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2024厦门双十中学高一下学期5月期中考试数学试题（无答案）
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这是一份2024厦门双十中学高一下学期5月期中考试数学试题（无答案），共5页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，设为复数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．在中，，则外接圆的半径为（ ）
A．1B．C．2D．3
2．设向量，且，则（ ）
A．1B．C．1或D．或3
3．复数的模长为（ ）
A．B．C．D．
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为（ ）
A．B．1C．D．
6．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边AC的中点．已知，且，则BD最大时角B的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若平面向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．与的夹角为90°D．在上的投影向量的坐标为
10．设为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则的取值范围是
11．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CM上一点．则下列结论正确的是（ ）
A．若平面ABC，则
B．若平面ABC，则三棱锥P—ABC的体积为
C．若F为线段EN的中点，且平面MAF，则
D．的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知x、y是实数，向量不共线，若，则______．
13．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，BC的中点，P为直四棱柱表面上的动点，若，E，F，P四点共面，则动点P的轨迹的长度为______．
14．菱形ABCD中，，点E，F分别是线段AD，CD上的动点（包括端点），，则______，的最小值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在正方体中，E是的中点．
（1）求证：平面ACE；
（2）若，求三棱锥B—AEC的体积．
16．（本小题满分15分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且．
（1）求证：；
（2）若，求csA．
17．（本小题满分15分）
（1）已知A（2，3），，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标；
（2）若是夹角为60°的两个单位向量，求：（i）的值；（ = 2 \* rman ii）函数的最小值；
（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．
注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分17分）在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）．
图1 图2 图3
（1）证明：平面平面AMN；
（2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值；
（3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）设正△ABC的边长为1，O为△ABC的重心，为BC边上的等分点，为AC边上的等分点，为AB边上的等分点．
（1）分别求当时，的值；
（2）当时．
（i）求的值（用i，j表示）；
（ii）求的最大值与最小值．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．在中，，则外接圆的半径为（ ）
A．1B．C．2D．3
2．设向量，且，则（ ）
A．1B．C．1或D．或3
3．复数的模长为（ ）
A．B．C．D．
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为（ ）
A．B．1C．D．
6．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边AC的中点．已知，且，则BD最大时角B的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若平面向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．与的夹角为90°D．在上的投影向量的坐标为
10．设为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则的取值范围是
11．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CM上一点．则下列结论正确的是（ ）
A．若平面ABC，则
B．若平面ABC，则三棱锥P—ABC的体积为
C．若F为线段EN的中点，且平面MAF，则
D．的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知x、y是实数，向量不共线，若，则______．
13．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，E，F分别是AB，BC的中点，P为直四棱柱表面上的动点，若，E，F，P四点共面，则动点P的轨迹的长度为______．
14．菱形ABCD中，，点E，F分别是线段AD，CD上的动点（包括端点），，则______，的最小值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在正方体中，E是的中点．
（1）求证：平面ACE；
（2）若，求三棱锥B—AEC的体积．
16．（本小题满分15分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且．
（1）求证：；
（2）若，求csA．
17．（本小题满分15分）
（1）已知A（2，3），，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标；
（2）若是夹角为60°的两个单位向量，求：（i）的值；（ = 2 \* rman ii）函数的最小值；
（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．
注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分17分）在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）．
图1 图2 图3
（1）证明：平面平面AMN；
（2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值；
（3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）设正△ABC的边长为1，O为△ABC的重心，为BC边上的等分点，为AC边上的等分点，为AB边上的等分点．
（1）分别求当时，的值；
（2）当时．
（i）求的值（用i，j表示）；
（ii）求的最大值与最小值．
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