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2023-2024学年福建省泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校两校联考高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年福建省泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校两校联考高一上学期期中考试数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了 已知命题，，则， 函数定义域是， 已知幂函数的图象经过点，则， 下列各式中成⽴的⼀项是， 函数的部分图象⼤致为， 已知函数满⾜，当时，且，， 下列命题为真命题的是， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
年上学期期中考试卷⾼⼀数学
试卷满分：1 50 分考试时间：1 20 分钟
⼀、 单选题: 本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符 合题⽬要求的.
1 . 已知集合{为奇数} ，则（）
A. B. C. D.
2. 已知命题，，则（）.
A，B.，
C.，D.，
3. 函数定义域是（）
A. B. C. D.
4. 已知幂函数的图象经过点，则 （）
A.B. C. D. 5. 下列各式中成⽴的⼀项是（）
A. B. C.D.
6. 函数的部分图象⼤致为（）
A.B.C.D.
7. 若函数在上是单调函数，则 的取值可以是（） A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 已知函数满⾜，当时，且，
若当 时， 有解，则 a 的取值范围为（）
A.B.
C. D.
、
⼆多选题:本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.在每⼩题给出的四个选项中，有多个选项符
合题⽬要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则 1 0. 下列命题中正确的是（）
A. 函数与 是相同函数 B. 函数恒过定点
C. 已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 D. 若函数，则
1 1 . 已知 a，b 为正实数，满⾜，则下列判断中正确是（）
A.有最⼩值
B.有最⼩值
C. 函数的最⼩值为 1 D. 有最⼤值
1 2. 定义在上的函数 满⾜ ，函数 为奇函数，且对
，当时，都有.函数 与函数的图象交于点 ，以下结论正确的是（）
A. B. 函数为偶函数
C. 函数在区间上单调递减D.
三、 填空题:本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
1 3. 不等式的解集
.
是
1 4. 设，则 ， ， 的⼤⼩关系为
⼩到⼤的顺序连接
注：⽤“ ”将三个数按从
1 5 （其中 ）
1 6. 设集合，函数，若且，则的取
值范围为
、
四解答题:本题共 6 ⼩题，共 70 分.解答应写出⽂字说明、 证明过程或演算步骤.
1 7. 设全集，集合，集合.
（1 ）当时，求及 ；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围.
1 8. 已知函数是定义在 R 上的奇函数，且当时，.
（1 ）求函数的解析式并画出其图像；
（2）设函数在上最⼤值为，求.
1 9. 已知关于 x 的不等式的解集为 或 （）.
（1 ）求 a，b 的值；
20. 已知函数，，满⾜条件，且.
（1 ）求 的值；
（2）⽤单调性定义证明：函数 在区间 上单调递增；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
21 . 世界范围内新能源汽⻋的发展⽇新⽉异，电动汽⻋主要分三类：纯电动汽⻋、混合动⼒电动汽⻋和燃 料电池电动汽⻋.这 3 类电动汽⻋⽬前处在不同的发展阶段，并各⾃具有不同的发展策略.中国的电动汽⻋⾰ 命也早已展开，以新能源汽⻋替代汽（柴）油⻋，中国正在⼤⼒实施⼀项将重新塑造全球汽⻋⾏业的计划. 2022 年某企业计划引进新能源汽⻋⽣产设备，通过市场分析，全年需投⼊固定成本 2000 万元，每⽣产
（百辆），需另投⼊成本 （万元），且；已知每辆⻋售价 5 万 元，由市场调研知，全年内⽣产的⻋辆当年能全部销售完.
（1 ）求出 2022 年的利润（万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（2）2022 年产量为多少百辆时，企业所获利润最⼤？并求出最⼤利润.
22. 定义在 D 上的函数，如果满⾜：对任意的，存在常数，都有 成⽴， 则称是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界．已知函数 ，
．
（1 ）当时，求函数 在 上的值域，并判断函数 在 上是否为有界函数，请 说明理由；
（2）若函数 在 上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围；
（3）若，函数 g(x )在 上的上界为，求 的取值范围．
“
、
泉港区第⼀中学
厦⻔外国语学校⽯狮分校
”
两校联考
2023-2024
学年
上学期期中考试卷⾼⼀数学
试卷满分：150 分考试时间：120 分钟
在
⼀、单选题: 本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
.
符合题⽬要求的
1.
已知集合
{为奇数} ，则（）
A. B.C.D.
D
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的概念计算即可.
.
【详解】由题意可知
D
故选：
.
2.
已知命题
，，则（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
B
【答案】
【解析】
.
【分析】根据含有⼀个量词的命题的否定，即可得答案
【详解】命题，是全称量词命题，
故其否定为，，
B
故选：
3. 函数的定义域是（）
A. B. C. D. B
【答案】
【解析】
.
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域
【详解】依题意，解得且，所以 的定义域为.
B
故选：
4.
已知幂函数图象经过点
，则（）
A.B. C. D. C
【答案】
【解析】
.
【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解
【详解】设幂函数 ，所以 ，解得，所以 ，
故 .
.
故选: C
5. 下列各式中成⽴的⼀项是（）
A.B. C. D. C
【答案】
【解析】
.
【分析】利⽤根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案
【详解】， 错误
B
；
错误
，
C
正确；
C
故选：
D.
， 错误
6. 函数的部分图象⼤致为（）
B.C.D.
B
【答案】
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项 C，再由函数在的单调性或值域可得
.
出正确答案
【详解】由已知 ，， 则 ，
故是奇函数，图象关于原点对称，故 C 项错误；
当时， ，则，
故 AD 项错误，应选 B.
⼜设，且，
则，
即减
故，则有 ， ，故在 上单调递.
综致
上，函数 图象的性质与选项 B 中图象表示函数的性质基本⼀.
B.
故选：
7.
若函数在
上是单调函数，则 的取值可以是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
B
【答案】
【解析】
.
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合⼀次函数与⼆次函数的单调性即可求解
⼜函数在上是单调函数，则需满⾜，解得，
所以实数 的范围为，
B.
所以满⾜范围选项是选项
B
故选： ．
8.
，当时， 且 ，
已知函数满⾜
若当 时， 有解，则 a 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
D
【答案】
【解析】
【分析】⾸先根据已知条件导出 在上单调递增，再利⽤已知条件将不等式 转化为 ，根据单调性可知当 时，有解，从⽽根据不等式能成
a
⽴来求解
.
的取值范围为即可
【详解】取且即，
因为 ，
所以 ，
⼜当时，有 ， 所以当 时，有 ，
所以 在上单调递增；
⽽ ，
⼜ ，
⼜在 上单调递增，
所以，
所以当时，有解，即 有解； 令 ，则 ，设 ， 则 在上单调递减，
当 ，即 时，，所以 ．
D
故选： ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是⾸先明确解抽象函数不等式⼀定要联想到函数单调性，所以是先设法
求解函数的单调性解
，其次再利⽤单调性设法将其转化为能成⽴问题，从⽽顺利求.
:4
、
⼆多选题 本题共
⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
每⼩题给出的四个选项中，有多个选项
在
符合题⽬要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
BC
【答案】
【解析】
.
【分析】由不等式的性质对合选项⼀⼀进⾏判断可得答案
A
【详解】解：
项，若，取 ，可得 ，故 A 不正确；
,,
：，故，故 B 正确；
项 若可得
C 项，若可得，由可得：，故 C 正确；
C 项，举反例，虽然，但是，故 D 不正确；
BC.
故选：
.
【点睛】本题主要考查利⽤不等式的性质⽐较⼤⼩，属于基础题型
10. 下列命题中正确的是（）
A. 函数与是相同函数
B.
函数恒过定点
C. 已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为
D. 若函数，则
BCD
【答案】
【解析】
【分析】根据相同函数的概念结合根式函数的定义域可判断
A
，根据指数函数的性质可判断
B
，根据抽象函
数的定义域可判断
D.
，根据配凑法可判断
A
【详解】
选项，因为，所以，解得，
所以的定义域为，
因为 ，所以，解得或，
A；
所以的定义域为，所以两函数不是相同函数， 错误
B 选项，且，当时， ，故函数 （且）恒过定
B
；
点， 正确
C；
C 选项，由得：，故函数的定义域为， 正确
D 选项，，且 ，
.
故， 正确
BCD.
故选：
11.ab，满⾜，则下列判断中正确的是（）
已知 ，
A.
为正实数
有最⼩值
B.
有最⼩值
C.1
函数的最⼩值为
D.
有最⼤值
AD
【答案】
【解析】
【分析】直接利⽤基本不等式即可判断 A
先求得，再利⽤基本不等式求得其最⼤
值，进⽽即可判断 B
；
先求得，再利⽤基本不等式求得其最⼩值，注意等
；
号取不到，进⽽即可判断 C
先令，得到，再根据“ 1” 的妙⽤得到
；
．
，再结合基本不等式求得 的最⼩值，进⽽即可判断 D
ab，满⾜，
【详解】由
A
， 为正实数
，当且仅当时，等号成⽴，
对于 ，
所以 有最⼩值 ，故 A 正确；
B
，当且仅当时，等号成⽴，
对于 ，
所以 有最⼤值 ，故 B 错误；
C
，
对于 ，
当且仅当，即或时，等号成⽴，但，
所以取不到最⼩值，故 C 错误；
D
对于 ，令
，则，
则，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成⽴， 则 ，即 ，所以 有最⼤值 ，故 D 正确．
AD
故选：
12.
．
上的函数 满⾜ ，函数 为奇函数，且对 ，
定义在
当时，都有 .
数与函数 的图象交于点
函
，以下结论正确的是（）
A.B.
函数为偶函数
C.
函数在区间
上单调递减D.
BCD
【答案】
【解析】
；
【 分 析 】 由 题 意 得 函 数的 轴 对 称 与 中 ⼼ 对 称 性 ， 进 ⽽ 得 到 周 期 性 ， 赋 值 可 得 A由
结合性质可证明
；
BD.
变形可得函数在区间的单调性，由对称性可得 C
【详解】由题意，对 ，当时，都有 .
则当时，；当时，；
.
故在单调递增
由函数 为奇函数， 则 ，即 ， 则函数的图象关于中⼼对称①；
A
选项 ，令
B
，则 ，则 ，故 A 错误；
，
选项 ，由函数满⾜
则，
则的图象关于对称②，
由①②得，，则， 所以有，
则是以 为周期的周期函数③，
则由②③得，，
即 是偶函数，故 B 正确；
C，
选项 ，由的图象关于对称
函数在区间的单调性与的单调性相反，
⼜由函数的图象关于中⼼对称， 函数 在区间 的单调性与的单调性相同， 故函数 在区间 的单调递减，故 C 正确；
D
，
选项 ，由
则的图象也关于中⼼对称；
故函数 与 的图象交点也成对关于 对称； 不妨设，则，且
，
即，且，
故确
，故 D 正.
BCD.
故选：
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过单调性的定义得到函数的单调性，再求出其周期性和奇偶性从⽽对
.
各选项逐步分析
本
题共⼩题
三、 填空题:4，每⼩题 5 分，共 20 分.
是
13. 不等式的解集 .
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为整式不等式计算即可.
【详解】原不等式等价于 ，且，
.
解之得
故答案为：
14.
设
，则 ，， 的⼤⼩关系为注“
将
：⽤”三个数按从
【分析】根据指数函数出
，幂函数单调性⽐较⼤⼩即可解.
【详解】由题知，
因为 在定义域内单调递减， 所以 ，
因为 在定义域 内单调递增， 所以 ，
所以
所以．
-10.
【答案】故答案为：
故答案为：
15.
．
）
（其中
【解析】
,.
【分析】此题考查根式指数式运算 运⽤指数对数运算法则进⾏解析
【详解】
-10.
故答案为：
16.
设集合
，函数，若且，则的取值
【分析】根据分段函数解析式，讨论、求出对应的
范围可
，再分类讨论求出范围，结合 确定最终范围即.
【详解】若
，即
，
令
，则
，不符合
；
令
，则
，不符合
；
若
，即
，
令
，则
，此时
；
令
，则
，不符合
；
综上，，即.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据解析式作分类讨论求出不同情况下范围，结合题设得到最终范围为关
键.
:
、
四解答题 本题共
6 ⼩题，共 70 分.
、.
解
答应写出⽂字说明证明过程或演算步骤
17.
1
设全集
，集合 ，集合 .
，求及 ；
（ ）当时
2“ ”“ ”，求实数 的取值范围
（ ）若
,
1
.
是的充分条件
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，然后根据集合的交并补运算即可得解.
【分析】（ ）先求出当时的集合
（ ）当 .
2
【⼩问
且仅当满⾜题意，由此即可列出不等式组，运算即可得解
1
详解】
2
【⼩问
详解】
“ ”“ ”
若是
的充分条件，则当且仅当，即，
解得，即实数 的取值范围为.
18.
1
已知函数是定义在
R 上奇函数，且当时， .
；
（ ）求函数的解析式并画出其图像
2上的最⼤值为 ，求 .
（ ）设函数在
1
；图象⻅解析；
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，并可以画出图象，
【分析】（
2
）利⽤奇函数的定义即可求函数的解析式
，由图象即可求出函数的最⼤值．
（ ）对 进⾏分类讨论
1
【⼩问详解】
由是定义在上的奇函数，可得，
当时，，
那么，则，
所以
函数的解析式为，图象如下：
由图象可知：
2
【⼩问
详解】
当时，在上单调递增，；
时，令，解得， 当 时， ； 当 时， .
.
所以
19.
已知关于
）
x不等式 的解集为或（.
1ab；
（ ）求 ， 的值
（ ）当 .
2，，且满⾜时，有恒成⽴，求 k 的取值范围
1，
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
⼀：根据不等式 的解集为 或 ，由 1 和 b 是⽅程
【分析】（ ）⽅法
的两个实数根且，利⽤⻙达定理求解；⽅法⼆：根据不等式的解集
为或，由 1 和 b 是⽅程的两个实数根且，将 1 代⼊求
.
解
（ ）易得
“，利⽤基本不等式求.
换解
1
【⼩问
详解】
解：⽅法⼀：因为不等式的解集为或，
1b
所以和
是⽅程的两个实数根且，
所以，解得
⽅法⼆：因为不等式的解集为或，
1b
所以和
1
是⽅程的两个实数根且，
，有，
由是的根
将代⼊，
得或，
∴；
2
【⼩问
1
详解】
，于是有，
由（ ）知
故，
当且仅当 时，等号成⽴，
依题意有 ，即， 得，
k.
所以 的取值范围为
20.
1
已知函数
；
，，满⾜条件，且.
（ ）求的值
2：函数在区间上单调递增；
（ ）⽤单调性定义证明
（ ）若 .
3，求实数 的取值范围
1
【答案】（ ）
2（ ）
（ ）证明⻅解析3
【解析】
1
，即可得解；
【分析】（
2
）利⽤待定系数法
，结合作差法即可证明；
（ ）利⽤单调性的定义
（ ）变形得
2
结论去掉即可得解
3
1
【⼩问
详解】
，再利⽤（ ）中.
因为，，，
所以，解得，
所以
2
【⼩问
1
.
详解】
，
由（ ）得
，且，
有 ，
由于 ，即 ，
上单调递.
所以函数在区间增
3
【⼩问
详解】
由得
⼜函数 在区间 上单调递增，
所以，解得，故，
.
所以实数 的取值范围是
21. 世界范围内新能源汽⻋的发展⽇新⽉异，电动汽⻋主要分三类：纯电动汽⻋、混合动⼒电动汽⻋和燃料
.
.3
电池电动汽⻋ 这
类电动汽⻋⽬前处在不同的发展阶段，并各⾃具有不同的发展策略 中国的电动汽⻋⾰命
也早已展开划
，以新能源汽⻋替代汽（柴）油⻋，中国正在⼤⼒实施⼀项将重新塑造全球汽⻋⾏业的计.2022
年某企业计划引进新能源汽⻋⽣产设备，通过市场分析，全年需投⼊固定成本 2000 万元，每⽣产 （百辆），
需另投⼊成本（万元），且；已知每辆⻋售价 5 万元，由市场
调研知完
，全年内⽣产的⻋辆当年能全部销售.
12022（万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（ ）求出
（ ）
年的利润
.
年产量为多少百辆时
1;
【答案】（ ）
（ ）（百辆
2300.
万
元
【解析】
1
-，即可求得 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
【分析】（ ）根据利润收⼊ 总成本
（ ）分段求得函数的最⼤值.
2
1
【⼩问
详解】
，⽐较⼤⼩可得答案
由题意知利润收⼊-总成本，
所以利润
,
2022
故
年 的 利 润
（ 万 元 ） 关 于 年 产 量 x（ 百 辆 ） 的 函 数 关 系 式 为
.
2
【⼩问
详解】
当时，，
故当时，；
当时， ,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为 100百辆）时，取得最⼤利润，最⼤利润为 2300 万元．
22.
定义在
（
D 上的函数，如果满⾜：对任意的，存在常数，都有 成⽴，
则称 是
D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界．已知函数，
．
1，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请
（ ）当时
说明理由；
2
上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围；
（ ）若函数在
3，函数 g(x)
上的上界为，求的取值范围．
（ ）若
1
在
，不是有界函数，理由⻅解析；
【答案】（ ）
2；
（ ）
3，；当时，．
（ ）当时
【解析】
1，则原函数转化成，然后利⽤⼆次函
【分析】（ ）令
数的性质求其值域即可得到答案；
（
）
2题 意 可 转 化 成在上 恒 成 ⽴ ， 故 求
即可；
（
）
3利 ⽤ 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 在 上 递 减 ， 故， 然 后 分
和两种情况进⾏讨论即可
1
【⼩问
详解】
时，，
令 ，则原函数转化为 ， 对称轴为 ，所以，
∴ ，故不存在常数，使得 成⽴，
∴ 函数在 上不是有界函数
2
【⼩问详解】
由题意可知在上恒成⽴，，
即 ，
，
，
，
∴ 在上恒成⽴，
∴．
设
由 ，得．设 ，
则，，
p(t)
∴在
上是单调递增，
∴ 在上， ， ． 所以，实数 a 的取值范围是
3
【⼩问详解】
．
∵， ，∴ 在 上递增，根据复合函数的单调性可得 在 上递减，∴
．
①若 ，两边平⽅整理得 即 时，
；此时 ；
②若 ，两边平⽅整理得 即 时，
；此时．
综上，当时，；当时，．
::⼀个新概念，或约定⼀种新运算，或给出⼏个新模型来创
【点睛】⽅法点睛 新定义题型的特点是 通过给出
设全新的问题情景，要求考⽣在阅读理解的基础上，依据题⽬提供的信息，联系所学的知识和⽅法，实现
:，应耐⼼读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，
信息的迁移，达到灵活解题的⽬的 遇到新定义问题
按新定义的要求，照章办事.
年上学期期中考试卷⾼⼀数学
试卷满分：1 50 分考试时间：1 20 分钟
⼀、 单选题: 本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符 合题⽬要求的.
1 . 已知集合{为奇数} ，则（）
A. B. C. D.
2. 已知命题，，则（）.
A，B.，
C.，D.，
3. 函数定义域是（）
A. B. C. D.
4. 已知幂函数的图象经过点，则 （）
A.B. C. D. 5. 下列各式中成⽴的⼀项是（）
A. B. C.D.
6. 函数的部分图象⼤致为（）
A.B.C.D.
7. 若函数在上是单调函数，则 的取值可以是（） A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 已知函数满⾜，当时，且，
若当 时， 有解，则 a 的取值范围为（）
A.B.
C. D.
、
⼆多选题:本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.在每⼩题给出的四个选项中，有多个选项符
合题⽬要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则 1 0. 下列命题中正确的是（）
A. 函数与 是相同函数 B. 函数恒过定点
C. 已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 D. 若函数，则
1 1 . 已知 a，b 为正实数，满⾜，则下列判断中正确是（）
A.有最⼩值
B.有最⼩值
C. 函数的最⼩值为 1 D. 有最⼤值
1 2. 定义在上的函数 满⾜ ，函数 为奇函数，且对
，当时，都有.函数 与函数的图象交于点 ，以下结论正确的是（）
A. B. 函数为偶函数
C. 函数在区间上单调递减D.
三、 填空题:本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
1 3. 不等式的解集
.
是
1 4. 设，则 ， ， 的⼤⼩关系为
⼩到⼤的顺序连接
注：⽤“ ”将三个数按从
1 5 （其中 ）
1 6. 设集合，函数，若且，则的取
值范围为
、
四解答题:本题共 6 ⼩题，共 70 分.解答应写出⽂字说明、 证明过程或演算步骤.
1 7. 设全集，集合，集合.
（1 ）当时，求及 ；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围.
1 8. 已知函数是定义在 R 上的奇函数，且当时，.
（1 ）求函数的解析式并画出其图像；
（2）设函数在上最⼤值为，求.
1 9. 已知关于 x 的不等式的解集为 或 （）.
（1 ）求 a，b 的值；
20. 已知函数，，满⾜条件，且.
（1 ）求 的值；
（2）⽤单调性定义证明：函数 在区间 上单调递增；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
21 . 世界范围内新能源汽⻋的发展⽇新⽉异，电动汽⻋主要分三类：纯电动汽⻋、混合动⼒电动汽⻋和燃 料电池电动汽⻋.这 3 类电动汽⻋⽬前处在不同的发展阶段，并各⾃具有不同的发展策略.中国的电动汽⻋⾰ 命也早已展开，以新能源汽⻋替代汽（柴）油⻋，中国正在⼤⼒实施⼀项将重新塑造全球汽⻋⾏业的计划. 2022 年某企业计划引进新能源汽⻋⽣产设备，通过市场分析，全年需投⼊固定成本 2000 万元，每⽣产
（百辆），需另投⼊成本 （万元），且；已知每辆⻋售价 5 万 元，由市场调研知，全年内⽣产的⻋辆当年能全部销售完.
（1 ）求出 2022 年的利润（万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（2）2022 年产量为多少百辆时，企业所获利润最⼤？并求出最⼤利润.
22. 定义在 D 上的函数，如果满⾜：对任意的，存在常数，都有 成⽴， 则称是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界．已知函数 ，
．
（1 ）当时，求函数 在 上的值域，并判断函数 在 上是否为有界函数，请 说明理由；
（2）若函数 在 上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围；
（3）若，函数 g(x )在 上的上界为，求 的取值范围．
“
、
泉港区第⼀中学
厦⻔外国语学校⽯狮分校
”
两校联考
2023-2024
学年
上学期期中考试卷⾼⼀数学
试卷满分：150 分考试时间：120 分钟
在
⼀、单选题: 本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
.
符合题⽬要求的
1.
已知集合
{为奇数} ，则（）
A. B.C.D.
D
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的概念计算即可.
.
【详解】由题意可知
D
故选：
.
2.
已知命题
，，则（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
B
【答案】
【解析】
.
【分析】根据含有⼀个量词的命题的否定，即可得答案
【详解】命题，是全称量词命题，
故其否定为，，
B
故选：
3. 函数的定义域是（）
A. B. C. D. B
【答案】
【解析】
.
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域
【详解】依题意，解得且，所以 的定义域为.
B
故选：
4.
已知幂函数图象经过点
，则（）
A.B. C. D. C
【答案】
【解析】
.
【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解
【详解】设幂函数 ，所以 ，解得，所以 ，
故 .
.
故选: C
5. 下列各式中成⽴的⼀项是（）
A.B. C. D. C
【答案】
【解析】
.
【分析】利⽤根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案
【详解】， 错误
B
；
错误
，
C
正确；
C
故选：
D.
， 错误
6. 函数的部分图象⼤致为（）
B.C.D.
B
【答案】
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项 C，再由函数在的单调性或值域可得
.
出正确答案
【详解】由已知 ，， 则 ，
故是奇函数，图象关于原点对称，故 C 项错误；
当时， ，则，
故 AD 项错误，应选 B.
⼜设，且，
则，
即减
故，则有 ， ，故在 上单调递.
综致
上，函数 图象的性质与选项 B 中图象表示函数的性质基本⼀.
B.
故选：
7.
若函数在
上是单调函数，则 的取值可以是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
B
【答案】
【解析】
.
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合⼀次函数与⼆次函数的单调性即可求解
⼜函数在上是单调函数，则需满⾜，解得，
所以实数 的范围为，
B.
所以满⾜范围选项是选项
B
故选： ．
8.
，当时， 且 ，
已知函数满⾜
若当 时， 有解，则 a 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
D
【答案】
【解析】
【分析】⾸先根据已知条件导出 在上单调递增，再利⽤已知条件将不等式 转化为 ，根据单调性可知当 时，有解，从⽽根据不等式能成
a
⽴来求解
.
的取值范围为即可
【详解】取且即，
因为 ，
所以 ，
⼜当时，有 ， 所以当 时，有 ，
所以 在上单调递增；
⽽ ，
⼜ ，
⼜在 上单调递增，
所以，
所以当时，有解，即 有解； 令 ，则 ，设 ， 则 在上单调递减，
当 ，即 时，，所以 ．
D
故选： ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是⾸先明确解抽象函数不等式⼀定要联想到函数单调性，所以是先设法
求解函数的单调性解
，其次再利⽤单调性设法将其转化为能成⽴问题，从⽽顺利求.
:4
、
⼆多选题 本题共
⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
每⼩题给出的四个选项中，有多个选项
在
符合题⽬要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
BC
【答案】
【解析】
.
【分析】由不等式的性质对合选项⼀⼀进⾏判断可得答案
A
【详解】解：
项，若，取 ，可得 ，故 A 不正确；
,,
：，故，故 B 正确；
项 若可得
C 项，若可得，由可得：，故 C 正确；
C 项，举反例，虽然，但是，故 D 不正确；
BC.
故选：
.
【点睛】本题主要考查利⽤不等式的性质⽐较⼤⼩，属于基础题型
10. 下列命题中正确的是（）
A. 函数与是相同函数
B.
函数恒过定点
C. 已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为
D. 若函数，则
BCD
【答案】
【解析】
【分析】根据相同函数的概念结合根式函数的定义域可判断
A
，根据指数函数的性质可判断
B
，根据抽象函
数的定义域可判断
D.
，根据配凑法可判断
A
【详解】
选项，因为，所以，解得，
所以的定义域为，
因为 ，所以，解得或，
A；
所以的定义域为，所以两函数不是相同函数， 错误
B 选项，且，当时， ，故函数 （且）恒过定
B
；
点， 正确
C；
C 选项，由得：，故函数的定义域为， 正确
D 选项，，且 ，
.
故， 正确
BCD.
故选：
11.ab，满⾜，则下列判断中正确的是（）
已知 ，
A.
为正实数
有最⼩值
B.
有最⼩值
C.1
函数的最⼩值为
D.
有最⼤值
AD
【答案】
【解析】
【分析】直接利⽤基本不等式即可判断 A
先求得，再利⽤基本不等式求得其最⼤
值，进⽽即可判断 B
；
先求得，再利⽤基本不等式求得其最⼩值，注意等
；
号取不到，进⽽即可判断 C
先令，得到，再根据“ 1” 的妙⽤得到
；
．
，再结合基本不等式求得 的最⼩值，进⽽即可判断 D
ab，满⾜，
【详解】由
A
， 为正实数
，当且仅当时，等号成⽴，
对于 ，
所以 有最⼩值 ，故 A 正确；
B
，当且仅当时，等号成⽴，
对于 ，
所以 有最⼤值 ，故 B 错误；
C
，
对于 ，
当且仅当，即或时，等号成⽴，但，
所以取不到最⼩值，故 C 错误；
D
对于 ，令
，则，
则，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成⽴， 则 ，即 ，所以 有最⼤值 ，故 D 正确．
AD
故选：
12.
．
上的函数 满⾜ ，函数 为奇函数，且对 ，
定义在
当时，都有 .
数与函数 的图象交于点
函
，以下结论正确的是（）
A.B.
函数为偶函数
C.
函数在区间
上单调递减D.
BCD
【答案】
【解析】
；
【 分 析 】 由 题 意 得 函 数的 轴 对 称 与 中 ⼼ 对 称 性 ， 进 ⽽ 得 到 周 期 性 ， 赋 值 可 得 A由
结合性质可证明
；
BD.
变形可得函数在区间的单调性，由对称性可得 C
【详解】由题意，对 ，当时，都有 .
则当时，；当时，；
.
故在单调递增
由函数 为奇函数， 则 ，即 ， 则函数的图象关于中⼼对称①；
A
选项 ，令
B
，则 ，则 ，故 A 错误；
，
选项 ，由函数满⾜
则，
则的图象关于对称②，
由①②得，，则， 所以有，
则是以 为周期的周期函数③，
则由②③得，，
即 是偶函数，故 B 正确；
C，
选项 ，由的图象关于对称
函数在区间的单调性与的单调性相反，
⼜由函数的图象关于中⼼对称， 函数 在区间 的单调性与的单调性相同， 故函数 在区间 的单调递减，故 C 正确；
D
，
选项 ，由
则的图象也关于中⼼对称；
故函数 与 的图象交点也成对关于 对称； 不妨设，则，且
，
即，且，
故确
，故 D 正.
BCD.
故选：
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过单调性的定义得到函数的单调性，再求出其周期性和奇偶性从⽽对
.
各选项逐步分析
本
题共⼩题
三、 填空题:4，每⼩题 5 分，共 20 分.
是
13. 不等式的解集 .
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为整式不等式计算即可.
【详解】原不等式等价于 ，且，
.
解之得
故答案为：
14.
设
，则 ，， 的⼤⼩关系为注“
将
：⽤”三个数按从
【分析】根据指数函数出
，幂函数单调性⽐较⼤⼩即可解.
【详解】由题知，
因为 在定义域内单调递减， 所以 ，
因为 在定义域 内单调递增， 所以 ，
所以
所以．
-10.
【答案】故答案为：
故答案为：
15.
．
）
（其中
【解析】
,.
【分析】此题考查根式指数式运算 运⽤指数对数运算法则进⾏解析
【详解】
-10.
故答案为：
16.
设集合
，函数，若且，则的取值
【分析】根据分段函数解析式，讨论、求出对应的
范围可
，再分类讨论求出范围，结合 确定最终范围即.
【详解】若
，即
，
令
，则
，不符合
；
令
，则
，不符合
；
若
，即
，
令
，则
，此时
；
令
，则
，不符合
；
综上，，即.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据解析式作分类讨论求出不同情况下范围，结合题设得到最终范围为关
键.
:
、
四解答题 本题共
6 ⼩题，共 70 分.
、.
解
答应写出⽂字说明证明过程或演算步骤
17.
1
设全集
，集合 ，集合 .
，求及 ；
（ ）当时
2“ ”“ ”，求实数 的取值范围
（ ）若
,
1
.
是的充分条件
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，然后根据集合的交并补运算即可得解.
【分析】（ ）先求出当时的集合
（ ）当 .
2
【⼩问
且仅当满⾜题意，由此即可列出不等式组，运算即可得解
1
详解】
2
【⼩问
详解】
“ ”“ ”
若是
的充分条件，则当且仅当，即，
解得，即实数 的取值范围为.
18.
1
已知函数是定义在
R 上奇函数，且当时， .
；
（ ）求函数的解析式并画出其图像
2上的最⼤值为 ，求 .
（ ）设函数在
1
；图象⻅解析；
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
，并可以画出图象，
【分析】（
2
）利⽤奇函数的定义即可求函数的解析式
，由图象即可求出函数的最⼤值．
（ ）对 进⾏分类讨论
1
【⼩问详解】
由是定义在上的奇函数，可得，
当时，，
那么，则，
所以
函数的解析式为，图象如下：
由图象可知：
2
【⼩问
详解】
当时，在上单调递增，；
时，令，解得， 当 时， ； 当 时， .
.
所以
19.
已知关于
）
x不等式 的解集为或（.
1ab；
（ ）求 ， 的值
（ ）当 .
2，，且满⾜时，有恒成⽴，求 k 的取值范围
1，
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1
⼀：根据不等式 的解集为 或 ，由 1 和 b 是⽅程
【分析】（ ）⽅法
的两个实数根且，利⽤⻙达定理求解；⽅法⼆：根据不等式的解集
为或，由 1 和 b 是⽅程的两个实数根且，将 1 代⼊求
.
解
（ ）易得
“，利⽤基本不等式求.
换解
1
【⼩问
详解】
解：⽅法⼀：因为不等式的解集为或，
1b
所以和
是⽅程的两个实数根且，
所以，解得
⽅法⼆：因为不等式的解集为或，
1b
所以和
1
是⽅程的两个实数根且，
，有，
由是的根
将代⼊，
得或，
∴；
2
【⼩问
1
详解】
，于是有，
由（ ）知
故，
当且仅当 时，等号成⽴，
依题意有 ，即， 得，
k.
所以 的取值范围为
20.
1
已知函数
；
，，满⾜条件，且.
（ ）求的值
2：函数在区间上单调递增；
（ ）⽤单调性定义证明
（ ）若 .
3，求实数 的取值范围
1
【答案】（ ）
2（ ）
（ ）证明⻅解析3
【解析】
1
，即可得解；
【分析】（
2
）利⽤待定系数法
，结合作差法即可证明；
（ ）利⽤单调性的定义
（ ）变形得
2
结论去掉即可得解
3
1
【⼩问
详解】
，再利⽤（ ）中.
因为，，，
所以，解得，
所以
2
【⼩问
1
.
详解】
，
由（ ）得
，且，
有 ，
由于 ，即 ，
上单调递.
所以函数在区间增
3
【⼩问
详解】
由得
⼜函数 在区间 上单调递增，
所以，解得，故，
.
所以实数 的取值范围是
21. 世界范围内新能源汽⻋的发展⽇新⽉异，电动汽⻋主要分三类：纯电动汽⻋、混合动⼒电动汽⻋和燃料
.
.3
电池电动汽⻋ 这
类电动汽⻋⽬前处在不同的发展阶段，并各⾃具有不同的发展策略 中国的电动汽⻋⾰命
也早已展开划
，以新能源汽⻋替代汽（柴）油⻋，中国正在⼤⼒实施⼀项将重新塑造全球汽⻋⾏业的计.2022
年某企业计划引进新能源汽⻋⽣产设备，通过市场分析，全年需投⼊固定成本 2000 万元，每⽣产 （百辆），
需另投⼊成本（万元），且；已知每辆⻋售价 5 万元，由市场
调研知完
，全年内⽣产的⻋辆当年能全部销售.
12022（万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（ ）求出
（ ）
年的利润
.
年产量为多少百辆时
1;
【答案】（ ）
（ ）（百辆
2300.
万
元
【解析】
1
-，即可求得 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
【分析】（ ）根据利润收⼊ 总成本
（ ）分段求得函数的最⼤值.
2
1
【⼩问
详解】
，⽐较⼤⼩可得答案
由题意知利润收⼊-总成本，
所以利润
,
2022
故
年 的 利 润
（ 万 元 ） 关 于 年 产 量 x（ 百 辆 ） 的 函 数 关 系 式 为
.
2
【⼩问
详解】
当时，，
故当时，；
当时， ,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为 100百辆）时，取得最⼤利润，最⼤利润为 2300 万元．
22.
定义在
（
D 上的函数，如果满⾜：对任意的，存在常数，都有 成⽴，
则称 是
D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界．已知函数，
．
1，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请
（ ）当时
说明理由；
2
上是以 4 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围；
（ ）若函数在
3，函数 g(x)
上的上界为，求的取值范围．
（ ）若
1
在
，不是有界函数，理由⻅解析；
【答案】（ ）
2；
（ ）
3，；当时，．
（ ）当时
【解析】
1，则原函数转化成，然后利⽤⼆次函
【分析】（ ）令
数的性质求其值域即可得到答案；
（
）
2题 意 可 转 化 成在上 恒 成 ⽴ ， 故 求
即可；
（
）
3利 ⽤ 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 在 上 递 减 ， 故， 然 后 分
和两种情况进⾏讨论即可
1
【⼩问
详解】
时，，
令 ，则原函数转化为 ， 对称轴为 ，所以，
∴ ，故不存在常数，使得 成⽴，
∴ 函数在 上不是有界函数
2
【⼩问详解】
由题意可知在上恒成⽴，，
即 ，
，
，
，
∴ 在上恒成⽴，
∴．
设
由 ，得．设 ，
则，，
p(t)
∴在
上是单调递增，
∴ 在上， ， ． 所以，实数 a 的取值范围是
3
【⼩问详解】
．
∵， ，∴ 在 上递增，根据复合函数的单调性可得 在 上递减，∴
．
①若 ，两边平⽅整理得 即 时，
；此时 ；
②若 ，两边平⽅整理得 即 时，
；此时．
综上，当时，；当时，．
::⼀个新概念，或约定⼀种新运算，或给出⼏个新模型来创
【点睛】⽅法点睛 新定义题型的特点是 通过给出
设全新的问题情景，要求考⽣在阅读理解的基础上，依据题⽬提供的信息，联系所学的知识和⽅法，实现
:，应耐⼼读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，
信息的迁移，达到灵活解题的⽬的 遇到新定义问题
按新定义的要求，照章办事.
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