福建省厦门双十中学2018-2019学年高一上学期入学考试数学试题

这是一份福建省厦门双十中学2018-2019学年高一上学期入学考试数学试题，共19页。试卷主要包含了 分解因式等内容，欢迎下载使用。
厦门双十中学2018年高一新生入学考试
数学试题
考试时间：120分钟
一、 选择题（每小题4分，共40分）
1. （4分）如图，数轴上有四个点 M，P，N，Q，若点 M，N 表示的数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数对应的点是 （ ）

A. 点 M B. 点 P C. 点 N D. 点 Q
2. （4分）"黑洞"是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏 (Schwarzschild) 半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体--黑洞．施瓦氏半径（单位：米）的计算公式是 R=2GMc2，其中 G=6.67×10−11牛⋅米2/千克2，为万有引力常数；M 表示星球的质量（单位：千克）；c=3×108 米/秒，为光在真空中的速度．已知太阳的质量为 2×1030 千克，则可计算出太阳的施瓦氏半径为______
A. 2.96×102 米 B. 2.96×103 米 C. 2.96×104 米 D. 2.96×105 米
3. （4分）如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为 120∘，半径长为 6，圆锥的高与母线的夹角为 α，则 （ ）
A. 该圆锥的主视图的面积为 82 B. tan⁡α=22
B. 圆锥的表面积为 12π D. 圆锥的底面半径为3

第3题图 第4题图 第5题图
4. （4分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 120∘ 的菱形，剪口与折痕所成的角 α 的度数应为______
A. 15∘ 或 30∘ B. 30∘ 或 45∘ C. 45∘ 或 60∘ D. 30∘ 或 60∘
5. （4分）把八个等圆按如图摆放，每相邻两圆只有一个公共点，称为切点，其圆心的连线（连线过切点）构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为 S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为 S2，则 S1S2 的值是 （ ）
A. B. C. D.
6. （4分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数，如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．
根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（　　）
①消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最多消耗4升汽油；
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
7. （4分）若a+b＝3，a2+b2＝7﹣3ab，则ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
8. （4分）A、B两地相距900km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9. （4分）如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B．已知⊙O的半径为，BC＝3，那么sin∠A＝（　　）
A． B． C． D．

第9题图 第10题图

10. （4分）如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD＝AD＝9时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
A．8 B．3 C．2 D．6
二、 填空题（每小题4分，共24分）
11. （4分）分解因式：3x3﹣27x＝　 　．
12. （4分）两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是　 　．
13. （4分）从﹣3，﹣1，0，1，3这五个数中，任取两个不同的数分别作为m，n的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（m，n）落在双曲线y＝﹣上的概率为　 　．
14. （4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P在线段BG上．若∠PEF＝45°，AE＝CG＝5，PG＝5，则EP＝　 　．
15. （5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为　 　．

第14题图 第15题图
16. （4分）反比例函数y＝（1≤x≤8）的图象记为曲线C1，将C1沿y轴翻折，得到曲线C2，直线y＝﹣x+b与C1、C2一共只有两个公共点，则b的取值范围是　 　．
三、 解答题（共86分）
17. （8分）（1）计算：﹣（﹣）+（）0
（2）解方程组

18. （8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝，CE⊥AD于点E.
（1）求证：AE＝CE；
（2）若tan∠D＝3，求AB的长．



19. （8分）先化简，再求代数式（）÷的值，其中a＝3tan30°﹣4cos60°．
20. （8分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE与△ABC相似；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，AC＝3，AB＝4，求△AEC的周长．

21. （10分）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．

（1）求这个月晴天的天数；
（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）


22. 如图，把正方形ACFG与Rt△ACB按如图（1）所示重叠在一起，其中AC＝4+2，
∠BAC＝60°，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形
ACFG的顶点F，得△A′B′C，AB分别与A′C、A′B′相交于D、E，如图（2）所示．

（1）△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C？说明理由；
（2）求△ACB与△A′B′C的重叠部分（即四边形CDEF）的面积．




23. （10分）为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．
（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；
（2）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

A
B
C
a
40
10
10
b
3
24
3
c
2
2
6
①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率；
②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾．假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？


24. （12分）如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）当＝时，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，求的值．







25. （14分）如图，抛物线y＝x2﹣（2+m）x+m（m＞2）与x轴交于A，B两点（A左B右），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E，顶点为D．

（1）求的值．
（2）连接CD，过点O作CD的垂线交抛物线的对线轴于点F，求EF的长；
（3）过点C作直线CH交抛物线于另一点H（不与A，B重合），过点A作AG⊥x轴交CH于点G，连接OG，BH，求证：OG∥BH．

数学试题评分标准及参考答案
说明：解答只列出试题的一种或几种解法. 如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.
一、 选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
D
B
C
C
A
A
B

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. ； 12. 25cm或105cm； 13. ；
14. ； 15. ； 16. 或 .
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. （满分8分）
解：（1）﹣（﹣）+（）0
＝3﹣++1.................................................................................3分
＝4+..............................................................................................4分
（2）由，
可得：......................................................................1分
①﹣②×4，可得：﹣x＝﹣1，解得x＝1，...................................2分
把x＝1代入①，可得：3×1﹣4y＝﹣5，解得y＝2，.................................3分
∴方程组的解是．................................................................................4分
18. （满分8分）
证明：（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，.......................1分

∵CF⊥AB，AB⊥AE，CE⊥AD
∴四边形AECF是矩形，
∴AE＝FC，∠FCE＝90°，且∠BCD＝90°.................................2分
∴∠FCE﹣∠BCE＝∠BCD﹣∠BCE
∴∠FCB＝∠DCE，且BC＝CD，∠CFB＝∠CED＝90°
∴△FBC≌△EDC（AAS）
∴CE＝FC..........................................................................................3分
∵AE＝CF
∴AE＝CE ........................................................................................4分
（2）∵tan∠D＝＝3
∴CE＝3DE，............................................................................5分
∵CE2+DE2＝CD2＝10
∴DE＝1
∴CE＝3.....................................................................................6分
∵△FBC≌△EDC
∴BF＝DE＝1，.....................................................................7分
∵四边形AECF是矩形，
∴AF＝CE＝3
∴AB＝AF﹣BF＝2............................................................8分
19. （满分8分）
解：原式＝（﹣）•....................................1分
＝•.......................................................2分
＝﹣，..............................................................4分
当a＝3×﹣4×＝﹣2时，.................................6分
原式＝﹣．.............................................................8分
20. （满分8分）
（1）如图所示，点E即为所求；.....................................3分

（2）由（1）可得，△ABE∽△CBA，...................................4分
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5，.......................................................................................5分
∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，.............................................7分
∴△AEC的周长＝3++＝．.................................................8分
21. （满分8分）
（1）设这个月晴天的天数为x，
由题意得：30x+5（30﹣x）＝600，..............................2分
解得x＝18，.................................................................3分
∴这个月晴天的天数为18．...........................................4分
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600﹣150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，..............................6分
5238y≥35 000，
y≥6.7，...................................................................................7分
∵y取整数，
∴至少需要7年才能收回成本．...................................................8分

22. （满分10分）
解：（1）旋转30°，理由如下：
由旋转的性质得：A′C＝AC，∠A′＝∠BAC＝60°，.................................1分
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠ACF＝90°，AC＝CF，
∴A′C＝CF，..............................................................................2分
∵∠BAC＝60°，
∴△A′CF是等边三角形，........................................................3分
∴∠A′CF＝60°，
∴∠ACA′＝90°﹣60°＝30°，...................................................4分
即△ACB至少旋转30°才能得到△A′B′C；
（2）由（1）得：∠ACA′＝30°，
∴∠ACA′+∠BAC＝90°，
∴∠A′DE＝∠ADC＝90°，...........................................................5分
∴AD＝AC＝2+，.............................................................6分
∴CD＝AD＝2+3，
∴A′D＝A′C﹣CD＝1，....................................................7分
∵∠A′ED＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝A′D＝，....................................................................8分
∴△ACB与△A′B′C的重叠部分（即四边形CDEF）的面积
＝等边三角形A′CF的面积﹣直角三角形A′DE的面积.....................................9分
＝×（4+）（2+3）﹣×1×
＝12+．.......................................................................10分



23. （满分10分）
（1）列表如下：

a
b
c
A
（a，A）
（b，A）
（c，A）
B
（a，B）
（b，B）
（c，B）
C
（a，C）
（b，C）
（c，C）
所有等可能的情况数有9种，.................................................................2分
其中垃圾投放正确的有（a，A）；（b，B）；（c，C）3种，..............................3分
∴垃圾投放正确的概率为＝；........................................................4分
（2）①估计“厨余垃圾”投放正确的概率为＝；...............6分
②30×2000×××0.7＝1680（吨），.............................................8分
则2000﹣1680＝320（吨），..................................................9分
答：每月（按30天）流失掉320吨塑料类垃圾的二级原料．...........................10分
24. （满分12分）
解（1）证明：作OG⊥AB于点G．........................................................1分
∵∠ACB＝∠OGA＝90°，∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，
∴△OGA≌△OCA（AAS），
∴OC＝OG，即OG为⊙O的半径，...............................................2分
∴AB是⊙O的切线；.................................................................3分
（2）∵＝时，
∴设AC＝4x，BC＝3x，则AB＝5x，BG＝x，...............................4分
易证△BGO～△BCA，
∴，...........................................................................5分
即，
∴OG＝，
∴CE＝，
BE＝3x﹣＝，..............................................................6分
∴＝＝；.............................................................7分
（3）连接CD．
由（2）CE＝＝2×4，
∴x＝3，.....................................................................................8分
∴AC＝12，BC＝9，
∴AO＝＝，
AD＝AO﹣OD＝4﹣4，..................................................................9分
易证△DFA～△CDA，
∴，..............................................................................10分
即，
解得 AF＝，.........................................................11分
CF＝12﹣＝，
∴＝，..................................................................................12分
故求得的值为．

25. （满分14分）
解：（1）x2﹣（2+m）x+m＝0，
解得，x1＝2，x2＝m，
∵m＞2，
∴OB＝m，..............................................................1分
当x＝0时，y＝m，即OC＝m，........................................2分
∴＝1；.....................................................................3分
（2）y＝x2﹣（2+m）x+m
对称轴x＝﹣＝﹣＝，
＝﹣，
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
则，.........................................4分
解得，，.....................................................................5分
则直线CD的解析式为：y＝﹣x+m，.....................................6分
∵OF⊥CD，
∴直线OF的解析式为：y＝x，............................................7分
当x＝时，y＝2，即EF＝2；...............................................8分
（3）作HN⊥x轴于N，
设点H的坐标为（a，a2﹣a﹣ma+m），直线CH的解析式为：y＝cx+d，
则，
解得，，......................................................9分
则直线CH的解析式为：y＝（a﹣m﹣1）x+m，.................................10分
当x＝2时，y＝a﹣2，即GA＝a﹣2，
BN＝a﹣m，
＝，＝＝，
∴＝，又∠OAG＝∠BNH＝90°，
∴△OAG∽△BNH，..........................................................12分
∴∠GOA＝∠HBN，................................................13分
∴OG∥BH．.......................................................14分