福建省厦门市双十中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

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2017-2018福建省厦门双十中学高一期中考数学试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则集合的真子集个数为（    ）

A. 8    B. 7    C. 4    D. 3

【答案】B

【解析】集合M={x|x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}={x|﹣1＜x＜3，x∈Z}={0，1，2}，所以集合M的真子集个数为：23﹣1=7个．故选：B．

点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．

2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

考点：集合间的关系.

3. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．

考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．

4. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足：，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由已知：在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x），，①，

所以，即，②

①②得；故选B．

5. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】对于A，函数的定义域为[0，+∞），函数非奇非偶，不满足题意；对于B，∵﹣3|﹣x|=﹣3|x|，∴函数是偶函数；在区间（0，+∞）上，y=﹣3x是减函数，故满足题意；对于C，∵log3（﹣x）2=log3x2，∴函数是偶函数；在区间（0，+∞）上，y=2log3x是增函数，故不满足题意；对于D，（﹣x）﹣（﹣x）2≠x﹣x2，函数非奇非偶，不满足题意；故选A．

6. 已知的图象恒过点，则函数的图象恒过点（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

7. 已知，，，则的大小关系是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】试题分析：，，，故.

考点：比较大小.

8. 已知幂函数图象过点，则（    ）

A. 3    B. 9    C. -3    D. 1

【答案】A

【解析】设幂函数f（x）=xα，把点（3，）代入得，3α=，解得α=，

即f（x）==，所以f（9）==3，故选A．

9. 函数的最小值为（    ）

A. 0    B.     C.     D.

【答案】C

【解析】试题分析：

，

所以函数的最小值为.

考点：1、对数运算；2、二次函数.

10. 已知函数 的图象如图所示，则满足的关系是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】∵函数是增函数，令，必有，为增函数．∴a＞1，∴，∵当x=0时，，∴．又∵= ，∴，∴．故选A．

11. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】∵函数为偶函数，

∴二次函数的对称轴为轴，∴，且，即．再根据函数在单调递增，可得．

令，求得，或，

故由，可得，或得，或，

故的解集为，故选C．

点睛：

解抽象函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

12. 已知函数有唯一零点，则（    ）

A.     B.     C.     D. 1

【答案】C

【解析】函数的零点满足，

设，则，

当时，；当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

当时，函数取得最小值，为.

设，当时，函数取得最小值，为，

若，函数与函数没有交点；

若，当时，函数和有一个交点，

即，解得.故选C.

【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 若函数，则__________．

【答案】-1

【解析】令t=2x+1，则x=, 则f（t）=﹣2=

∴, ∴f（3）=﹣1.故填：.

点睛：求未知函数解析式的函数的函数值，有两种思路，一种是利用待定系数法、换元法、凑配法等求函数解析式的方法，求出函数的解析式，然后将自变值，代入函数解析式，进行求解；二是利用凑配特殊值的方法，凑出条件成立时的特殊值，代入求解．

14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，__________．

【答案】

【解析】∵x＞0时，，∴当时，，，

又∵是定义在R上的奇函数，∴，

∴，∴．故答案为：．

15. 设函数，则满足的的取值范围是__________．

【答案】

【解析】若x≤0，则x﹣≤﹣，则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，

即2x＞﹣，则x＞，此时＜x≤0，

当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，

当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，

当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，

此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞，故答案为：（，+∞）．

16. 已知函数有四个零点，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由f（x）=x2﹣|x|+a﹣1=0，得a﹣1=﹣x2+|x|，

作出y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象，

要使函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象有四个不同的交点，所以0＜a﹣1＜，解得：a∈，故答案为：

点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题。一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知集合.

（1）若，，求实数的取值范围；

（2）若，，求实数的取值范围.

【答案】（1）;（2）

【解析】试题分析：（1）求出集合A，利用子集关系，通过B是否为空集，列出不等式组求解即可．（2）A⊆B，B={x|m﹣6＜x＜2m﹣1}，列出不等式组求解即可．

试题解析：

解不等式，得，即.

（1）

①当时，则，即，符合题意；

②当时，则有

解得：.

综上：.

（2）要使，则，所以有

解得：

.

18. （1）；

（2）.

【答案】（1）;（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查分数指数幂运算法则（，，为既约分数），（，，为既约分数），原式=

；（2）本问考查对数运算法则（），（），（），原式.

试题解析：（1）

（2）原式

考点：1、指数运算；2、对数运算.

19. 已知函数的定义域为.

（1）求；

（2）当时，求的值域.

【答案】（1）;（2）

【解析】（1）由已知可得，∴，所以.

（2），

∵，∴，所以当，即时，，当，即时，，所以的值域为.

20. 在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是，经过一定时间后，温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期．现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡，放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，问降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据：，）

【答案】25.9分钟

【解析】试题分析：根据题意，先将题目中的条件代入公式，求解就可得到半衰期h的值．再利用公式，中，，，代入，求出半衰期h的值，T=95，代入就可解出此时需要多少分钟．

试题解析：依题意，可令，，，代入式子得：

，解得

又若代入式子得

则

∴

答：降温到95F约需要25.9分钟.

21. 定义在的函数满足：①当时，；②对任意，总有.

（1）求出的值；

（2）解不等式；

（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）.

【答案】（1）;（2）;

（3），其中可以取内的任意一个实数

【解析】试题分析：（1）令x=y=1，，从而解得；

（2）令，x＞1，则有，从而可推出f（y）＞-2，

则可化为即，从而解得；

（3）．

试题解析：

（1）令，有，∴

（2）任取，

且，不妨设

∴ ，

∵，∴

∴

∴在上单调递减.

，∴

所以原不等式等价于：，解得：

（3），其中可以取内的任意一个实数

点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.

22. 已知.

（1）设，，若函数存在零点，求的取值范围；

（2）若是偶函数，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）;（2）见解析；

【解析】试题分析：（1）函数有零点转化为方程有根，只需求函数的值域即可；

（2）利用偶函数满足f（-x）=f（x）得到关于实数k的恒等式，据此整理计算即可求得最终结果；

（3）换元后将原问题转化为二次函数的问题，然后结合题意分类讨论即可求得最终结果．

试题解析：

（1）由题意函数存在零点，即有解.

又 ，

易知在上是减函数，又，，即，

所以的取值范围是.

（2），定义域为，为偶函数

检验： ，

则为偶函数，

则没有零点，由第（1）问知，.

（3），设，，

设，，

对称轴，下面分类讨论：

①当即时， （成立）；

②当即时 （舍）；

③当即时， （舍）

综上，.

点睛：本题主要考查偶函数的性质，二次函数的性质，分类讨论的思想，换元法，函数零点，方程等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．本题在处理零点存在时，转化为方程有解，从而转化为利用求函数值域求解.涉及二次函数或者二次型函数时，注意换元法的使用，以及二次函数求最值的分类讨论问题.