福建省厦门双十中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份福建省厦门双十中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含答案），共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 
2. 设，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数为奇函数，则a的值是（ ）
A. 1B. 2C. 1或2D. 0
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）
A. 20B. 21C. 22D. 23
7. 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知定义域为函数满足对于任意，，，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 命题p：，，则命题p否定是，
B. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
C. 奇函数和偶函数的定义域都是R，则函数为偶函数
D. “”是“”的必要条件
10. 若，，且，则下列不等式恒成立的（ ）
A. B. C. D.
11. 双曲余弦函数常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数，则满足的整数a的取值可以是（ ）

A. －1B. 0C. 1D. 2
12. 已知函数的定义域为，当时，，当，（m为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，的图象与曲线的图象有3个交点
C. 若对任意的，都有，则
D. 当，时，的图象与直线在内的交点个数是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数，则______．
14. 已知集合，则______．
15. 求值：______．
16. 已知正数x，y，z满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合.
（1）当a=1时，求，；
（2）设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数的单调性并证明．
19. 已知函数满足，且．
（1）求，判断函数奇偶性，并证明你的结论；
（2）若对任意，都有成立，且当时，不等式恒成立，求实数m取值范围．
20. 已知实数a满足，．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，，且，求的值．
21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
22. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若且，试比较与的大小关系；
（3）令，若在R上的最小值为，求m的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试
高一数学
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 
【答案】D
【解析】
【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.
【分析】因为集合，，
所以，， 是的真子集，
所以A,B,C错误，D正确.
故选：D
2. 设，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，由于在上单调递增，所以时，，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：C
3. 已知函数为奇函数，则a的值是（ ）
A. 1B. 2C. 1或2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数得到a值再用定义法验证即可.
【详解】因为函数为奇函数，定义域为，
所以，解得或，
当时，，则，不满足题意；
当时，，则，满足题意.
所以a的值是2.
故选：B
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.
【详解】由，解得，
由“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数，与，
答案A没有幂函数图像，
答案B.中，中，不符合，
答案C中，中，不符合，
答案D中，中，符合，故选D.
【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.
6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）
A. 20B. 21C. 22D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可列出方程，求解即可，
【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,
则，
即，
,
故选：D．
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.
【详解】由题意得，；
因为在上单调递减，
所以，
由于，
所以；
因为在上单调递减，所以.
所以.
故选：D
8. 已知定义域为的函数满足对于任意，，，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将变为，结合构造函数，即可判断的单调性，由此将不等式可化为，结合函数单调性，即可得答案.
【详解】由题意知对于任意，，，不妨设，则，
由得，即，
结合得，即，
设，则该函数在上单调递增，且，
则即，即，
故，即不等式的解集为，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 命题p：，，则命题p的否定是，
B. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
C. 奇函数和偶函数的定义域都是R，则函数为偶函数
D. “”是“”的必要条件
【答案】BC
【解析】
【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A；判断“”和“关于x的方程有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B；根据函数奇偶性定义判断C；判断“”和“”的推出关系可判断D.
【分析】对于A，命题p：，，
则命题p的否定是，，A错误；
对于B，当时，对于有，
即方程有两个不等实根，设为，则，即一正一负；
当有一正一负根时，只需满足，即，
即“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，B正确；
对于C，由题意知的定义域为R，
由可得，
即函数为偶函数，C正确；
对于D，当时，可得，
反之，当，比如时，无意义，
故“”是“”的充分条件，D错误，
故选：BC
10. 若，，且，则下列不等式恒成立的（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.
【详解】对于A和C，因为，，所以，即，
当且仅当时等号成立，故，则，故A正确，C错误；
对于B，代入，，故B错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：AD
11. 双曲余弦函数常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数，则满足的整数a的取值可以是（ ）

A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，则由可得，将各选项中的数代入验证，即可得答案.
【详解】由题意知的定义域为R，
，
即为偶函数，
又时，，令，且在上单调递增，
函数上单调递增，
故在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，
故由得，
将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，
故选：BCD
12. 已知函数的定义域为，当时，，当，（m为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，的图象与曲线的图象有3个交点
C. 若对任意的，都有，则
D. 当，时，的图象与直线在内的交点个数是
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简得到，进而求得则，可判定A错误；当时，作出函数的图象与曲线的图象，结合图象，可判定B正确；根据题意得出函数的值域对m进行分类讨论，可判定C正确；由的图象与直线在内的交点个数可判定D正确.
【详解】当时，函数可转化为，
则，所以A错误；
当时，函数的图象与曲线的图象，如图所示，
可得函数的图象与曲线的图象有3个交点，所以B正确；

对于C中，依题意，，当时，函数的值域为；
当时，若时，可得函数的值域为，
若时，函数的值域为；
若时，函数的值域为，；
随着x依次取值，值域将变成，不符合题意，
若时，若时，可得函数的值域为，
若时，函数的值域为；，不符合题意，所以C正确；
对于D，
当时，可得函数的值域为，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为……，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为
当时，函数的值域为，
若，，由图象可知，的图象与直线在区间，，……，上均有2个交点，
在上有一个交点，在上无交点，所以的图象与直线在内的交点个数是，
所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B,D，利用迭代可判断A，对于C，分和两种情况讨论可判断.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，令，准确运算，即可求解.
【详解】由函数，令，可得.
故答案为：.
14 已知集合，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，结合集合并集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得或，
即或，
因为集合，所以.
故答案为：.
15. 求值：______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.
【详解】由题意得，，，
，，
所以原式.
故答案为：8
16. 已知正数x，y，z满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先代换，结合基本不等式求解可得答案.
【详解】因为，所以；
易知，所以；
所以，由，当且仅当时取等号，
可得，当且仅当，即时，取到最小值.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合.
（1）当a=1时，求，；
（2）设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解.
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【小问1详解】
当a=1时，，，
所以，.
【小问2详解】
因为a>0，则，由(1)知，，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得，
所以实数a的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数的单调性并证明．
【答案】（1）是奇函数，理由见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；
（2）根据函数单调性定义进行证明.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
函数，则定义域关于原点对称，
因为，所以是奇函数；
【小问2详解】
任取，
则
，
因为，所以，
所以，所以在上单调递减.
19. 已知函数满足，且．
（1）求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若对任意，都有成立，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），函数是奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法即可求得，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数奇偶性；
（2）根据条件得到函数单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.
【小问1详解】
因为函数满足，
所以令，得到，所以；
函数定义域为，
因为，
所以函数奇函数
【小问2详解】
因为对任意，都有成立，
所以函数在单调递增，
不等式，即，
即，即，
所以，所以对恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的取值范围为
20. 已知实数a满足，．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）-13
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a的取值范围，综合可得答案；
（2）由题意确定a的值，化简，由可得，再由，两式相加即可求得答案.
【小问1详解】
由可得，
当时，由得，
则，故；
当时，由得，
则，故；
综合可得实数a的取值范围；
【小问2详解】
由题意知，则，则，需满足，
则，
故由得，
则，则.
21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】（1）
（2）时有最小值，最小值为.
【解析】
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【小问1详解】
由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
【小问2详解】
①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
22. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若且，试比较与的大小关系；
（3）令，若在R上的最小值为，求m的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）1.
【解析】
【分析】（1）把代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.
（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.
（3）利用换元法化简的解析式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的值.
【小问1详解】
当时，函数，
不等式化为，即，解得，则，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
依题意，
，
由，得，又，
则，因此，
所以.
【小问3详解】
令，，则，
于是
，
而，当且仅当，即，时取等号，
当，即时，则当时，取得最小值，矛盾；
当，即时，则当时，取得最小值，解得，则，
所以m的值是1.
【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.