(2)求sin(π+α)+cs(−α)cs(5π2+α)的值．
19.(本小题12分)
求下列各式的值．
(1)sin π12cs π12；
(2)cs2π8−sin2π8；
(3)tan255°；
(4)1sin10∘− 3cs10°．
20.(本小题12分)
已知α，β为锐角，tanα=43，cs(α+β)=− 55．
(1)求cs2α的值；
(2)求tan(α−β)的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)= 2(sin2x+cs2x)．

(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的简图．
(2)求函数f(x)的单调增区间．
(3)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应x的值．
22.(本小题12分)
现给出以下三个条件：
①f(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2；
②f(x)的图象上的一个最低点为A(2π3,−2)；
③f(0)=1．
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题．
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω<5,0<φ<π2)，满足_____，_____．
(1)根据你所选的条件，求f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到g(x)的图象，求y=f(x)g(x)−1最小正周期及对称轴．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了交集的定义及运算，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2∴A∩B={x|2故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：5π4=5π4×180°π=225°．
故选：B．
根据弧度制与角度制的转化关系计算可得．
本题主要考查了弧度与角度的转化公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由两角差的余弦公式可得sin 15°cs 45°+cs 15°sin 45°=sin(45°+15°)=sin60°= 32．
故选：B．
利用由两角差的余弦公式即可求解．
本题考查两角差的余弦公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：y=e−x为减函数，不符合题意；
根据幂函数的性质可知，y=x3的定义域是R且为增函数，符合题意；
y=lnx的定义域为(0,+∞)，不符合题意；
y=|x|在定义域R上不单调，不符合题意．
故选：B．
结合基本初等函数的单调性及定义域检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的定义域的求解，还考查了单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：a=lg320，
b=lg2−13=−lg23<0，
c=20.8>20=1，
所以b故选：A．
由对数函数和指数函数的性质可得．
本题考查指数、对数的大小比较，涉及对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵f(0)=1−4=−3<0，f(1)=2+3−4=1>0，
∴根据零点存在定理，可得函数f(x)=2x+3x−4的零点所在的大致区间是(0,1)
故选：A．
确定f(0)=1−4=−3<0，f(1)=2+3−4=1>0，根据零点存在定理，可得结论．
本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据二倍角的余弦公式可得：
cs2α=1−2sin2α=1−2×(2 23)2=1−169=−79．
故选：D．
利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=2sinxcsx−2 3cs2x+ 3
=sin2x− 3(2cs2x−1)=sin2x− 3cs2x
=2sin(2x−π3)．
①因为T=2π2=π，所以①正确；
②因为f(x)=2sin[2×(π6+kπ)−π3]=0≠2，所以②错误；
③当sin(2x−π3)=−1，即x=kπ−π12(k∈Z)时，
f(x)取最小值，且最小值是−2，所以③正确；
④当x∈[−π6,π3]时，由f(−π6)=− 3,f(0)=− 3
知f(x)在区间[−π6,π3]内并不单调，故④错误；
⑤把函数f(x)的图象上所有点向左平移π3个单位长度，
可得到函数f(x+π3)=2sin(2x+π3)，故⑤错误．
故正确的是①③．
故选：B．
先由降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式、最值性质、单调性，结合正弦型函数图象变换性质逐一判断即可．
本题考查正弦型复合函数的性质，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：函数y=1x，函数的图象与x轴没有交点，所以函数没有零点；
函数y=x+1，x=−1时，函数y=0，函数存在零点；
函数y=lg2x，函数的零点为1，所以函数有零点；
函数y=2x的图象与x轴没有交点，所以函数没有零点．
故选：BC．
利用已知条件，直接求解判断即可．
本题考查函数的零点判断，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：因为θ∈(0,π)，所以sinθ>0，又sinθ+csθ=−15<0，
所以csθ<0，所以可得θ∈(π2,π)，故A错误．
又(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ=125，可得sinθcsθ=−1225，
所以sinθ−csθ= (sinθ−csθ)2= 1−2sinθcsθ=75，
则可得sinθ=35，csθ=−45，tanθ=sinθcsθ=−34，故有B错误，CD正确．
故选：CD．
由题意，根据结合同角基本关系分别检验各选项即可判断．
本题考查正弦型三角函数性质的求解和判断，属综合基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对A：∵f(x)是偶函数，∴f(−2)=f(2)=2−22=−2，A正确；
对B：∵x≥0时，f(x)=x−x2=−(x−12)2+14≤14，∴由对称性可知f(x)的最大值为14，B正确；
对C：当x<0时，f(x)=f(−x)=−x−x2，又y=−x2−x的对称轴为x=−12，
∴f(x)在(−12,0)上是减函数，C错误；
对D：x≥0时，f(x)+2x=3x−x2≥0的解集为[0,3]，x<0时，f(x)+2x=x−x2≥0无解，故D正确．
故选：ABD．
根据f(x)是偶函数，结合二次函数的性质，以及一元二次不等式的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
本题考查函数奇偶性的性质及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：图(1)中，由题意可得A=2，T4=π3−π12=π4，
所以T=π，A错误；
所以ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)，
又f(π12)=2sin(π6+φ)=2，|φ|<π2，
故φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)，
令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，
可得x=π12+kπ2，k∈Z，
当k=3时，x=19π12，B正确；
由y=f(x)−1=0可得sin(2x+π3)=12，
所以2x+π3=π6+2kπ或2x+π3=5π6+2kπ，k∈Z，
所以x=−π12+kπ或x=π4+kπ，k∈Z，
当0≤x≤2π时，x=π4，11π12，5π4，23π12共4个零点，C正确；
把函数y=f(x)的图像向左平移2π3可得y=2sin(2x+5π3)=2sin(2x−π3)，
而(2)中，A=2，34T=5π12+π3=3π4，即T=π，
所以ω1=2，g(x)=2cs(2x+α)，
因为g(5π12)=2cs(5π6+α)=2，|α|<π，
所以α=−5π6，g(x)=2cs(2x−5π6)=2cs(2x−π3−π2)=2sin(2x−π3)，D正确．
故选：BCD．
结合五点作图法先求出f(x)，g(x)的解析式，然后结合正弦函数及余弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了五点作图法在正弦函数及余弦函数解析式求解中的应用，还考查了正弦及余弦函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】三或四
【解析】解：csθtanθ<0，
则csθ<0tanθ>0或csθ>0tanθ<0，解得θ为第三或第四象限角．
故答案为：三或四．
根据已知条件，推得csθ<0tanθ>0或csθ>0tanθ<0，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
14.【答案】−7
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式的应用，对数方程，属于基础题．
直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】
解：函数f(x)=lg2(x2+a)，若f(3)=1，
可得：lg2(9+a)=1，可得a=−7．
故答案为：−7．
15.【答案】−4
【解析】解：f(x)=−2cs2x−3csx+1=−2(csx+34)2+178，
∵−1≤csx≤1，∴当csx=1时，f(x)min=−4，
故函数f(x)的最小值为−4．
故答案为：−4．
直接利用二次函数的性质以及函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16.【答案】 22
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．
根据函数的周期性，进行转化求解即可．
【解答】
解：由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数，
则f(15)=f(16−1)=f(−1)=|−1+12|=12，
f(12)=cs(π2×12)=csπ4= 22，
即f(f(15))= 22，
故答案为： 22．
17.【答案】解：(1)该函数的图象如图：

(2)由函数y=f(x)的图象可知：
单调增区间是(−∞,0)，(1,+∞)；
函数y=f(x)的零点是−1，1．
【解析】(1)根据二次函数以及对数函数的图象性质，结合分段函数的性质即可求解；
(2)结合函数图象即可求解．
本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由角α的终边经过点P(−3,4)，根据三角函数的定义得sinα=4 32+42=45，
csα=−3 (−3)2+42=−35．
(2)sin(π+α)+csαcs(5π2+α)=−sinα+csα−sinα=−45−35−45=74．
【解析】(1)由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，csα的值．
(2)由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)sin π12cs π12=12sinπ6=14；
(2)cs2π8−sin2π8=csπ4= 22；
(3)tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45∘⋅tan30=1+ 331− 33=2+ 3；
(4)1sin10∘− 3cs10°=cs10°− 3sin10°sin10°cs10°=2(12cs10°− 32sin10°)12sin20°=2sin(30°−10°)12sin20∘=4．
【解析】(1)～(4)结合三角函数的恒等变换公式，以及诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为tan α=43，tan α=sin αcs α，
所以sin α=43cs α．
因为sin2α+cs2α=1，
所以cs2α=925，
因此，cs 2α=2cs2α−1=−725．
(2)因为α，β为锐角，
所以α+β∈(0,π)．
又因为cs (α+β)=− 55，
所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=2 55．
因此tan(α+β)=−2．
因为tanα=43，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=−247．
因此，tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]
=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211．
【解析】本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数公式的灵活应用，考查了转化的思想方法，属于中档题．
(1)根据已知等式，得sin α=43cs α，根据同角三角函数基本关系式，得cs2α=925，即可求解；
(2)根据已知得sin(α+β)与tan(α+β)及tanα的值，从而得tan2α的值，由tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]，即可求解．
21.【答案】解：(1)由题意得，y=2sin(2x+π4)，列表如下：
描点、连线，画出函数在1个周期[−π8,7π8]，上的简图如下：

(2)令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，
得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，
所以函数y=f(x)的单调递增区间为[−π8+kπ,π8+kπ]，k∈Z；
(3)x∈[0,π2]时，2x+π4∈[π4,5π4]，
所以2x+π4=5π4，即x=π2时，y=2sin(2x+π4)的最小值为− 2；
2x+π4=π2，即x=π8时，y=2sin(2x+π4)的最大值为2．
【解析】(1)先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合五点作图法即可求解；
(2)结合正弦函数的单调性即可求解；
(3)结合正弦函数的最值即可求解．
本题主要考查了五点作图法的应用，还考查了正弦函数单调性及最值的求解，属于中档题．
22.【答案】解：(1)选择①②：由已知得T=2πω=2⋅π2=π，所以ω=2，从而f(x)=2sin(2x+φ)，
将A(2π3,−2)代入f(x)得，2sin(4π3+φ)=−2，
解得φ=π6+2kπ，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)；
选择①③：由已知得T=2πω=2×π2=π，所以ω=2，
f(x)=2sin(2x+φ)，又f(0)=2sinφ=1，因为0<φ<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=2sin(2x+π6)；
选择②③：由f(0)=2sinφ=1，又0<φ<π2，所以φ=π6，
将A(2π3,−2)代入f(x)得，2sin(2π3ω+π6)=−2，解得ω=2+3k，k∈Z，又0<ω<5，所以ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+π6)；
(2)由已知得g(x)=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)，
故y=f(x)g(x)−1=4sin(2x+π6)cs2x−1=2 3sin2xcs2x+2cs22x−1= 3sin4x+cs4x=2sin(4x+π6)，
则T=2πω=2π4=π2，
令4x+π6=kπ+π2，k∈Z，
则x=kπ4+π12，k∈Z，
故对称轴为x=kπ4+π12，k∈Z．
【解析】(1)结合所选条件，由周期求ω，代入点的坐标求φ，进而可求函数解析式f(x)；
(2)结合函数图象变换求出g(x)，然后利用和差角公式，二倍角公式及辅助角公式对y=f(x)g(x)−1进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了和差角公式，二倍角及辅助角公式的应用，正弦函数性质的应用，属于中档题．2x+π4
0
π2
π
3π2
2π
x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
y=2sin(2x+π4)
0
2
0
−2
0

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